安徽省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三實(shí)驗(yàn)班上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂：非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列滿足．若，則（）A．9 B．10 C．17 D．193．已知向量滿足，且，則的值為（）A．2 B． C．1 D．4．已知是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列判斷正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線，已知曲線始終保持為函數(shù)圖象，則的最大值為（）A． B． C．1 D．6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)?，則稱為“倍增函數(shù)”．若函數(shù)（其中）為“倍增函數(shù)”，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知邊長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)為內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列判斷正確的是（）A．若是一次函數(shù)，滿足，則B．命題“”的否定是“”C．函數(shù)的定義域?yàn)椋涤?，則滿足條件的有3個(gè)D．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為10．已知函數(shù)，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是（）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，則有最小值11．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的一個(gè)周期為4B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有1011個(gè)零點(diǎn)12．定義數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．是單調(diào)遞減數(shù)列 B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是角終邊上的一點(diǎn)，則______．14．已知一個(gè)正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，且外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為______．15．若是的垂心，且，則的值為______．16．在同一直角坐標(biāo)系中，分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)于任意，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知，且函數(shù)．（1）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，求的值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）記的角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求的最小值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．21．（12分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比不為1，且．（1）令，求證：；（2）記其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)與函數(shù)相切的直線有幾條？（2）若有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．高三數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】D【解析】依題意，，則，故．2．【答案】C【解析】，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，可得，可得，，故選C．3．【答案】B【解析】，在等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得，，故選B．4．【答案】C【解析】有可能出現(xiàn)的情況，故A不正確；若，則與平行或相交，故B不正確；由，得直線和平面沒有公共點(diǎn)，所以，故C正確；三條直線可能重合，或相交于一點(diǎn)，故D不正確．5．【答案】B【解析】，所以在原點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，當(dāng)繞著原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，始終保持為函數(shù)圖象，設(shè)其傾角為，則，則，顯然為銳角，，故的最大值為．6．【答案】A【解析】依題意知，函數(shù)在上是“倍增函數(shù)”；可得即是方程的兩個(gè)根；設(shè)，則，此時(shí)方程為，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0，可得解得：；故滿足條件的取值范圍是．7．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為為正方體對(duì)角線的，則，以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與平面相交的圓半徑為；等邊的內(nèi)切圓半徑為，設(shè)的中心為軌跡與分別交于兩點(diǎn)，如圖，弧長(zhǎng)的三倍即為所求；，可得，故交線長(zhǎng)為．8．【答案】C【解析】由題意有，記；顯然關(guān)于中心對(duì)稱且為上的增函數(shù)，，故是關(guān)于中心對(duì)稱且為上的增函數(shù)，得也是關(guān)于中心對(duì)稱且為上的增函數(shù)；由于，故，可得；記，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，選C．9．【答案】BC【解析】因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，設(shè)，則，可得解得或所以或，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B正確；，可得，所以函數(shù)的定義域可以是：或或，滿足條件的有3個(gè)，故選項(xiàng)C正確；關(guān)于的不等式的解集為，則方程的解是或，且，由韋達(dá)定理可得解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，所以，解得，則不等式的解集為，故選項(xiàng)D不正確．故選BC．10．【答案】ACD【解析】依題意，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，有最小值，選項(xiàng)A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，有最小值4，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值為，選項(xiàng)C正確；，，則有最小值，選項(xiàng)D正確．故選ACD．11．【答案】AC【解析】由得，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，，所以的周期為4，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，令，得時(shí)函數(shù)有最小值，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故時(shí)，函數(shù)在區(qū)間有最大值，，選項(xiàng)C正確；因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，，一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)零點(diǎn)，有505個(gè)周期，共1010個(gè)零點(diǎn)，總計(jì)1012個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選AC．12．【答案】ABD【解析】由題意得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，若，又因?yàn)?，則，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以，所以，由，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕瑒t，同理得，當(dāng)時(shí)，，所以，故數(shù)列單調(diào)遞減，選項(xiàng)A正確；需證明，令，令，則，成立，所以，選項(xiàng)B正確；，設(shè)，設(shè)，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，根據(jù)選項(xiàng)B可知，，當(dāng)時(shí)，，即，選項(xiàng)D正確．故選ABD．13．【答案】【解析】是角的終邊上一點(diǎn)，由三角函數(shù)定義可得，，所以．14．【答案】【解析】設(shè)球的外接球半徑為，則，則，三棱柱有內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球半徑為，故高為，連接的外心，則的中點(diǎn)即為球心，內(nèi)切圓半徑為，得，則，則．15．【答案】【解析】，得，所以（為的中點(diǎn)），所以垂心在中線上，即高線與中線重合，故；，所以，又因?yàn)?，得，化?jiǎn)為，得，所以，即．16．【答案】【解析】解法一：已知，，；切點(diǎn)到直線的距離．解法二：令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，則的最大值為．17．【解析】（1），令，得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2），即，所以，又，所以，所以，所以．18．【解析】（1）因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，因此兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，即；因?yàn)?，所以，即；又，因此平面．?）因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，由（1）知為平面的一個(gè)法向量，，顯然二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．19．【解析】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理：，，；又因?yàn)榇氲茫海〞r(shí)取等），所以的最小值為3．20．【解析】（1）的定義域?yàn)?，令，得，由，解得；由，解得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：令，令，則，在上單調(diào)遞減，所以；由，可得，即證，令，則；由，可得（舍去），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以，所以，則，故，結(jié)論成立．21．【解析】（1）數(shù)列是等比數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公比為解得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；，．（2），；令，；，，，；．22．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以；所以切線方程為：，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得：，即；記，，令，解得或；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；，，當(dāng)時(shí)，為正數(shù)，故在無零點(diǎn)，，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，有2個(gè)零點(diǎn)，即過點(diǎn)與函數(shù)相切的直線有2條．（2）令，則有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，易得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，因此；令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖?，使得?/p>