2021年甘肅省蘭州市高考（一模）數(shù)學(xué)診斷試卷（理科）

2021年甘肅省蘭州市高考數(shù)學(xué)診斷試卷（理科）（3月份）（一

模）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合M={x|0WxWl},N={x\y=lg（1-x）},則MGN=（）

A.[0,1）B.（0,1]C.（-8,1）D.[0,1]

2.己知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

1-1

A.-iB.-1C?iD.1

3.已知向量W，E滿足Z=（%0）,己=（m,1）,且|m=（己，則5而J夾角大小為（）

4.點(diǎn)P為雙曲線號(hào)-看-=1（心0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i＞乃分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若

|PFi|=7,\PFz\=3,則雙曲線的一條漸近線方程是（）

A.2x+3y=0B.4x+9y=0C.3x-2y=0D.9x-4y=0

5.2019年9月1日蘭州地鐵一號(hào)線正式開(kāi)通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)

車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有（）

A.15種B.30種C.36種D.64種

6.函數(shù)F（x）=x/以的圖象如圖所示，則函數(shù)f（l-x）的圖象為（）

7.《九章算術(shù)》卷五《商功》中有如下問(wèn)題：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈."

意思是：今將粟放在平地，谷堆下周長(zhǎng)12丈，高4丈.將該谷堆模型看作一個(gè)圓錐，n

取近似值3,則該圓錐外接球的表面積約為（）

A.55平方丈B.75平方丈C.110平方丈D.150平方丈

8.一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為7，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差為。=

|x「xI+IX2-X|+|x3-x|+……+〔Xn-x|.如圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折

根據(jù)折線圖，可判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差。2的大小關(guān)系是（）

A.D\>DzB.DI=￡>2C.DI<D2D.無(wú)法確定

9.已知函數(shù)/(x)=-^x34-ax2-^(?>0,b>0)的一個(gè)極值點(diǎn)為1,則湖的最大值

62

為()

10.下列四個(gè)命題:

①已知〃，Z?是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，若。_La,a±b,則〃〃a.

②命題aVx>0,x(x-2)>0”的否定是a3xo>O,xo(xo-2)〈0”

jrjr

G)函數(shù)/(X)=sin(2XH?——)的對(duì)稱中心為(knH■——,0)(.kwZ).

X-l-I

④函數(shù)/(x)=4e'為R上的增函數(shù).

2x~3,x>l

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

11.已知P(2,-2)是離心率為點(diǎn)的橢圓三三=1(a>b>0)外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光

2a2b"

線被y軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則此條切線的斜率是

()

⑵己知奇函數(shù)/(X),當(dāng)時(shí)，/(x)=-^~，則/(x-1)的圖象與函數(shù)y=2sinitx(-

e

4WxW6)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()

A.0B.9C.11D.17

二、填空題(共4小題).

13.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中共中央宣傳部主管，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思

想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái).2019年1月1

日，“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)在全國(guó)上線，某單位組織全體黨員登錄學(xué)習(xí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)積分

得到的頻率分布直方圖如圖所示.若學(xué)習(xí)積分在［1,1.5)(單位：萬(wàn)分)的人數(shù)是32人,

則該單位共有名黨員，若學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的黨員可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào)，

則該單位有名黨員能獲得該稱號(hào).

15.如圖，正方體AC的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)”在棱4A上，AiM=2MDlt過(guò)M的平面a與平

面AiBG平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為.

16.在△ABC中，標(biāo)?(2記前)=0,sinC=A,則si/A-siMB的值為

三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.已知S”為等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，三好=9,au=21.

S21

(I)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式；

(H)若bn=~^--,求數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和Tn.

ananH

18.在三棱錐P-BCD中，A是CD的中點(diǎn)，AB^AC,BC=6,PB=8O=6j§,PC=12.

(I)證明：BC_L平面PBD；

(II)若PD=6?,求二面角D-PB-A的余弦值.

D

B

19.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作

的意見(jiàn)》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見(jiàn)》宣布：2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生

工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合

素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程

中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目

且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為該

考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為《，3，m,其中0＜機(jī)＜1.

63

（I）若機(jī)=聾，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的

概率；

（II）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)

學(xué)期望為依據(jù)作出決策，則當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求，〃的范圍.

20.已知拋物線尸=4x及點(diǎn)P（4,0）.

（I）以拋物線焦點(diǎn)尸為圓心，|FP|為半徑作圓，求圓F與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（H）A、B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且直線42與x軸不垂直，弦AB的垂直平分線恰

好經(jīng)過(guò)點(diǎn)產(chǎn)，求證?而的范圍.

21.已知/（x）=sinx.

（I）判斷函數(shù)g（x）=f（x）-X是否存在極值，并說(shuō)明理由；

（II）求證：當(dāng)0＜。＜1時(shí)，（X）產(chǎn)+1寸＞以2在x＞0恒成立.

3

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

（1

22.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，雙曲線Ci的參數(shù)方程為，］t（/為參數(shù)）.以原點(diǎn)

O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P2-8pcose+16

-3=0(r>0).

(I)若r=3,設(shè)雙曲線G的一條漸近線與C2相交于A,8兩點(diǎn)，求|A8|.

(II)若r=l,分別在G與C2上任取點(diǎn)尸和。，求|PQ|的最小值.

［選修4?5:不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=\cix-2|x+3(<zeR).

(I)當(dāng)。=1時(shí)，畫(huà)出函數(shù)y=/(x)的圖象；

(II)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>不恒成立，求。的范圍.

參考答案

一、選擇題(共12小題).

1.己知集合〃={刀|0★》?1},N={x\y=lg(1-x)},則MCN=()

A.[0,1)B.(0,1]C.(-8,i)D.[0,1]

解：,.?M={x|0WxWl},N={x|l-x>0}={4rVl},

，MriN=[0,1).

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足W=2士!(為虛數(shù)單位)，則Z的虛部為()

1-1

A.-iB.-1C.iD.1

解：仁=曰=(l+i-=i,

1-i(l-i)(l+i)

.".z--i,

；.z的虛部為-1,

故選：B.

3.已知向量Z，,滿足Z=(4,0),芯=(m,1),且lWl=H，則之，芯的夾角大小為()

A.2LB.2Lc.2L.32L

432d4

解：..?2=(4,0),芯=(加，1),

.?.|；|=2?芯=>4=4"2=m=L

??b=(1,1)，

,.—一、_a，b_____4_\T5

"“幣兩［X廬？F'

又因?yàn)椋簅v<；，b><1T>

TT

???Z，E的夾角大小為亍，

故選：A.

4.點(diǎn)尸為雙曲線%-《=1(a>0)右支上一點(diǎn)，B、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若

a9

|PFi|=7,|「&|=3,則雙曲線的一條漸近線方程是()

A.2x+3y=0B.4x+9y=0C.3x-2y=0D.9x-4y=0

解：：尸為雙曲線(a>0)右支上一點(diǎn)，且|PFi|=7,|P6|=3,

a9

由雙曲線定義可得2a=\PF,\-\PF2\=1-3=4,則a=2.

又由雙曲線方程可得6=3,

雙曲線的漸近線方程為尸±9即3x±2y=0.

結(jié)合選項(xiàng)可得，雙曲線的一條漸近線方程是3x-2y=0.

故選：C.

5.2019年9月1日蘭州地鐵一號(hào)線正式開(kāi)通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)

車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有()

A.15種B.30種C.36種D.64種

解：根據(jù)題意，第一位同學(xué)進(jìn)入車廂，可以在6節(jié)車廂中任選1個(gè)，有6種選法，

同理：第二位同學(xué)進(jìn)入車廂，有6種選法，

則兩人進(jìn)入車廂的方法數(shù)共有6X6=36種，

故選：C.

6.函數(shù)f(x)=/心的圖象如圖所示，則函數(shù)/(1-x)的圖象為()

y

解：函數(shù)/(x)的定義為(0,+8),

由1-x>0得x<l,即函數(shù)f(1-X)的定義域?yàn)?-8,1),排除A,C,

/(1-JC)=(1-x)In(1-x),

設(shè)g(x)—f(1-x)—(1-x)In(1-x),

則g(-1)=2ln2>0,排除B,

故選：D.

7.《九章算術(shù)》卷五《商功》中有如下問(wèn)題：”今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈."

意思是：今將粟放在平地，谷堆下周長(zhǎng)12丈，高4丈.將該谷堆模型看作一個(gè)圓錐，n

取近似值3,則該圓錐外接球的表面積約為()

A.55平方丈B.75平方丈C.110平方丈D.150平方丈

解：設(shè)外接球球心為。，底面圓心為?！O(shè)底面圓的半徑為r,

因?yàn)樵摴榷涯Ｐ涂醋饕粋€(gè)圓錐，TT取近似值3,谷堆下周長(zhǎng)12丈，

所以2nr=12,則r=2,

設(shè)外接球的半徑為R,而高4丈，所以0。'=4-R,

根據(jù)勾股定理可得，（4-R）2+22=R2,解得R=]_,

所以該圓錐外接球的表面積約為4n/?2=25n^75平方丈.

故選：B.

8.一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為7，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差為D=

|x「xI+IX2-XI+IX3-XI+……+|xn-x|.如圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折

線圖.

?頻率/組距頻率/組距

甲組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖組距乙組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖組距

根據(jù)折線圖，可判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差Di，6的大小關(guān)系是（）

A.D\">DiB.D\=DiC.D\<D2D.無(wú)法確定

解：根據(jù)題意知，平均差也表示一組數(shù)據(jù)的離散程度，平均差越小，說(shuō)明該組數(shù)據(jù)越集

中，

由頻率分布折線圖知，甲組數(shù)據(jù)較為分散，平均差大些，乙組數(shù)據(jù)較為集中，平均差小

些，

所以。]>6.

故選：A.

9.已知函數(shù)/（x）=-^x3-J-ax2-（?>0>b>0）的一個(gè)極值點(diǎn)為1,則劭的最大值

62

為（)

解：由題意/(X)=—x2-ax-b,

2

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的一個(gè)極值點(diǎn)為1,

所以(等)2=今，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以ab的最大值為士.

16

故選：D.

10.下列四個(gè)命題：

①已知a,匕是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，若b，a,alb,則a〃a.

②命題“Vx>0,x(x-2)>0"的否定是<*3xo>O,xo(x0-2)〈0”

jrTT

③函數(shù)/(x)=sin(2xH-----)的對(duì)稱中心為(knT---，0)(Z^GZ).

24

'X-l1

④函數(shù)/(x)=qe'XFL為R上的增函數(shù).

2x-3,x〉l

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A?0個(gè)B?1個(gè)C?2個(gè)D.3個(gè)

解：對(duì)于①已知a,6是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，若/?_La,aLb,則。〃a或

aua,故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②命題“VQO,x(x-2)>0”的否定是“痛>0,xo(xo-2)W0”,故②正確

對(duì)于③函數(shù)/(x)=sin(2x+^~)=cos2r,令2x=k兀T(%WZ),解得》=乂1二蘭-

(kez)故函數(shù)的對(duì)稱中心為(目匚■千，°)(kez),故③錯(cuò)誤.

，xT41

④函數(shù)/(x)=\'，根據(jù)函數(shù)的定義域，函數(shù)在(-8,1］和(1,4-00)上

2x-3,x>l

單調(diào)遞增，但是在.,伯(-1,1)上單調(diào)區(qū)間不確定，故④錯(cuò)誤.

故選：B.

122

11.已知P(2,-2)是離心率為《的橢圓三三=1(a>b>0)外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光

2//

線被y軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則此條切線的斜率是

)

11

A.B.--C.1D.

828

解：由題意可得：設(shè)過(guò)戶的直線斜率為后，則過(guò)P的直線方程為：y+2=k(x+2),

即y—kx-2k-2,

所以與y軸對(duì)稱的直線的斜率為-k,直線為y=-kx-2k-2,

由離心率0=￡*=工，c1=dL-h2,

a2

所以可得。2=&2,

y=-kx-2k-2

22

4xy整理可得：(3-4&2)N-(1642+16%)》-16產(chǎn)-16-32女-3*=0,

a2^T

I4a

△=C\6k2+\6k)2-4(3-殳2)(-16/-16-32k-3a2)=0,解得：k=-—,

8

故選：A.

12.己知奇函數(shù)/(x),當(dāng)x20時(shí)，/(x)=。，則/(x-1)的圖象與函數(shù)y=2sinm:(-

e

4WxW6)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()

A.0B.9C.11D.17

解：由x20時(shí)，/(x)=弋，得/(幻=與，

ee

可知當(dāng)OVxVl時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)工>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=l時(shí)，/(%)有最大值為工，又當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,/(0)=0,

e

因此可得f(x-1)與y=2sinx的圖象如圖，

由圖可知，在區(qū)間(1,6］內(nèi)兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，

在區(qū)間［-4,1)內(nèi)也有4個(gè)與它們關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的交點(diǎn)，

這四對(duì)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2X4=8,再加(1,0)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于9.

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中共中央宣傳部主管，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思

想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái).2019年1月1

日，“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)在全國(guó)上線，某單位組織全體黨員登錄學(xué)習(xí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)積分

得到的頻率分布直方圖如圖所示.若學(xué)習(xí)積分在口，1.5）（單位：萬(wàn)分）的人數(shù)是32人,

則該單位共有80名黨員,若學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的黨員可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào)，

則該單位有8名黨員能獲得該稱號(hào).

解：由頻率分布直方圖得：

學(xué)習(xí)積分在［1,1.5）（單位：萬(wàn)分）的頻率為：

0.8X0.5=04,

?.,學(xué)習(xí)積分在U，1.5）（單位：萬(wàn)分）的人數(shù)是32人，

該單位共有：畀=80,

0.4

學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的黨員所占頻率為：

0.2義0.5=0.1,

???學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的黨員可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào),

.?.該單位有0.1X80=8名黨員能獲得該稱號(hào).

故答案為：80,0.1.

x-y〉一］

14.若x,y滿足約束條件＜2x+y44，則z=x-2y的最小值為-3

.y》0

解：由約束條件作出可行域如圖，

由z=x-2y,得尸三二，由圖可知，當(dāng)直線尸過(guò)A時(shí)，

直線在y軸上的截距最大，Z有最小值為1-2X2=-3.

故答案為：-3.

15.如圖，正方體AC的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在棱上，AiM=2MDi,過(guò)M的平面a與平

面4BG平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為

3^2-.

解：在平面4QD4中尋找與平面48。平行的直線時(shí)，只需要如圖所示，

因?yàn)?M=2政力，故該截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近A,C的三等分點(diǎn)處，故可得

截面為MIHGFE,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a,則ME=2&a,MI=V2a?IH=2加a,HG=&a.,

FG=2祀a,EF=V2a>

所以截面MIHGFE的周長(zhǎng)為ME+EF+FGKH+HI+IM=Ma,

又因?yàn)檎襟w4c的棱長(zhǎng)為I,即3“=1,

故截面多邊形的周長(zhǎng)為％歷.

故答案為：3^/2-

16.在△ABC中，m?(2記t?前)=0,sinC=g則sir^A-sin?5的值為_(kāi)急

O乙t

解：在aABC中，標(biāo)?(2市■前)=0，

故2bc?cos4=-ac*cos(n-B)=ac?cosB,

222222

由余弦定理可知：2b上+c-a=q.a+c-b,

2bc2ac

即3a2-3-=。,

由正弦定理可知：3sin2A-3sin2i?=sin2C,

由題知sinC=—,

3

/.sin2A-sin2B=—

27

故答案為：

27

三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

063

17.已知S〃為等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和，獸=9,an=21.

S21

(I)求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

(n)若b“=-/----，求數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和T?.

anarr*-l

解：(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

63（a?）

S

?.63________2________63a32_3a32=口

、2121（a]+a2i）21aliau

2

且an—21,

??。32=63,

??-1Od=1,

an=a\+（n-1）d=2n-1.

_1_____1_________L_）

nnbnan*an+l（2n-l）（2n+l）2V2n-l2n+l'

.F4[（+）+&+…+（2、12n：i）〕

』14）舄，

18.在三棱錐尸-BCD中，A是C。的中點(diǎn)，AB=AC,8C=6,PB=BC=6百，PC=12.

（I）證明：BC,平面PBO；

（n）若PD=6百，求二面角D-PB-A的余弦值.

【解答】（I）證明：由題意可知，A是CQ的中點(diǎn)，又A8=AC,

在△BCD中，AB^AC^AD,所以△C8O為直角三角形，則NC2￡>=90°,BRBCLBD,

由題意可知，PB=6愿，PC=12,BC=e,則有/V=PB2+8G,所以8CLPB,

因?yàn)锽D,PBu平面PB。，BDHPB=B,所以BC_L平面P8。；

（II）解：由（I）可知，BCJ_平面P8。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻￡>=6愿，則8（0,0,0）,A（3V3，0,3）,P（3V3-9，。），

則就=（小反，0，3）,BP=（3V3>9，0），

設(shè)平面PB4的法向量為浸（x,y,z），則有竹上二°，即（軍/電一°

ln-BP=O13^x+9y=0

令y=i，則1=（-a，1,3），

平面P8。的一個(gè)法向量為、=（0,0,1），

則有Icos。，卜肅=3淖

In||m|V13x113

故二面角D-PB-A的余弦值為曲工!?.

19.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作

的意見(jiàn)》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見(jiàn)》宣布：2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生

工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合

素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程

中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目

且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為該

考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為《，3，，",其中0〈根＜1.

63

（I）若m=^,分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的

O

概率；

（1［）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)

學(xué)期望為依據(jù)作出決策，則當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求機(jī)的范圍.

解：（I）某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為

二甲通過(guò)的考試科目的門(mén)數(shù)X?3（3,-1）,

???該考生報(bào)考甲大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率為：

「/(■I)8)?得

當(dāng)機(jī)=馬寸，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為《，3，?!，

3633

該考生報(bào)考乙大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率為：

—X(1-—)X(1--)+(1--)X2X(1-2)+(1-—)x(1--)X—.

6'3，31633，63318

(H)?.?甲通過(guò)的考試科目的門(mén)數(shù)X?8(3,-1),

12

：.E(X)=3X—=—.

22

設(shè)乙通過(guò)的考試科目的門(mén)數(shù)為匕

1oR

則P(y=O)=(1--)X(1-—)X(1-m)=―

6318

191919

P(y=l)=(1--)X(1-M)Xm+(1-—)X^-X(1-m)+—X(1一且)X(1

636363

、_51"、

一片F(xiàn)mRl-m)，

p(y=2)=/XyX(l-nO+看X(1V)Xn+(1蔣)Xir=y(l-m)+y|"ir>

191

P(丫=3)=?xWXir=±ir，

639

?*-E(丫)=OX磊(l-m)+lX+2*蔣(1-111)+4^110+3義]n=

ioioioyioy

工5

m+一,

6

??,該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試，

53

：.E(K)>E(X)，：.m+—>—

629

再由OVmVl,解得?

...當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，機(jī)的范圍是(,，1).

O

20.已知拋物線V=4x及點(diǎn)P(4,0).

(I)以拋物線焦點(diǎn)尸為圓心，尸尸|為半徑作圓，求圓F與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

(II)A、B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且直線AB與x軸不垂直，弦AB的垂直平分線恰

好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,求證.而的范圍.

解：(I)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(1,0),\PF]=3,

所以拋物線焦點(diǎn)尸為圓心，|。|為半徑作圓的方程為：(x-1)2+/=9,

y=4x

聯(lián)立《,整理可得：x2+2r-8=0,解得x=-4或2,

/x-l)2+y=9

由拋物線的方程可得K>0，

所以圓F與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；

(II)設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b,A(xi,yi),B(X2,》2)，WO,

y=kx+b

1

\9整理可得：ky-4y+4/?=0,

=4x

44b一

△=16-16妨>0=>從<1,且y1+y2=—,y\yz=—，y\^yz=k(xi+xz)+2b,所以笛+及

kk

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(X1+X2,,即4B的中點(diǎn)(今-二，—)

22k"kk

所以線段AB的中垂線的方程為：y-2=G-烏+旦)，

kkkk

n12R

過(guò)(4,0)=>0--=-—(4--y+—)n2m+bk-2=3

kkk2k

p^=(xi-1,yi)，fB=(X2-1,y2),

22

412"2_A[()

所以直?而=(XI-1)(X2-1)+V1V2=("1-1)(y2-l)+yi)2=y,+y2

44164

2-2yly2]+1+)”，2=號(hào)一-2-+-^+l,

k2k"k

因?yàn)?R+尿-2=0,

4

所以①%=±1時(shí)，b=。,則下淳而=——y+l=-3,

k

②2±1時(shí)，6=-22+2

所以而?而="2k底~，一告?+6"(-2kk)+]=-7+丹

k215―k

bk<\,所以-2N+2V1,k^>—,

2

i14

所以~TG(0,4),所以一1W(0,16),

4k4k，

所以瓦?而e(-7,9),

綜上所述：瓦?而的取值范圍為：(-7,9).

21.己知/'(x)=sirti.

(I)判斷函數(shù)g(x)=/(x)-X是否存在極值，并說(shuō)明理由；

(II)求證：當(dāng)OV〃VI時(shí)，If(X)尸+工4>以2在工>0恒成立.

3

解：(/)g(x)=f(x)-x=sinx-x,g'(x)=cosx-1,

當(dāng)花(2加，2&7T+2IT),依Z時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，沒(méi)有極值;

證明：(〃)(x)sin2x4-ax2>00cos2x——-x^+2^x2<C1,

333

問(wèn)題等價(jià)于證cos2x--x^+2ax2<l,

3

令h(x)=cos2x-x4+2^2,則h’(x)=-2sin2x^yx^+4ax，

oo

令s(x)=sin2x+—~2ax,則s'(x)=2cos2x+4x2-2a=2(cosZr+2r2-a)=2(1

3

-2sin2x+2r2-a),

由(/)知當(dāng)OVxVir時(shí)，g(x)<g(0)=0,即OVsinxVx,sin2x<x2,

當(dāng)x2ir時(shí),|siar|WlVnVx,sin2x<x2,

故當(dāng)x>0時(shí),-siMx〉-x2,

所以s'(x)=2(1-2sin2