第3章變量之間的關系 題型解讀4：代數(shù)與幾何綜合的動態(tài)問題解題策略（解答題壓軸）-2020-2021學年北師大版七年級數(shù)學下冊

《變量之間的關系》題型解讀4：代數(shù)與幾何綜合的動態(tài)問題解題策略（解答題壓軸）【題型特點】在動點狀態(tài)下，綜合幾何中的全等、面積問題與代數(shù)中的行程問題、變量間關系問題.【解題思路】①出現(xiàn)行程問題，利用“s=vt”把代數(shù)中的路程轉化成幾何中的線段長；②出現(xiàn)函數(shù)圖像問題，把幾何圖形與函數(shù)圖像對比觀察，注意圖形或圖像中關鍵點的數(shù)據(jù)對比關系；【范例精講】例1.在直角三角形ABC中，BC=6,AC=8,點D在線段AC上從C向A運動，若設CD=x，△ABD的面積為y.（1）請寫出y與x的關系式；（2）當x為何值時，y有最大值，最大值為多少？此時D點在什么位置？（3）當△ABD的面積是△ABC的面積的一半時，點D在什么位置？【思路分析】（1）求y與x的關系式，先找出求面積的等量關系式：S△ABD=AD×BC÷2,再用含有x的代數(shù)式表示出來即可；（2）由y與x的關系式可知，要想y取最大值，只需要x取最小值即可，當x=0時，即D在C點位置時，x最小，y最大，最大即為△ABC的面積；（3）由△ABC的面積即可求出△ABD的面積，即y的值，解一元一次方程，即可得到x的值，即點D的位置。【解題過程】（1）由題可知:y=S△ABD=AD×BC÷2=(8-x)×6÷2=-3x+24；（2）由y=-3x+24可知：當x=0時，y有最大值，最大值為24，此時D與C重合。（3）由題可知：S△ABD=AC×BC÷2=8×6÷2=24,∵△ABD的面積是△ABC的面積的一半,∴S△ABD=12，即y=12，由y=-3x+24可得：-3x+24=12,解得x=4，即點D在AC中點時，△ABD的面積是△ABC的面積的一半。例2.如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D是AB的中點。（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動。①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，則經(jīng)過1s后，△BPD和△CQP是否全等？請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC的三邊運動，則經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【思路分析】（1）①由“路程=速度×時間”可分別求出BP、CQ的長度，進而得出PC的長度，由題可知BD的長度及∠B=∠C，用SAS即可求出兩三角形全等；②此小題是“條件結論型”題型，未知條件在前，已知條件在后，即△BPD與△CQP全等是已知條件，只是全等字母未對齊，由點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，可知BP≠CQ，即可得出BP=PC,BD=CQ，知點P行駛的路程BP長，即可求出點P的運動時間，也就是點Q的運動時間，知點Q的行駛路徑CQ及運動時間，便可得出點Q的運動速度；（2）由②可知，點Q的速度大于點P的速度，所以運動過程中相遇，即為點Q追上點P的追及問題，由追及問題公式：“路程差=速度差×追及時間”，可得出點Q追上點P，即第一次相遇時的時間，即可求出點P或點Q的運動路程，進而可得出相遇時點P或點Q的位置?！窘忸}過程】（1）①△BPD和△CQP全等，理由是：由題可得：BP=3×1=3cm，PC=8-3=5cm，CQ=3×1=3cm，∵D是AB的中點，∴BD=5cm，∴BP=CQ,BD=PC，∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△BPD≌△CQP(SAS)；②∵點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，∴BP≠CQ，∴當BP=PC,BD=CQ時，△BPD≌△CPQ(SAS)，此時BP=PC=BC/2=4cm，CQ=BD=5cm，∵點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，∴點P的運動時間為4÷3=4/3(s),即點Q的運動時間也是4/3（s）,∴Q的運動速度為：5÷(4/3)=15/4（cm/s），即當點Q的運動速度為15/4（cm/s）時，能夠使△BPD與△CQP全等。（2）由②可知，點Q的速度大于點P的速度，點Q追上點P的時間為（10+10）÷（15/4-3）=80/3秒，此時點P運動的距離為3×（80/3）=80cm，△ABC的周長為28cm，80÷28=2（周）...24cm，24-8-10=6cm，此時點P在AB邊上離A點6cm處。例3.如圖所示，正方形ABCD的邊長為3，點P從A出發(fā)按逆時針方向，以每秒3個單位的速度，在正方形的邊上運動；點Q從A出發(fā)按順時針方向，以每秒1個單位的速度，在正方形的邊上運動，當P、Q運動到重合時停止，則在這個運動的過程中：（1）整個運動過程持續(xù)______秒；（2）連接PQ，線段PQ將正方形ABCD分成兩個部分，記包含點A的部分的面積為S，運動時間為t，則①寫出變量S與t之間的關系；②求當t為多少時，線段PQ剛好將正方形ABCD分為面積相等的兩部分.【思路分析】（1）行程問題中的相遇問題，依相遇問題的公式：“路程和=速度和×相遇時間”即可求解；（2）①分“0<t≤1”、“1<t<3”、“2≤t<3”、“t=3”四種情況分類討論，依面積方法分別列出S與t的關系式；②當線段PQ剛好將正方形ABCD分為面積相等的兩部分時，屬于①中“2≤t<3”這種情形，由題可知S的值，代入解一元一次方程即可求解?！窘忸}過程】（1）點P、Q相遇時間為：4×3÷（3+1）=3秒，即整個運動過程持續(xù)3秒；（2）①當“0<t≤1”時，即點P在AB邊上，點Q在AD邊上時，如圖1，由題可知：AQ=t，AP=3t，∴S=t×3t÷2=1.5t*2；當“1<t<2”時，即點P在BC邊上，點Q在AD邊上時，如圖2，由題可知：AQ=t,PB=3t-3,∴S=（t+3t-3)×3÷2=6t-4.5；當“2≤t<3”時，即點P在DC邊上，點Q在AD邊上時，如圖3，由題可知：DQ=3-t,DP=9-3t,∴S=（3-t)×(9-3t)÷2=1.5t*2-9t+13.5；當“t=3”時，即點P、Q均在點D處，此時含A的圖形即為正方形ABCD，S=9.②由①可知，當線段PQ剛好將正方形ABCD分為面積相等的兩部分時，點Q在AD上，點P在BC上，即S=6t-4.5=9÷2=4.5，解得t=1.5,∴當t為1.5秒時，線段PQ剛好將正方形ABCD分為面積相等的兩部分.例4.已知動點P以每秒2cm的速度沿圖甲的邊框從B—C—D—E—F—A的路徑移動，相應的△ABP的面積S(cm*2)與t（秒）的關系圖如圖乙中的圖像表示，若AB=6cm，試解答下列問題：（1）圖甲中的BC長是多少？（2）圖乙中的a,b分別是多少？（3）圖甲中的圖形面積是多少？【思路分析】（1）（2）由點P的運動過程與△ABP的面積關系可知：當P在BC上運動時，△ABP的面積由小到大變化；當P在CD上運動時，由于△ABP的底AB及高BC沒有發(fā)生變化，所以面積不變；當點P在DE上運動時，△APD的面積接著變大；當點P在EF上運動時，由于△ABP的底AB及高AF沒有發(fā)生變化，所以面積不變；當點P在FA上運動時，△ABP的面積由大變??；到點A時，面積為0.所以對照圖乙，即可求出BC的長及a,b的值；（3）由（1）（2）可以算出圖甲各邊的長度，用“補割法”即可求出圖形面積?！窘忸}過程】（1）由圖乙可知，點P運動4秒后△ABP的面積出現(xiàn)不變的情形可知：4秒時點P運動到點C的位置，所以BC=4×2=8cm；（2）由圖乙可知，點P運動到4秒時，△ABP的面積開始出現(xiàn)不變的情形，此時點P正好運動到點C的位置，∴a=S△ABP=AB×BC÷2=6×4÷2=12；點P在運動4至6秒時，△ABP的面積出現(xiàn)不變的情形，可知此時點P在CD上運動了2秒，∴CD=2×2=4cm；點P在6--9秒時，△ABP的面積又接著變大，可知此時點P在DE上運動了3秒，∴DE=