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第四章數(shù)列
對(duì)數(shù)列的研究源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要.
例如,一棵樹(shù)在某一時(shí)刻的高度是2m,如果在每年的同-時(shí)刻都記錄下這棵樹(shù)的高度,并按先后順序排列起來(lái),就得到一列數(shù).人們常用這樣的一列數(shù)有序地表達(dá)一類(lèi)事物,或者記錄一個(gè)過(guò)程.像這樣按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列.如果用正整數(shù)表示事物發(fā)展過(guò)程的先后順序,并且把這樣的正整數(shù)看作自變量的取值,把事物的對(duì)應(yīng)數(shù)值看作相應(yīng)的函數(shù)值,那么數(shù)列就是定義在正整數(shù)集(或正整數(shù)集的有限子集)上的一類(lèi)離散函數(shù).
本章我們將學(xué)習(xí)數(shù)列的概念和表示方法,并研究?jī)深?lèi)特殊的數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列,探索它們的取值規(guī)律,建立它們的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,并應(yīng)用它們解決一些問(wèn)題.我們將把數(shù)列看成一類(lèi)特殊的函數(shù),并用函數(shù)的思想方法研究數(shù)列.
我們還將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法,這是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的特殊方法.在本章的學(xué)習(xí)中,我們可以體驗(yàn)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象獲得一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象,并通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等進(jìn)行研究的過(guò)程和方法;通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)具有遞推規(guī)律的事物,提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯(約公元前570-約公元前500年)學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題,他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù).比如,他們研究過(guò):由于這些數(shù)可以用如圖1所示的三角形點(diǎn)陣表示,他們就將其稱(chēng)為三角形數(shù).正方形數(shù)類(lèi)似地,被稱(chēng)為正方形數(shù),因?yàn)檫@些數(shù)能夠表示成正方形.4.1數(shù)列的概念
第一課時(shí)(數(shù)列的有關(guān)概念及表示法)一、探究新知
在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們經(jīng)常需要根據(jù)問(wèn)題的意義,通過(guò)對(duì)一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來(lái)刻畫(huà)研究對(duì)象.例如:1.本學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)成績(jī)前10名同學(xué)的依次排成一列數(shù):
135,131,129,123,121,117,116,113,111,106.
記第i名的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閔i,那么h1=135,h2=131,…,h10=106.我們發(fā)現(xiàn),hi中的i反映了數(shù)學(xué)成績(jī)從1到10名的順序排列時(shí)的確定位置,即h1=135是排在第1位的數(shù),h2=131是排在第2位的數(shù)…h(huán)10=106是排在第10位的數(shù),它們之間不能交換位置.
所以,上面那一系列的數(shù)是具有確定順序的一列數(shù).一、探究新知2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版(編號(hào)K90,約產(chǎn)生于公元前7世紀(jì))
上,有一列依次表示一個(gè)月中從第1天到第15天每天月亮可見(jiàn)部
分的數(shù)”:
記第i天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)為si,那么s1=5,s2=10,…,s15=240.
這里,si中的i反映了月亮可見(jiàn)部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時(shí)的確定位置,即s1=5是排在第1位的數(shù),s2=10是排在第2位的數(shù),…,s15=240是排在第15位的數(shù),它們之間不能交換位置.所以,上面那一系列的數(shù)也是具有確定順序的一列數(shù).
把滿月分成240份,則從初一到十五每天月亮的可見(jiàn)部分可用一個(gè)代表份數(shù)的數(shù)來(lái)表示.5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.3.
的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù):
你能仿照例如1、2的敘述,說(shuō)明例如3也是具有確定順序的一列數(shù)嗎?
上述例子的共同特征是什么?一、探究新知二、數(shù)列的有關(guān)概念及表示1.數(shù)列的定義:按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列.(1)“1,2,3,4,5”與“5,4,3,2,1”是同一個(gè)數(shù)列嗎?
與“1,3,2,4,5”呢?(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)嗎?(3)數(shù)列與集合有什么區(qū)別?集合:無(wú)序性、互異性、確定性,數(shù)列:有序性、可重復(fù)性、確定性.二、數(shù)列的有關(guān)概念及表示2.數(shù)列的項(xiàng):
數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上
的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示,第二個(gè)位置上的數(shù)
叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)
數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).3.數(shù)列的一般形式:可簡(jiǎn)記為{an}.a1,
a2,a3,a4,…,an,….三、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
由于數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)an與它的序號(hào)n有下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系:序號(hào)123…n…項(xiàng)a1a2a3…an…
所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N﹡(或它的有限子集{1,2,…,n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù),其自變量是序號(hào)n,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an,記為an=f(n).也就是說(shuō),當(dāng)自變量從1開(kāi)始,按照從小到大的順序依次取值時(shí),對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1),f(2),…,f(n),…就是數(shù)列{an}.另一方面,對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(n)(n∈N﹡)有意義,那么f(1),f(2),…,f(n),…構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{f(n)}.
以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的,而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N*或它的子集解析式y(tǒng)=f(x)an=f(n)圖象點(diǎn)的集合一些離散點(diǎn)的集合三、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系n12345678910an135131129123121117116113111106
從上表和上圖,你能發(fā)現(xiàn)此數(shù)列中的項(xiàng)隨序號(hào)的變化呈現(xiàn)出的特點(diǎn)嗎?
與函數(shù)類(lèi)似,我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性.
與其他函數(shù)-樣,數(shù)列也可以用表格和圖象來(lái)表示,例如中的數(shù)列1用表格和圖象表示如下:四、數(shù)列的分類(lèi)1.按項(xiàng)之間的大小關(guān)系分:
遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.
遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.
常
數(shù)
列:各項(xiàng)都相等的數(shù)列.
擺動(dòng)數(shù)列:2.按項(xiàng)數(shù)分:
有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.
無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.下面的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列?(1)全體負(fù)整數(shù)構(gòu)成數(shù)列:-1,-2,-3,-4,-5,….(2)1996-2002年某市曾通高中生人數(shù)(單位:萬(wàn)人)構(gòu)成數(shù)列:
82,93,105,119,129,130,132.(3)無(wú)窮多個(gè)3構(gòu)成數(shù)列:3,3,3,3….(4)-1的1次冪,2次冪,3次冪,…構(gòu)成數(shù)列:-1,1,-1,….五、數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
例如,
的1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù):
顯然,通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式,根據(jù)通項(xiàng)公式可以寫(xiě)出數(shù)列的各項(xiàng).
此數(shù)列的通項(xiàng)公式為:六、典型例題例1根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng),并畫(huà)出它
們的圖象.六、典型例題例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng),寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:
(-1)n或(-1)n+1常常用來(lái)表示正負(fù)相間的變化規(guī)律.七、課堂小結(jié)1.數(shù)列的含義
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)
叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上
的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示,第二個(gè)位置上的數(shù)
叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)
數(shù)列的第n項(xiàng),用an
表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).
數(shù)列的一般形式:a1,
a2,a3,…,an,….可簡(jiǎn)記為{an}.函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N*或它的子集解析式y(tǒng)=f(x)an=f(n)圖象點(diǎn)的集合一些離散點(diǎn)的集合2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)按項(xiàng)數(shù)分:
有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.
無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.七、課堂小結(jié)3.數(shù)列的分類(lèi)4.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)按項(xiàng)之間的大小關(guān)系分:
遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.
遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一
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