第四章三角函數(shù)解三角形

數(shù)學(xué)A（理）§4.7正弦定理、余弦定理第四章三角函數(shù)、解三角形基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a2＝

；b2＝

；c2＝________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC變形2RsinB2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

A為銳角

A為鈍角或直角圖形

關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解思考辨析

√√√思考辨析

×××返回題號(hào)答案解析1234DBC2

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題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形

解析思維升華題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思維升華

題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思維升華

題型一利用正弦定理、余

弦定理解三角形解析思維升華

(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.解析思維升華例1

(2)求sin(A－B)的值.

題型二利用正、余弦定理判

定三角形的形狀例2在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；解析思維升華題型二利用正、余弦定理判

定三角形的形狀解析思維升華

例2在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大?。活}型二利用正、余弦定理判

定三角形的形狀解析思維升華例2在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大??；邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理.解析思維升華

解析思維升華

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三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等.判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其解析思維升華

是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.

所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形.答案

A

題型三和三角形面積有關(guān)的問題

解析思維升華解析思維升華

解析思維升華

解析思維升華

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.解析思維升華

答案

B易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒易錯(cuò)分析溫馨提醒(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形；(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；(3)結(jié)論表述不規(guī)范.易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答解

∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.易錯(cuò)分析溫馨提醒易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答4分

方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.易錯(cuò)分析溫馨提醒易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答8分

易錯(cuò)分析溫馨提醒易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答12分

易錯(cuò)分析溫馨提醒易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.易錯(cuò)分析溫馨提醒易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.規(guī)范解答12分

(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進(jìn)行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況.易錯(cuò)分析溫馨提醒易錯(cuò)警示系列6三角變換不等價(jià)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀.返回規(guī)范解答方法與技巧

2.正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明.3.在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號(hào)和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解.失誤與防范1.在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論.2.利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.返回2345678910123456789101B34567891012

C

24567891013A23567891014

23567891014

23467891015

23467891015

2345789101623456891017

4或523456910178

23456781019

23456781019

23456789110

解

(1)由

＝2得c·acosB＝2.23456789110

因?yàn)閍>c，所以a＝3，c＝2.23456789110(2)cos(B－C)的值.解在△ABC中，因?yàn)閍＝