北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題1.3 正方形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（學(xué)生版）

專題1.3正方形的性質(zhì)與判定【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】 1【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】 3【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長）】 4【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】 6【題型5判定正方形成立的條件】 10【題型6正方形判定的證明】 12【題型7正方形的判定與性質(zhì)綜合】 16【題型8探究正方形中的最值問題】 19【題型9正方形在坐標(biāo)系中的運用】 20【題型10正方形中的多結(jié)論問題】 23【知識點1正方形的定義】有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．【知識點2正方形的性質(zhì)】①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例1】（2023春?建陽區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中有一個點E，使三角形BCE是正三角形，求：（1）∠BAE的大?。?）∠AED的大?。咀兪?-1】如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數(shù)，并說明理由．【變式1-2】（2023?武威模擬）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，點F在BC的延長線上，且BE＝EF，EF交CD于點G．（1）求證：DE＝EF；（2）求∠DEF的度數(shù)．【變式1-3】（2023春?新市區(qū)校級期末）如圖，在給定的正方形ABCD中，點E從點B出發(fā)，沿邊BC方向向終點C運動，DF⊥AE交AB于點F，以FD，F(xiàn)E為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP，連接CP，則∠DFE+∠EPC的度數(shù)的變化情況是（）A．一直減小 B．一直減小后增大 C．一直不變 D．先增大后減小【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】【例2】（2023春?牡丹江期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E，F(xiàn)在正方形內(nèi)部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，則線段EF的長為（）A．22 B．4 C．4?2 D．4【變式2-1】（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊CD上，且DE＝1，作EF∥BC分別交AC、AB于點G、F，P、H分別是AG，BE的中點，則PH的長是（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【變式2-2】（2023?越秀區(qū)一模）將正方形ABCD與正方形BEFG按如圖方式放置，點F、B、C在同一直線上，已知BG=2，BC＝3，連接DF，M是DF的中點，連接AM，則AMA．102 B．3 C．132 【變式2-3】（2023春?吳中區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝45．E、F分別為邊AB、BC的中點，連接AF、DE，點N、M分別為AF、DE的中點，連接MN，則MN的長度為．【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長）】【例3】（2023春?鄞州區(qū)期末）有兩個正方形A，B．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，若三個正方形A和兩個正方形B得圖丙，則陰影部分的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31【變式3-1】（2023春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD為正方形，O為AC、BD的交點，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，OE＝22，若CE?DE＝3，則正方形ABCD的面積為（）A．5 B．6 C．8 D．10【變式3-2】（2023?臺州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為．【變式3-3】（2023?江北區(qū)一模）如圖，以Rt△ABC的各邊為邊分別向外作正方形，∠BAC＝90°，連結(jié)DG，點H為DG的中點，連結(jié)HB，HN，若要求出△HBN的面積，只需知道（）A．△ABC的面積 B．正方形ADEB的面積 C．正方形ACFG的面積 D．正方形BNMC的面積【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】【例4】（2023秋?中原區(qū)校級月考）如圖，線段AB＝4，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點E，使∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合）．（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）請直接寫出△AEF的周長．【變式4-1】（2023春?雁塔區(qū)校級期末）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，該角可以繞點A轉(zhuǎn)動，∠MAN的兩邊分別交射線CB，DC于點M，N．（1）當(dāng)點M，N分別在正方形的邊CB和DC上時（如圖1），線段BM，DN，MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？你的猜想是：，并加以證明．（2）當(dāng)點M，N分別在正方形的邊CB和DC的延長線上時（如圖2），線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論．【變式4-2】（2023春?莆田期末）如圖，已知正方形ABCD中，E為CB延長線上一點，且BE＝AB，M、N分別為AE、BC的中點，連DE交AB于O，MN交，ED于H點．（1）求證：AO＝BO；（2）求證：∠HEB＝∠HNB；（3）過A作AP⊥ED于P點，連BP，則PE?PAPB【變式4-3】（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O．點E是線段DO上一點，連接CE．點F是∠OCE的平分線上一點，且BF⊥CF與CO相交于點G．點H是線段CE上一點，且CO＝CH．（1）若OF＝5，求FH的長；（2）求證：BF＝OH+CF．【知識點3正方形的判定】①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．【題型5判定正方形成立的條件】【例5】（2023春?海淀區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD為凸四邊形，點M、N、P、Q分別為AB、BC、CD、DA上的點（不與端點重合），下列說法正確的是（填序號）．①對于任意凸四邊形ABCD，一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③如果四邊形ABCD為任意矩形，那么一定存在一個四邊形為正方形；④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形．【變式5-1】（2023春?岳麓區(qū)校級月考）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是．【變式5-2】（2023春?漢壽縣期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且OE＝OF，連接DE并延長至點M，使DE＝ME，連接MF，DF，BE．（1）當(dāng)DF＝MF時，證明：四邊形EMBF是矩形；（2）當(dāng)△DMF滿足什么條件時，四邊形EMBF是正方形？請說明理由．【變式5-3】（2023春?沛縣期中）已知在△ABC中，D為邊BC延長線上一點，點O是邊AC上的一個動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN與∠BCA的平分線相交于點E，與∠ACD的平分線相交于點F．（1）求證：OE＝OF；（2）試確定點O在邊AC上的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．（3）在（2）的條件下，且△ABC滿足條件時，矩形AECF是正方形？．【題型6正方形判定的證明】【例6】（2023春?虹口區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是對角線BD上的一點，且AE＝CE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求證：四邊形ABCD是正方形．【變式6-1】（2023春?宜城市期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接對角線AC，過點D作DE∥AC與BC的延長線交于點E，連接AE交DC于F．（1）求證：BC＝CE；（2）連接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求證：四邊形ABCD是正方形．【變式6-2】（2023秋?市南區(qū)期末）已知：在平行四邊形ABCD中，分別延長BA，DC到點E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．連接EH，分別交AD，BC于點F，G．（1）求證：AF＝CG；（2）連接BD交EH于點O，若EH⊥BD，則當(dāng)線段AB與線段AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形BEDH是正方形？【變式6-3】（2023?上海）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【題型7正方形的判定與性質(zhì)綜合】【例7】（2023?威海）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點，HA＝EB＝FC＝GD，連接EG，F(xiàn)H，交點為O．（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2．【變式7-1】（2023?蕭山區(qū)模擬）如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的一點，畫?PAHD，?PBEA，?PCFB，?PDGC，請證明：以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是正方形．【變式7-2】（2023?蕭山區(qū)模擬）已知：如圖，邊長為4的菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求證：四邊形ABCD是正方形．（2）E是OB上一點，BE＝1，且DH⊥CE，垂足為H，DH與OC相交于點F，求線段OF的長．【變式7-3】（2023春?潛山市期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝32，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【題型8探究正方形中的最值問題】【例8】（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，M，N是邊AB上的動點，且AM＝BN，連接MD交對角線AC于點E，連接BE交CN于點F，若AB＝3，則AF長度的最小值為．【變式8-1】（2023?泰山區(qū)一模）如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為2，則線段CF的最小值是（）A．2 B．1 C．5?1 D．5【變式8-2】（2023?青山區(qū)模擬）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4AB＝8，E為線段AD上一動點，以CE為邊向上構(gòu)造正方形CEFG，連接BF，則BF的最小值是．【變式8-3】（2023?鄖陽區(qū)模擬）如圖，PA=22，PB=42，以AB為邊作正方形ABCD，使得P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)∠APB變化時，則PD的最大值為【題型9正方形在坐標(biāo)系中的運用】【例9】（2023春?市中區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于兩個點P、Q和圖形W，如果在圖形W上存在點M、N（M、N可以重合）使得PM＝QN，那么稱點P與點Q是圖形W的一對平衡點．已知正方形的邊長為2，一邊平行于x軸，對角線的交點為點O，點D的坐標(biāo)為（2，0）．若點E（x，2）與點D是正方形的一對平衡點，則x的取值范圍為（）A．﹣3≤x≤3 B．﹣4≤x≤4 C．﹣2≤x≤2 D．﹣5≤x≤5【變式9-1】（2023秋?永新縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別是A（﹣2，0）、B（0，﹣2）、C（2，0）、D（0，2），求證：四邊形ABCD是正方形．【變式9-2】（2023春?順城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線OC：yOC＝3x與直線AC：yAC＝﹣x+8相交于點C（2，6）．（1）點M從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，點N從點A出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿x軸向左運動，兩點同時出發(fā)．分別過點M，N作x軸的垂線，分別交直線OC，AC于點P，Q，請你在圖1中畫出圖形，猜想四邊形PMNQ的形狀（點M，N重合時除外），并證明你的猜想；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點M運動秒時，四邊形PMNQ是正方形（直接寫出結(jié)論）．【變式9-3】（2023?河南模擬）如圖，正方形OABC中，點A（4，0），點D為AB上一點，且BD＝1，連接OD，過點C作CE⊥OD交OA于點E，過點D作MN∥CE，交x軸于點M，交BC于點N，則點M的坐標(biāo)為（）A．（5，0） B．（6，0） C．（254，0） D．（27【題型10正方形中的多結(jié)論問題】【例10】（2023春?慈溪市期末）如圖，正方形ABCD中，點P為BD延長線上任一點，連結(jié)PA，過點P作PE⊥PA，