2023屆貴州省貴陽市高考12月模擬性聯(lián)考 數(shù)學（理）試題

2023屆貴州省貴陽市第一中學高考12月備考模擬性聯(lián)考

理科數(shù)學

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1,已知集合A={T°'l'2}，8={y|y=2},則Ac5表示的集合為（）

A.{-1}B.{-1,0）C.{1,2}D.{0,1,2）

2.復數(shù)z="—l,則|z|=（）

1+i

A.72B.45C.2D.5

3.某醫(yī)療公司引進新技術設備后，銷售收入（包含醫(yī)療產(chǎn)品收人和其他收入）逐年翻一番,

據(jù)統(tǒng)計該公司銷售收入情況如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

B.該地區(qū)2021年的醫(yī)療產(chǎn)品收入比2019年和2020年的醫(yī)療產(chǎn)品收入總和還要多

C.該地區(qū)2021年其他收人是2020年的其他收入的3倍

D.該地區(qū)2021年的其他收入是2019年的其他收人的6倍

4.我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見,

譬如“陽馬”意指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.某“陽馬”的三視圖如圖所示,

則它的最長側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）

1

2

俯視圖

A.1B.1C.正D.—

256

5.已知焦點在坐標軸上且中心在原點的雙曲線的一條漸近線方程為2y=x,若該雙曲線過

點(1,1)，則它的方程為()

A.4y2—f=3B.4x2-y2=3C.2y2-x2=\D.

lx1-/=1

6.已知直線?！?2)》+0-1)F一2加-1=0(加61<)與圓。：》2一4》+卜2=0,則下列說

法錯誤的是()

A.對VaeR,直線恒過一定點

B.3meR,使直線與圓相切

C.對VmeR,直線與圓一定相交

D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為2近

,1

7.以下關于/(x)=sinxcosx-cos-x+］的命題，正確的是()

A.函數(shù)，(x)在區(qū)間(0,年)上單調(diào)遞增

B.直線x是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸

C.點是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心

D.將函數(shù)y=f(x)圖象向左平移1個單位，可得到y(tǒng)=?Zsin2x的圖象

82

r

8.在.ABC中，a,b,c分別為角的對邊，且滿足。一。=ZOsii?—,貝/ABC的形

2

狀為()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

9.小明家訂了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：(X)之間把牛奶送到小明家，小明出

門去上學的時間在早上6：50~7：10之間，則小明在離開家之前能得到牛奶的概率是()

l,x〉0

10.已知符號函數(shù)sgnx={o,x=o,函數(shù)/(X)滿足

-l,x<0

/(I-x)=/(I+%),/(%+2)=/(x),當xe[0,l]時，/(x)=sin^-|xj,則()

A.sgn(/(x))>0B.粵^]=1

C.sgn(/(2&))=0(左eZ)D.sgn(/(2k))=|sgn4|(左GZ)

11.已知直線/與曲線y=e*相切，切點為P,直線/與x軸、y軸分別交于點4,B,。為坐

標原點.若的面積為工，則點P的個數(shù)是()

e

A1B.2C.3D.4

12.如圖，已知四面體ABCD中,AB=AC=8。=8=272，4D=BC=2,E,F分別是

AD8C的中點.若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面。去截該四

面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為()

A.1B.72C.2D.272

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知向量a=(1,3),。=(3,4),若。7以一力//(a+b),則〃?=.

l+})(l+x)6展開式中含/項的系數(shù)為

14.

6若”（1二抽3）2士抽2?1%18

，則。的值為.

log#2

16.拋物線y2=2px（p>0）的焦點為尸，直線/過點尸且與拋物線交于點M,N（點、N在x

軸上方），點E為坐標軸上尸右側(cè)的一點，已知|NF|=|所|=3|MF|,SMNE=3C，若點

y1

N在雙曲線1=i的一條漸近線上,則雙曲線的離心率為

a

三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對飲食的要求也

愈來愈高.某地區(qū)為了解當?shù)夭惋嬊闆r，隨機抽取了100人對該地區(qū)的餐飲情況進行了問卷

調(diào)查.請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列

問題.

組別分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60)140.14

第2組[60,70)m

第3組[70,80)360.36

第4組[80,90)0.16

第5組[90,100)4n

合計

（1）求的值;

(2)求中位數(shù);

(3)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計總體,

從該地區(qū)中隨機抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為求自的分布列和數(shù)學期望.

is.已知數(shù)列｛4｝是遞增的等比數(shù)列.設其公比為g,前〃項和為s“，并且滿足

4+%=34,8是4與%的等比中項?

(1)求數(shù)列｛?！埃椆?

,,+1

(2)若2=〃?勺，7；是2的前〃項和，求使Tn-n-2>-100成立的最大正整數(shù)〃的值.

19.如圖，在四棱雉P-ABCD中，底面ABC力是平行四邊形,平面

ABCD,PD=AD=BD=l，AB=g

(1)求證:平面PBD，平面PBC;

(2)試問在線段PC上是否存在一點M,使得二面角〃一3。一。的大小為60，若存在求出

——的值;若不存在,請說明理由.

MC

22(R、r-

20.已知橢圓。：=+與=13>02>0)過點1,一,且離心率為上.

crb'I2J2

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線/：>=/我+2與橢圓交于不同的兩點尸，Q,那么在x軸上是否存在點M,

使=且若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

21.已知/(x)=lnx-or+l(aeR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(xbgoxJx對xe(0,+8)恒成立，求整數(shù)”的最小值.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用25鉛筆在答題卡上把所選題目

的題號涂黑.注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答

區(qū)域指定位渣答題.如果多做，則按所做的第一題計分.

九=G(sin。一cos。)

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為＜(。為參數(shù)),

y=J2(sin0+cos6)

以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

吟(6+訃卓

(1)求直線/和曲線C的直角坐標方程；

121

(2)從原點。引一條射線分別交曲線C和直線/于兩點，求+7^77瓦的最

\0M||ONI'

大值.

23已知函數(shù)/(x)=|x+a|+%-T.

(1)當a=2時，求不等式/(x)W5解集；

332

(2)設。＞0力＞0且/'(x)的最小值為"?，若m+—6=3,求一+一的最小值.

2ab

2023屆貴州省貴陽市第一中學高考12月備考模擬性聯(lián)考

理科數(shù)學

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】C

12.【答案】A

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.【答案】-1

14.【答案】30

15.【答案】1

16.【答案】叵后

33

三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對飲食的要求也

愈來愈高.某地區(qū)為了解當?shù)夭惋嬊闆r，隨機抽取了100人對該地區(qū)的餐飲情況進行了問卷

調(diào)查.請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列

問題.

組別分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60)140.14

第2組[60,70)m

第3組[70,80)360.36

第4組[80,90)0.16

第5組[90,100)4n

合計

（2）求中位數(shù)；

（3）若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計總體,

從該地區(qū)中隨機抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為求自的分布列和數(shù)學期望.

【答案】（I）加=30,〃=0.04,x=0.03,y=0.004：

⑵71-

3

3

（3）分布列見解析，數(shù)學期望為g.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率和頻數(shù)的定義結合頻率分步表可求得〃?，〃，根據(jù)頻率分步直方圖中

的含義即可求得

（2）根據(jù)頻率分布直方圖結合中位數(shù)的估計方法即可得到答案；

（3）由題意可得J利用二項分布概率公式求分布列和數(shù)學期望即可.

【小問1詳解】

由題意可得第四組的人數(shù)為100x0.16=16,

4

所以機=100—14—36—16—4=30,n=——=0.04,

100

3003

又［60,70)內(nèi)的頻率為一=0.3,所以x=—=0.03，

10010

［90,100)內(nèi)的頻率為0.04,所以丁=吧=0.004.

10

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖可得第一、二組頻率之和為(0.014+0.03)xl0=0.44,

第一、二、三組頻率之和為(0.014+0.03+0.036)x10=0.8,故中位數(shù)在［70,80)之間,

2

設中位數(shù)為x,貝ij：10x0.014+10x0.03+(%-70)x0.036=0.5,解得x=71—，

3

2

故中位數(shù)為71—.

3

【小問3詳解】

由頻率分布表可得該地區(qū)抽取“美食客”的概率為0.16+0.04=0.2,

由題意&可取0,1,2,3,且J

所以廢=。)Y,胞=1)=鳴如掾

3=嗚閭啥5個闿一

所以4的分布列為

0123

6448121

P

125125125125

13

E?=3x瀉

18.已知數(shù)列｛q｝是遞增的等比數(shù)列.設其公比為q,前〃項和為S“，并且滿足

q+%=34,8是々與小的等比中項?

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)若4=〃?4,7；是刈的前〃項和，求使7；-?2n+1〉一100成立的最大正整數(shù)”的值.

【答案】n

(1)an=2(?eN*)

(2)5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結合條件8是4與4的等比中項得到4a5=64，聯(lián)立條

件q+%=32得到％和生，根據(jù)題目條件和等比數(shù)列的通項公式即可求解.

(2)根據(jù)(1)求得a=〃.2",利用錯位相減求和得到,,從而得到(-小2向，通過函

數(shù)法判斷出Z,-〃-2向是單調(diào)遞減數(shù)列，即可求解.

【小問1詳解】

因為8是生與2的等比中項，所以%/=屋=64,

4+%=34a=34fa,2q=32

則由題意得:即乙，解得：1”或《

a2a4=64%%-641%32%=2

zxIa=2

因為數(shù)列｛q｝是遞增的等比數(shù)列，所以ja即％=2，4=2,

所以a”=qq"T=2x2"T=2",

故數(shù)列｛4｝的通項公式為?！?2"(〃eN*).

【小問2詳解】

由⑴得：b“=n」a"=〃x2"(〃eN*)，

則打+

(,=4+4++bn

=1X2'+2X22+3X23+L+nx2".①

即27；=1X2?+2X23+3X24+L+nx2"+t,②

則①-②得：-1=21+22+23++2"-nx2',+'

即7；="x2向一/一；一二(〃—1)2e+2(〃eN*)，

所以看一分2向=(〃-1)27+2—〃Z'+inZ—Ze(〃eN*)，

設C,=7；-〃2M,則G=2-2"M（〃GN"），

因為y=2—2A+I在（0,+。）上單調(diào)遞減，

所以C“=2—2向是單調(diào)遞減數(shù)列，

又有G=2—26=—62>—100,06=2—2’=—126<—100,

所以當〃W5且〃eN*時，7；-〃2'“〉一100成立，

n+1

故使Tn-n-2>-100成立的最大正整數(shù)n的值為5.

19.如圖，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，尸D，平面

ABCD,PD-AD=BD=1,AB=\[2

（1）求證:平面平面尸BC;

（2）試問在線段PC上是否存在一點M,使得二面角。的大小為60，若存在求出

PM

--的值;若不存在，請說明理由.

MC

【答案】（1）證明見解析；

右六PMV3

（2）存在,——.

MC3

【解析】

【分析】（1）先由長度之間關系證明再證明平面PBD,根據(jù)面面垂直判定定

理即可證明結論；

（2）先建立空間直角坐標，設PM=APC（0W尤W1）,寫出M點坐標，分別求出平面MBD及

平面CBD的法向量，進而求出二面角大小的余弦值,使其為cos60°,解出2的值，進而求出

PM

——的值即可.

MC

【小問1詳解】

證明：AD=BD=\,AB=y[2,

:.AD2+BD2^AB2,

：.BD±AD,

四邊行ABC。為平行四邊形，

BCLBD,

又PD_L平面43CD,

:.PD±BC,

而BDP。=。,且BD,PD含于面PBD

平面PBD,

又BCu平面PBC,

平面PBC1平面PBD;

【小問2詳解】

由(1)知,BD14),且正。，平面ABCD,

故以。為原點,DA,DB,OP分別為x軸,)，軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,

則￡)(0,0,0),4(1,0,0),8(0,1,0),。(-1,1,0),P(0,0,1),

假設在PC存在一點M(x,y,z)滿足條件,

設PM=XPC(OWXW1),

x——A

/.<y=A,

z=1—Z

即M(-4,4,1-X),

:.BD=(O,-l,O),DM=(-A,/l,l-^)

設“=(N，x，zJ為平面A18Z)的法向量,

&BD=O

則1,

n20M=0

1(X'%4)似一1°)=°

[(xpjpZ,)(-2,Z,l-2)=0'

'-X=0

即4

—彳玉+Xy+(1一義)Z1=0

令%=1-2,

可得勺=（1-2,0,2）,

FQ_L平面ABCD,

不妨令平面CBD的法向量為“，=（0,0,1）,

由二面角M—BO—C的大小為60。，

0y%m1

端%V2A2-22+12

4=近二1或丸=巫11＜0（舍去），

22

???存在實數(shù)4=避二

2

HnPMPMV3-1

PCPM+MC2

解得也=1,使得二面角用一一。的大小為60°.

MC3

爐y2（瓜、

20.已知橢圓C：T+3=1（。＞0力＞0）過點［1，一相J，且離心率為

（I）求橢圓c的方程；

（2）已知直線/：y=mx+2與橢圓交于不同的兩點p,Q,那么在x軸上是否存在點M,

使=且若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

22

【答案】（1）—+^-=1

42

（2）詳見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件得到關于"c的方程組，即可求得橢圓方程；

（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示線段尸。中點坐標

（-4m2、

N,〃，，，〃，，再根據(jù)MNLPQ,以及MP_LMQ,轉(zhuǎn)化為坐標表示，代入韋達

11+2m-1+2m~）

定理后，即可求加,〃

【小問1詳解】

13,

a12b2

cy/2

由條件可知，〈一=一丁，解得：a?=4，b2=c2=2>

a2

a2=b2+C1

22

所以橢圓C的方程是二+2-=1；

42

【小問2詳解】

假設在x軸上存在點M（〃,0），使用P=MQ且例尸_L例。，

y=mx+2

聯(lián)立.f2設p（xj）,

----1----=1

142

方程整理為（1+2〃廠）%2+8MLY+4=0,

△=64>—]6（1+2療）>0,解得：機或加

-8m4M+X）-4m

X,+X?—~,XiXj~~9=彳

1-1+2加21-1+2利221+2加2

—4m—An?22

則線段尸。的中點的橫坐標是x=-------r,中點縱坐標y=,+2=.，

1+2/71+2"1+2加2

(—4IT?2\

即中點坐標N/,c,,M(〃,o),

{\+2m-1+2m*)\，

2

2i

則MN_LPQ,即1產(chǎn)〃廠=——，化簡為2m2〃+2機+〃=0,①

-4m

-----7—〃m

1+2m2

又MPMQ=O,

則(X1—71)(%2_〃)+=%=0，(5~n)\X2—〃)+(儂I+2)(a々+2)=0,

整理為(加2+1)西工2+(2〃2—〃+尤2)+力2+4=0,

(nr+l)x——^-―-+(2m-n)x——++4=0,

〈)1+2/'7l+2m2

化簡為"2(1+2加2)—4m2+8〃?〃+8=。②

由①得(2毋+1)〃=-2加，即(2>+1)/=—2加〃，代入②得

-2m

-2mn-4m2+Smn+8=0?整理得一2〃，+3〃z〃+4=0③，又由①得〃―%~~,代入

2/71-4-1

③得一2相2+3加.^^+4=0,B[J-2m1(2/n2+1)+3w-(-2w)+4(2/?z2+1)=0,整

理得“=],即加=±1.

22

當相=1時，n=—,當m=-1時，n=—,滿足A>0,

33

所以存在定點"H，0),此時直線/方程是y=x+2,當定點此時直線/方程是

y=-x+2.

21.已知/(x)=lnx-or+l(〃wR).

(I)討論/(X)的單調(diào)性：

(2)若/(x)wgax2—X對xe(o,+8)恒成立，求整數(shù)0的最小值.

【答案】(1)分類討論，答案見解析；

(2)2

【解析】

【分析】(1)求導/'(x)=L—a,根據(jù)aSO和?！?兩種情況討論.

X

把不等式分離參量得弛或正?,求函數(shù)2(lnx+x+l)

(2)a2F(x))C--的最大值,

x'+lxx+2x

是求導后求不出具體的根，所以設隱零點，整體代入求解.

【小問1詳解】

“X)的定義域為(0,+8)J'(x)=：—a,

(i)當aWO時，/'(%)>0,.??/(*)在xe(0,+。。)上單調(diào)遞增;

(ii)當a>0時，令/'(x)>0=>l-ar>0=>0<x<,，

a

令r(x)<0nx>L

??.當。40時，/(力在16(0,+。。)上單調(diào)遞增；

當a>0時，/(x)在上單調(diào)遞增，在(：,+"上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

由/(x)〈gat?,可得：a+2x^>2(lnx+%+1),

b人gA?女，人十2(lnx+x+l),小、

Vx>0,:.原命題等價于a>----z----------對x￡(0,+oo)恒成乂.

元2+2%

2(lnx+x+l)-2(*+1)(2Inx+%)

令尸(x)=2C~~:，???廣(力―/2c?，

X2+2X(X-+2X)

2

令G(x)=21nx+x,?,.G'(x)=—+l>0,??.G(x)在x￡(0,+oo)上單調(diào)遞增.

x

又G(0.5)=-21n2+0.5=-In4+In&<(),G(l)=1>()，

故存在唯一的/e(0.5,1),使得6(/)=2111玉)+/=0.

當0vxv%o時,G(x)<0,/.F\x)>0,

???在不￡(0,%0)上單調(diào)遞增,

當x>/時，G(x)>0,:.F\x)<0,

/(無)在X￡(/,+<?)上單調(diào)遞減.

^(Bmax=尸(尤0)=色)==_L,

X。+2x0x°(x0+2)x0

nN，時，恒成立.

%(2)

：.a>2,又aeZ,的最小整數(shù)值為2.

【點睛】求某個函數(shù)的單調(diào)性時，發(fā)現(xiàn)極值點不容易求出，則用隱零點解決.

第一步設出隱零點吃,然后代人得到等式。(七)=0，

第二步根據(jù)設出的隱零點得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值g(%)

第三步極值g(x。)分離出。(%)代入，化簡成新的表達式〃(%)

第四步求〃(%)的最值.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答，并用25鉛筆在答題卡上把所選題目

的題號涂黑.注意所做題目的題號必須與所涂題目的題號一致，在答題卡選答

區(qū)域指定位演答題.如果多做，則按所做的第一題計分.

x=石(sin0-cos0)

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為｛(6為參數(shù)),

y=V2(sin6+cos。)

以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

(I)求直線/和曲線c的直角坐標方程；

⑵從原點。引一條射線分別交曲線。和直線，于MN兩點，求總於+看的最

大值.

【答案】(1)直線/的直角坐標方程為：x-y-l=o,曲線C的直角坐標方程為:

22

二+J1.

64

(2)7+石

2

【解析】

【分析】(1)消去參數(shù)。可得曲線C的直角坐標方程;利用兩角和的余弦公式和夕cos6=x,

「sin。=>可得直線/的直角坐標方程；

(2)設射線方程為，=。(。20,0?。<兀)，將曲線C的直角坐標方程化為極坐標方程,

并將，=0代入可得|0M|,將，代入。cos?！猵sine-l=O可得|0N|,再利用輔助角

121

公式可求出兩r所的最大直

【小問1詳解】

22

尤=Voisin。一cos8)Xv.,

由《L，得--\---(sin0-cosOY+(sin0+cos0)~=2,

y=>/2(sin0+cos(9)32

r22

即二+二=1,

64

所以曲線C的直角坐標方程為：—+^=1.

64

由夕cos。+囚］得夕cosOcos工一夕sinOsin巴，

14y/2442

得失cos"梟sin"*，即…一"一1=0,

將pcos0=x,2sin6=y代入得x-y-l=0,

所以直線/的直角坐標方程為：x-y-l=0.

綜上所述：直線/的直角坐標方程為：x-y-l=0,曲線C的直角坐標方程為：三+匯=1.

64

【小問2詳解】

設射線方程為(p>0,0<^<7t),

的-,.x2y2,xep~cos20p2sin20.

將。cos6n=x,psin(a9=y代/4入一+2-=i,得^-------+-^--------=1,

6464

1cos26sin20

+-------

4

cos20sin20cos2asin2a

將9=a代入一z-二------------1------------得--二-------------1------------,得

p'64p64

1_cos*2asin2a

十^—，

由pcos0+^-\--^-,得—=V^COS(e+g),

I4j2P4

7T57r

將6=a代入一=>/2cos(^+—),得一=y/2cos(a+--)(?0-_,得

p4p4e[)J(27I)).,

1

=2-cos2(/a+—兀)、,

|ON『