2023-2024學年上海市長寧區(qū)延安中學數(shù)學高一上期末統(tǒng)考試題含解析

2023-2024學年上海市長寧區(qū)延安中學數(shù)學高一上期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知、、是的三個內(nèi)角，若，則是A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.任意三角形2．在平面直角坐標系中，設(shè)角的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，規(guī)定：比值叫做的正余混弦，記作.若，則（）A. B.C. D.3．若角(0≤≤2π)的終邊過點，則=(

)A. B.C. D.4．已知，，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)f（x）=lnx﹣1的零點所在的區(qū)間是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）6．設(shè)集合，集合，則等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]7．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外切8．若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過點，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A. B.C. D.9．如果角的終邊在第二象限，則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.10．設(shè)R，則“＞1”是“＞1”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11．已知函數(shù)，將的圖象上所有點沿x軸平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.12．已知為銳角，為鈍角，，則（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），以筒車轉(zhuǎn)輪的中心為原點，過點的水平直線為軸建立如圖直角坐標系.已知一個半徑為1.6m的筒車按逆時針方向每30s勻速旋轉(zhuǎn)一周，到水面的距離為0.8m.規(guī)定：盛水筒對應(yīng)的點從水中浮現(xiàn)（時的位置）時開始計算時間，且設(shè)盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：s），且此時點距離水面的高度為（單位：m）（在水面下則為負數(shù)），則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為___________，在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為___________s.14．設(shè)且，函數(shù)，若，則的值為________15．已知則_______.16．已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_______三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）畫出在上的圖象18．已知函數(shù)，且滿足.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值；（3）若存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程恰有4個不同的正根，求實數(shù)m的取值范圍.19．已知圓，直線（1）直線l一定經(jīng)過哪一點；（2）若直線l平分圓C，求k的值；（3）若直線l與圓C相交于A，B，求弦長的最小值及此時直線的方程20．已知，(1)求的值;(2)求的值.21．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.22．已知.（1）若為銳角，求的值.（2）求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】依題意，可知B，C中有一角為鈍角，從而可得答案詳解】∵A是△ABC的一個內(nèi)角，∴sinA＞0，又sinAcosBtanC＜0，∴cosBtanC＜0，∴B，C中有一角為鈍角，故△ABC為鈍角三角形故選A【點睛】本題考查三角形的形狀判斷，求得B，C中有一角為鈍角是判斷的關(guān)鍵，屬于中檔題2、D【解析】由可得出，根據(jù)題意得出，結(jié)合可得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個量，然后利用商數(shù)關(guān)系可求出的值.【詳解】，則，由正余混弦的定義可得.則有，解得，因此，.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的新定義，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)題意建立方程組求解和的值是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】由題意可得：，由可知點位于第一象限，則.據(jù)此可得：.本題選擇D選項.4、B【解析】應(yīng)用同角關(guān)系可求得，再由余弦二倍角公式計算．【詳解】因，所以，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查余弦的二倍角公式．求值時要注意角的取值范圍，以確定函數(shù)值的正負．5、B【解析】∵，在遞增，而，∴函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選B.6、B【解析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得、，再由交集的運算即可得解.【詳解】因為，，所以.故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)不等式的求解及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了集合交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)兩圓的圓心距和兩半徑的和與差的關(guān)系判斷.【詳解】因為圓與圓的圓心距為：兩圓的半徑之和為：，所以兩圓相外切，故選：D8、B【解析】分別求出m，a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可【詳解】解：由題意得：，解得：，故，將代入函數(shù)的解析式得：，解得：，故，令，解得：，故在遞增，故選B【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題9、B【解析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定所給結(jié)論是否正確即可.【詳解】角的終邊在第二象限，則，AC錯誤；，B正確；當時，，，D錯誤本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)符號，二倍角公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、A【解析】由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件考點：充分條件與必要條件11、B【解析】先將解析式化簡后，由三角函數(shù)圖象變換得到的解析式后求解.【詳解】若向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到，由題意得，的最小值為；若向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到，同理得的最小值為，故選：B12、C【解析】利用平方關(guān)系和兩角和的余弦展開式計算可得答案.【詳解】因為為銳角，為鈍角，，所以，，則.故選：C.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①.②.10【解析】根據(jù)給定信息，求出以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角，求出點P的縱坐標即可列出函數(shù)關(guān)系，再解不等式作答.【詳解】依題意，點到x軸距離為0.8m，而，則，從點經(jīng)s運動到點所轉(zhuǎn)過的角為，因此，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為，點P的縱坐標為，于是得點距離水面的高度，由得：，而，即，解得，對于k的每個取值，，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為10s.故答案為：；10【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及三角函數(shù)實際應(yīng)用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終邊對應(yīng)的角是關(guān)鍵，特別注意，始邊是x軸非負半軸.14、【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式以及已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，且，則.故答案為：.15、【解析】因為，所以16、【解析】由已知結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于a的不等式，解不等式組即可得解.【詳解】因為函數(shù)是R上的減函數(shù)所以需滿足，解得，即所以實數(shù)a的取值范圍為故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、(1),(2)見解析【解析】（1）計算,得到答案.（2）計算函數(shù)值得到列表，再畫出函數(shù)圖像得到答案.【詳解】（1）令,，得,即，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因為所以列表如下：0024002【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性和圖像，意在考查學生對于三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.18、(1)見解析(2)時，.(3)【解析】（1）根據(jù)確定a.再任取兩數(shù)，作差，通分并根據(jù)分子分母符號確定差的符號，最后根據(jù)定義確定函數(shù)單調(diào)性（2）先根據(jù)絕對值定義將函數(shù)化為分段函數(shù)，都可化為二次函數(shù)，再根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值，最后取兩個最大值中較大值（3）先對方程變形得，設(shè),轉(zhuǎn)化為方程方程在有兩個不等的根，根據(jù)二次函數(shù)圖像，得實根分布條件，解得實數(shù)m的取值范圍.試題解析：(1)由，得或0.因為，所以，所以.當時，，任取，且，則，因為，則，，所以在上為增函數(shù)；（2），當時，，因為，所以當時，；當時，，因為時，所以，所以當時，；綜上，當即時，.（3）由（1）可知，在上為增函數(shù),當時，.同理可得在上為減函數(shù)，當時，.方程可化為，即.設(shè),方程可化為.要使原方程有4個不同的正根，則方程在有兩個不等的根，則有，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.19、（1）（2）（3）弦長的最小值為,此時直線的方程為【解析】（1）由可求出結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為圓心在直線上可求出結(jié)果；（3）當時，弦長最小，根據(jù)垂直關(guān)系求出直線斜率，根據(jù)點斜式求出直線的方程，利用勾股定理可求出最小弦長.【詳解】（1）由得得，所以直線l一定經(jīng)過點.（2）因為直線l平分圓C，所以圓心在直線上，所以，解得.（3）依題意可知當時，弦長最小，此時，所以，所以，即，圓心到直線的距離，所以.所以弦長的最小值為，此時直線的方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（3）中，將弦長最小轉(zhuǎn)化為是解題關(guān)鍵.20、(1)(2)【解析】(1)化簡得到原式，代入數(shù)據(jù)得到答案.(2)變換得到，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】(1).（2）.【點睛】本題考查了利用齊次式計算函數(shù)值，變換是解題的關(guān)鍵.21、（1）；（2）偶函數(shù)，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可求得和的定義域，取交集可得定義域；（2）整理可得，驗證得，得到函數(shù)為偶函數(shù).【詳解】（