2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年河南省洛陽(yáng)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列四個(gè)函數(shù)，最小正周期是的是（）A. B.C. D.2．命題關(guān)于的不等式的解集為的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢 B.C. D.4．下列說(shuō)法中，正確的是（）A.銳角是第一象限的角 B.終邊相同的角必相等C.小于的角一定為銳角 D.第二象限的角必大于第一象限的角5．一個(gè)機(jī)器零件的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個(gè)半圓與邊長(zhǎng)為的正方形，俯視圖是一個(gè)半圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為的正方形.若該機(jī)器零件的表面積為，則的值為A.4 B.2C.8 D.66．已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（）A. B.C. D.7．角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B.C. D.8．角度化成弧度為（）A. B.C. D.9．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.10．設(shè)全集，集合，，則等于A. B.{4}C.{2,4} D.{2,4,6}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)集合，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念；①空集的“勢(shì)”最??；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大.最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，以此類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大順序排列，則排在第位的子集是_________.12．由直線上的任意一個(gè)點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________.13．已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為_________14．函數(shù)最小值為______15．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.16．給出下列說(shuō)法：①和直線都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線一定在同一個(gè)平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線共面其中正確說(shuō)法的序號(hào)是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）已知，，求的值；（2）若，求的值.18．求下列各式的值（1）；（2）19．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：A1B1⊥C1D；（2）若AA1＝4，求三棱錐A﹣MDE的體積21．已知平面向量.(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】依次計(jì)算周期即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，正確；D選項(xiàng)：，錯(cuò)誤.故選：C.2、D【解析】根據(jù)三個(gè)二次式的性質(zhì)，求得命題的充要條件，結(jié)合選項(xiàng)和充分不必要的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，命題不等式的解集為，即不等式的解集為，可得，解得，即命題的充要條件為，結(jié)合選項(xiàng)，可得，所以是的一個(gè)充分不必要條件.故選：D.3、D【解析】由函數(shù)解析式可得關(guān)于自變量的不等式組，其解集為函數(shù)的定義域.【詳解】由題設(shè)可得：，故，故選：D.4、A【解析】根據(jù)銳角的定義，可判定A正確；利用反例可分別判定B、C、D錯(cuò)誤，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿足是第一象限角，所以A正確；對(duì)于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對(duì)于C中，例如：滿足，但不是銳角，所以C不正確；對(duì)于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時(shí)，所以D不正確.故選：A.5、A【解析】幾何體為一個(gè)正方體與四分之一個(gè)球的組合體,所以表面積為,選A點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用6、D【解析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，可得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，令，可得，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)之和為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，如下圖所示：由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)的四個(gè)交點(diǎn)有兩對(duì)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)之和，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)求解是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.7、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以.故選：D8、A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，.故選：A.9、A【解析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)闉樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，，所以.故選：A10、C【解析】由并集與補(bǔ)集的概念運(yùn)算【詳解】故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)題意依次按“勢(shì)”從小到大順序排列，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，將全部的子集按“勢(shì)”從小到大順序排列為：，，，，，，，.故排在第6的子集為.故答案為：12、【解析】利用切線和點(diǎn)到圓心的距離關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】圓心坐標(biāo)，半徑要使切線長(zhǎng)最小，則只需要點(diǎn)到圓心的距離最小，此時(shí)最小值為圓心到直線的距離，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】根據(jù)題意可知，的解集為，由即可求出【詳解】依題可知，的解集為，所以，解得故答案為：14、【解析】根據(jù)，并結(jié)合基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故函數(shù)的最小值為.故答案為：15、或【解析】令，分析出函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】令，對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，則，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由于函數(shù)和在上均為減函數(shù)，故函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，則在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案為：或.16、④【解析】利用正方體可判斷①②的正誤，利用公理3及其推論可判斷③④的正誤.【詳解】如圖，在正方體中，，，但是異面，故①錯(cuò)誤.又交于點(diǎn)，但不共面，故②錯(cuò)誤.如果兩個(gè)平面有3個(gè)不同公共點(diǎn)，且它們共線，則這兩個(gè)平面可以相交，故③錯(cuò)誤.如圖，因?yàn)?，故共面于，因?yàn)椋?，故即，而，故，故即即共面，故④正確.故答案為：④三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,即可求得的值；(2)把要求的式子利用誘導(dǎo)公式化為,進(jìn)而而求得結(jié)果.【詳解】解：（1）∵，，∴∴（2）若，則.18、（1）；（2）.【解析】(1)首先利用公式降冪，然后將寫為將化為即可得解；(2)將記為，記為，再用公式展開，然后化簡(jiǎn)求值.【詳解】(1)原式=(2)原式=故答案為：2；-1【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角和與差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】（1）結(jié)合題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求得是否存在滿足題意的實(shí)數(shù)的值，得到答案【詳解】（1）由題設(shè)，對(duì)一切恒成立，且，∵，∴在上減函數(shù)，從而，∴，∴的取值范圍為；（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，由題設(shè)知，即，∴，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理求解函數(shù)的最值，列出方程求解是解答的關(guān)鍵20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過(guò)證明AB⊥CD，AB⊥CC1，證明A1B1⊥平面CDC1，然后證明A1B1⊥C1D；（2）求出底面△DCE的面積，求出對(duì)應(yīng)的高，即點(diǎn)到底面DCE的距離，然后求解四面體M-CDE的體積，由三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積得結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB⊥CD，AB⊥CC1，CD∩CC1＝C，∴AB⊥平面CDC1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面CDC1，∵C1D平面CDC1，∴A1B1⊥C1D；（2）解：三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積，AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA1的中點(diǎn)．AA1＝4，所以AM＝2，AB⊥CD，三棱錐A﹣MDE的體積：【點(diǎn)睛】本題考查