新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 第2講 空間點、線、面的位置關(guān)系（含解析）

專題四

立體幾何與空間向量第2講空間點、線、面的位置關(guān)系考情分析KAOQINGFENXI高考對該部分的考查，小題主要體現(xiàn)在兩個方面：一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷；二是體積、表面積的求解，空間中以垂直或平行關(guān)系的證明為主，中等難度.內(nèi)容索引考點一考點二專題強化練1考點一空間線、面位置關(guān)系的判定PARTONE核心提煉判斷空間線、面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷，解決問題.(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷.例1

(1)已知直線a，b，平面α，β，γ，下列命題正確的是A.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γB.若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則a∥b∥cC.若α∩β＝a，b∥a，則b∥αD.若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，則b∥a√解析

A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γ，該說法正確；B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，在三棱錐P－ABC中，令平面α，β，γ分別為平面PAB，平面PAC，平面PBC，交線a，b，c為PA，PB，PC，不滿足a∥b∥c，該說法錯誤；C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b?α，不滿足b∥α，該說法錯誤；D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，正方體ABCD－A1B1C1D1中，令平面α，β分別為平面ABCD，平面ADD1A1，交線a為AD，當(dāng)直線b為A1C1時，滿足b∥α，不滿足b∥a，該說法錯誤.(2)(2019·全國Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線√解析

如圖，取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線.易錯提醒(1)定理中的條件理解不全面.(2)直接將平面幾何中的結(jié)論引入到立體幾何中.跟蹤演練1

(1)若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A.若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥nB.若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥nC.若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m∥n√解析

對于選項A，由n∥β，α∥β可得n∥α或n?α，又m⊥α，所以可得m⊥n，故A正確；對于選項B，由條件可得m⊥n或m∥n，或m與n既不垂直也不平行，故B不正確；對于選項C，由條件可得m∥n或m，n相交或m，n異面，故C不正確；對于選項D，由題意得m⊥n，故D不正確.(2)(多選)如圖，在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是A.M，N，P，Q四點共面B.∠QME＝∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為梯形√√√解析

由三角形的中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.對于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A說法正確；對于B，根據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說法正確；對于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確；所以MQ＝NP，MQ∥NP，所以四邊形MNPQ是平行四邊形，故D說法不正確.2考點二空間平行、垂直關(guān)系PARTTWO平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化核心提煉考向1平行、垂直關(guān)系的證明例2

(2020·山西省長治第二中學(xué)月考)如圖，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點.求證：(1)PA∥平面BDE；證明

如圖，AC∩BD＝O，連接OE，在△PAC中，O是AC的中點，E是PC的中點，∴OE∥AP，又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE.∴PA∥平面BDE.(2)平面PAC⊥平面BDE.證明

∵PO⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，而BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；證明

如圖，取AC的中點O，連接PO，BO.因為PC＝PA，所以PO⊥AC.則PB2＝PO2＋OB2，所以PO⊥OB，又AC∩OB＝O，且AC，OB?平面ABC，所以PO⊥平面ABC，又PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.解

因為平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，且BO⊥AC，所以O(shè)B⊥平面PAC，易錯提醒(1)證明線面平行時，忽略“直線在平面外”“直線在平面內(nèi)”的條件.(2)證明面面平行時，忽略“兩直線相交”“兩直線在平面內(nèi)”的條件.(3)證明線面垂直時，容易忽略“平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件.跟蹤演練2

(2019·全國Ⅲ)圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；證明

由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，又BE∩BC＝B，且BE，BC?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)求圖②中的四邊形ACGD的面積.解

如圖，取CG的中點M，連接EM，DM.因為AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，DE∩EM＝E，DE，EM?平面DEM，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.所以四邊形ACGD的面積為S＝CG·DM＝2×2＝4.專題強化練3PARTTHREE一、單項選擇題1.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是A.直線AC

B.直線ABC.直線CD

D.直線BC1234567891011121314解析

由題意知，D∈l，l?β，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，∴點D在平面ABC與平面β的交線上.又C∈平面ABC，C∈β，∴點C在平面β與平面ABC的交線上，∴平面ABC∩平面β＝直線CD.√12345678910111213142.設(shè)直線m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A.若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β

B.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥βC.若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β

D.若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β√解析

對于A，m∥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能平行，也可能相交，所以A不正確；對于B，n⊥β，m∥n，則m⊥β，又m∥α，則α⊥β，所以B不正確；對于C，m⊥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能平行也可能相交，所以C不正確；對于D，m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，所以D正確.故選D.12345678910111213143.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD

C.A1E⊥BC1

D.A1E⊥AC解析

在正方體中連接A1D，AD1，B1C，由正方體的性質(zhì)知AD1⊥A1D，CD⊥AD1，又∵A1D∩CD＝D，且A1D，CD?平面A1B1CD，∴AD1⊥平面A1B1CD，又∵BC1∥AD1，∴BC1⊥平面A1B1CD，∵A1E?平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.√12345678910111213144.點E，F(xiàn)分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線AB與PC所成的角為A.90°B.45°C.30°D.60°√解析

如圖，取PB的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則∠EGF(或其補角)即為AB與PC所成的角，所以∠EGF＝90°.12345678910111213145.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為√1234567891011121314解析

如圖，分別取C1D1，B1C1的中點P，Q，連接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四邊形ANPD為平行四邊形，所以AN∥DP.又BD和DP為平面DBQP內(nèi)的兩條相交直線，AN，MN為平面AMN內(nèi)的兩條相交直線，所以平面DBQP∥平面AMN，四邊形DBQP的面積即所求.1234567891011121314√1234567891011121314又A1P＝2，A1C1＝4，所以P是A1C1的中點，連接AC與BD交于點O，易證AC⊥平面BDD1B1，直線CP在平面BDD1B1內(nèi)的射影是OP，所以∠CPO就是直線CP與平面BDD1B1所成的角，1234567891011121314二、多項選擇題7.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD.下列結(jié)論正確的是A.BD⊥ACB.△BAC是等邊三角形C.三棱錐D－ABC是正三棱錐D.平面ADC⊥平面ABC√√√1234567891011121314解析

由題意易知，BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，故BD⊥AC，A中結(jié)論正確；∴AB＝AC＝BC，則△BAC是等邊三角形，B中結(jié)論正確；易知DA＝DB＝DC，又由B可知C中結(jié)論正確，D中結(jié)論錯誤.8.如圖，點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個結(jié)論正確的是A.三棱錐A－D1PC的體積不變B.A1P∥平面ACD1C.DP⊥BC1D.平面PDB1⊥平面ACD11234567891011121314√√√解析

對于A，連接AD1，CD1，AC，D1P，如圖，由題意知AD1∥BC1，AD1?平面AD1C，BC1?平面AD1C，1234567891011121314從而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一點到平面AD1C的距離均相等，所以以P為頂點，平面AD1C為底面的三棱錐A－D1PC的體積不變，故A正確；對于B，連接A1B，A1C1，A1P，則A1C1∥AC，易知A1C1∥平面AD1C，由A知，BC1∥平面AD1C，又A1C1∩BC1＝C1，所以平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故B正確；對于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，則BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，則P為中點，與P為動點矛盾，故C錯誤；對于D，連接DB1，PD，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥平面ACD1，從而由面面垂直的判定定理知平面PDB1⊥平面ACD1，故D正確.12345678910111213141234567891011121314三、填空題9.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1DC1的位置關(guān)系是________.平行解析

易證A1C1，A1D都與平面AB1C平行，且A1D∩A1C1＝A1，所以平面AB1C∥平面A1DC1.123456789101112131410.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱和六個面的對角線共有24條，其中與體對角線AC1垂直的有_____條.解析

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC.∵C1C⊥平面BCD，BD?平面BCD，6∴C1C⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，又∵AC1?平面ACC1，∴AC1⊥BD.同理A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都與AC1垂直.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱中沒有與AC1垂直的棱，故與體對角線AC1垂直的有6條.123456789101112131411.(2020·全國Ⅱ改編)設(shè)有下列四個命題：①兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)；②過空間中任意三點有且僅有一個平面；③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；④若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則上述命題中所有真命題的序號是________．①④1234567891011121314解析

①是真命題，兩兩相交且不過同一點的三條直線必定有三個交點，且這三個交點不在同一條直線上，由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面”，可知①為真命題；②是假命題，因為空間三點在一條直線上時，有無數(shù)個平面過這三個點；③是假命題，因為空間兩條直線不相交時，它們可能平行，也可能異面；④是真命題，因為一條直線垂直于一個平面，那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線．從而①④為真命題．12.如圖，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直線l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時，l不是定直線.其中成立的結(jié)論是________.(寫出所有成立結(jié)論的序號)1234567891011121314①②③解析

連接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，1234567891011121314∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易證PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l(xiāng)∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l(xiāng)⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直線l與平面BCC1B1不垂直，故③成立；當(dāng)x變化時，l是過點M且與直線EF平行的定直線，故④不成立.1234567891011121314四、解答題13.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC，E，F(xiàn)分別為棱BC和A1C1的中點.(1)求證：EF∥平面ABB1A1；1234567891011121314證明

如圖，取A1B1的中點G，連接BG，F(xiàn)G，在△A1B1C1中，因為F，G分別為A1C1，A1B1的中點，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1.又E為棱BC的中點，所以FG∥BE，且FG＝BE，所以四邊形