新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題4 培優(yōu)點(diǎn)14 截面問(wèn)題（含解析）

專(zhuān)題四

立體幾何與空間向量培優(yōu)點(diǎn)14截面問(wèn)題用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵.例1

(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在A(yíng)B，BC，DD1上，求作過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面.解

作法：①在底面AC內(nèi)，過(guò)E，F(xiàn)作直線(xiàn)EF，分別與DA，DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于L，M.②在側(cè)面A1D內(nèi)，連接LG交AA1于K.③在側(cè)面D1C內(nèi)，連接GM交CC1于H.④連接KE，F(xiàn)H.則五邊形EFHGK即為所求的截面.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱B1B，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱C1C的中點(diǎn)，則過(guò)線(xiàn)段AG且平行于平面A1EF的截面圖形為A.矩形

B.三角形

C.正方形

D.等腰梯形√解析

取BC的中點(diǎn)H，連接AH，GH，AD1，D1G，由題意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH?平面A1EF，EF?平面A1EF，∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH?平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，故過(guò)線(xiàn)段AG且與平面A1EF平行的截面圖形為四邊形AHGD1，顯然為等腰梯形.例2

(1)(2018·全國(guó)Ⅰ)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線(xiàn)與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為√解析

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCD－A1B1C1D1的每條棱所在直線(xiàn)與平面AB1D1所成的角都相等.取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為(2)如圖，在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過(guò)三條棱OA，OB，OC作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為_(kāi)_______.S3<S2<S1解析

由題意知OA，OB，OC兩兩垂直，可將其放置在以O(shè)為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體中，設(shè)三邊OA，OB，OC分別為a，b，c，且a>b>c，利用等體積法易得同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S3<S2<S1.能力提升確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個(gè)公理及推論.(2)直線(xiàn)和平面平行的判定和性質(zhì).(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì).(4)球的截面的性質(zhì).跟蹤演練1.平面α過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為1234√1234解析

如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，∴m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.2.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_(kāi)_______.12341∶47解析

設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積12343.(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線(xiàn)段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是√√√123412344.P，Q，R三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，試畫(huà)出過(guò)P，Q，R三點(diǎn)的截面作法.解

作法：