2023年遼寧省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及答案解析

2023年遼寧省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，滿分40分）

1

1.（5分）已知集合M={x∣i>l},N={x∣log2（x-α）<l},M?N,則a的取值范圍是（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.[-1,0]D.[0,1]

2.（5分）已知復(fù)數(shù)Z滿足-7=2〃則Z的共軌復(fù)數(shù)5=（）

Z-I

42422424

?--5-5ZB-?+?c?-5+5zD--5-?

3.（5分）新冠肺炎疫情防控期間，7名醫(yī)學(xué)大學(xué)生志愿者到/,B,C三個社區(qū)參加疫情聯(lián)

防聯(lián)控工作，根據(jù)工作實際需要，/社區(qū)要分配三名志愿者，B,C兩個社區(qū)各2名志愿

者，則不同的分配方法共有（）

A.210種B.240種C.420種D.480種

4.（5分）從一張圓形鐵板上剪下一個扇形，將其制成一個無底圓錐容器，當(dāng)容器體積最大

時，該扇形的圓心角是（）

22√32√6

A.鏟B.πC.,??-,πD.—?~π

5.（5分）已知tan（a-看）=2,tan（α+β）=-3,則tan（β+看）=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種工件，且甲、乙、丙三個車間

的產(chǎn)量比為5：7：8,已知取出甲、乙、丙三個車間的產(chǎn)品，次品率依次為0.05、0.04、

0.02,現(xiàn)從這批工件中任取一件，則取到次品的概率為（）

A.0.11B.0.69C.0.0345D.0.04

7.（5分）設(shè)圓。的半徑為?,P,A,8是圓。上不重合的點，則忌!?麗的最小值是（）

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A.一5B.^IC.一^rD.—Q

Z4O

8.(5分)已知/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，/(x+2)也是奇函數(shù)，當(dāng)Xe(0,2)時，f

Tr

(x)=2x-X2,則/(-1)，/(5)，/(π)的大小關(guān)系是()

A./(f)<∕(-l)<∕(π)B./(J)<∕(7T)<∕(-1)

C./(-l)<∕(π)<∕(5)D./(-l)<∕φ<∕(τr)

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)已知α=2'"3,b=3%則下列判斷正確的是()

A.ɑ≥?B.aWb

C.a=bD.無法比較它們的大小

10.(5分)在C中，D,E,尸分別是邊8C,AC,48中點，下列說法正確的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=0

→—>→

,,ABAC>∕3AD→TqTjE口,4E

C.若r-+r-=r-,則BD是BA在BC的投影向量

?AB??AC??AD?

TTT1

D.若點尸是線段4。上的動點，且滿足BP=入BA+“BC,則入H的最大值為二

O

IL(5分)設(shè)｛端是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)也使得對任意"∈N*,均有“,以>斯，則稱｛*

是間隔遞增數(shù)列，/是｛"“｝的間隔數(shù)，下列說法正確的是()

A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列

B.已知斯=〃+，，則｛斯｝是間隔遞增數(shù)列

C.已知斯=2"-4〃，則｛斯｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2

D.已知“"=〃2-5-4,若｛“”｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則4≤t<5

12.(5分)設(shè)S”是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且αι=2,α3=8,則()

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A.45=12

B.公差d=3

C.Sin=n(6〃+l)

d?數(shù)歹”{∑?}的前〃項和為尋

≡.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）某市高二20000名學(xué)生參加市體能測試，成績采用百分制，平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)

差為5,成績服從正態(tài)分布，則成績在（65,95］的人數(shù)為.

參考數(shù)據(jù)：P（μ-。VXWμ+o）=0.6826,尸（p-2。<Ar≤μ+2σ）=0.9544,P（μ-

3。<Ar≤μ+3σ)=0.9974.

22

14.（5分）已知拋物線爐=-8x的準(zhǔn)線與雙曲線C：葭一記=1(“>0,?>0)的漸近線

分別交于4B兩點,O是坐標(biāo)原點.若A∕08的內(nèi)切圓的周長為n,則內(nèi)切圓的圓心坐

標(biāo)為,雙曲線C的離心率為.

15.（5分）已知x>2,y>?,且（X+y-3）（x+2y-3）=9,則3x+4N的最小值為.

16.（5分）如圖所示，正方體ZBCQ-mBiCiOi的棱長為2,E,F為A4?,的中點，M

點是正方形∕88∣4ι內(nèi)的動點，若CiM〃平面CDiE,則M點的軌跡長度為.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）?（T）a'sinC-y∕3ccosBcosC—y∕3bcos2C;②5ccosB+4b=5α;③（2b-a）cosC

=CCoS4這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

在4/8C中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為“，b,c.且滿足.

（1）求sinC；

4√3

（2）已知α+6=5,Z?∕8C的外接圓半徑為-y,求4/8C的邊/8上的高人.

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18.(12分)在遞增的等比數(shù)列｛劭｝中,?205=32,α3+α4=12.

(1)求｛斯｝的通項公式；

n

(2)若b"=(-1)an+l,求數(shù)列｛b,,｝的前〃項和S.

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19.（12分）某品牌手機(jī)廠商推出新款旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時

間（X個月）市場占有率⑶％）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù):

X12345

y25111418

根據(jù)如表中的數(shù)據(jù)完成下列問題：

（I）用最小二乘法求出y關(guān)于X的線性回歸方程；

（II）用變量間的相關(guān)關(guān)系分析該款旗艦機(jī)型市場占有率的變化趨勢，并預(yù)測自上市起

經(jīng)過多少個月，該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過49%（精確到月）.

附:最小二乘法估計分別為b=羽=1一=Σ%（陽?。┖袭a(chǎn)）,a=y-bx,其中元=

∑JL1xj-nx∑%（XLA

2

3,歹=10,EL（xi-z）=10.

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20.（12分）如圖，在四棱錐P-48CD中，口，平面∕8CO,AC,BZ）相交于點MDN=

2NB,已知以=ZC=NZ）=3,BD=3√3,N∕D8=30°.

（1）求證：/C_L平面RW；

（2）設(shè)棱P。的中點為/W,求平面218與平面M4C所成二面角的正弦值.

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χ4*VGv?

21.(12分)已知橢圓-?+77=1(0>b>O)經(jīng)過點(0,1),禺心率為一丁，/、B、C為橢

αzb"2

圓上不同的三點，且滿足α+茄+辰=G,O為坐標(biāo)原點.

(I)若直線48、OC的斜率都存在，求證：匕8唳比為定值；

(II)求的取值范圍.

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22.(12分)已知函數(shù)/(%)=93(仇%一,)_恭2+%

(1)若α=l,求/(x)在X=I處的切線方程；

(2)若/(x)有2個極值點，求實數(shù)。的取值范圍.

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2023年遼寧省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分）

1

1.(5分)已知集合M={x∣->l},N={x∣log2(x-α)<l},M?N,則a的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.[-1,0]D.[0,1]

]1-χ

【解答】解：一>1=——>0→0<x<l,Iog(X-Q)<l≠>tz<x<2+α,

XX2

(a≤0

由題意得:d=-1WaWO.

12+Q≥1

故選：C.

2.(5分)己知復(fù)數(shù)Z滿足一一=23則Z的共飄復(fù)數(shù)5=()

z-1

?42.n422,4.n24.

?--5-5ZB-5+?c?^5+5,D--5-5Z

r徒/1例?.Z?.?2i2i(2i+l)42.

【解答】解：?育=2,，?.z=E=g又E=耳一百/,

.?.z的共軟復(fù)數(shù)2=&+∣i,

故選：B.

3.（5分）新冠肺炎疫情防控期間，7名醫(yī)學(xué)大學(xué)生志愿者到4,B,C三個社區(qū)參加疫情聯(lián)

防聯(lián)控工作，根據(jù)工作實際需要，/社區(qū)要分配三名志愿者，B,C兩個社區(qū)各2名志愿

者，則不同的分配方法共有（）

A.210種B.240種C.420種D.480種

【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：

①先在7名大學(xué)生志愿者中任選3人，安排到/社區(qū)，有C73=35種安排方法,

②在剩下的4名大學(xué)生中任選2人，安排到B社區(qū)，有Cl2=6種安排方法，

③剩下的2名大學(xué)生安排到C社區(qū)，有1種安排方法，

則有35X6=210種安排方法，

故選：A.

4.（5分）從一張圓形鐵板上剪下一個扇形，將其制成一個無底圓錐容器，當(dāng)容器體積最大

時，該扇形的圓心角是（）

22√32√6

A.-πB.πC.-----πD.-----n

333

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為外高為〃，圓形鐵板的半徑為R,

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則r2+A2=Λ2,圓錐的體積為V=^πr2h=^?π(∕?2—∕ι2)h=-^π(R2h—h3),

由V=ITr（R2-3九2）=0,得九2=扣2,

此時圓錐體積最大，尸=乎R,

rπ.∣2πr2√6

則α=下"=-3-7Γ?

故選：D.

5.(5分)已知tan(a-^)=2,tan(α+β)=-3,則tan(β+^)=()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因為（a-看）+（β+看）=（a+β）,

tan(a-+tan(∕?+^)2÷tan(∕?+^)

所以tan(a+β)=tan[(a-5)+(β÷5)]=

1—tan(a-tan(∕?+^)-1—2GanQ5+))一

整理解得tan(/?+1)=1.

故選：4.

6.（5分）設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種工件，且甲、乙、丙三個車間

的產(chǎn)量比為5：7：8,己知取出甲、乙、丙三個車間的產(chǎn)品，次品率依次為0.05、0.04、

0.02,現(xiàn)從這批工件中任取一件，則取到次品的概率為（）

A.0.11B.0.69C.0.0345D.0.04

【解答】解：設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個車間，它們生產(chǎn)同一種工件，且甲、乙、丙三

個車間的產(chǎn)量比為5：7：8,

已知取出甲、乙、丙三個車間的產(chǎn)品，次品率依次為0.05、0.04、0.02,

現(xiàn)從這批工件中任取一件，則取到次品的概率為：

S7H

P=j?”×0.05+—。X°?°4+-0X0.02=0.0345.

b十/7十b?+/+o?-r/+o

故選：C.

（分）設(shè)圓。的半徑為P,A,是圓。上不重合的點，則同的最小值是（

7.51,81?M)

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A

A.一5B.-IC.一^rD.—Q

Z4o

【解答】解：PA-PB=(OA-OP)?OB-OP)=OA-0B+OP2-(0A+OB)-OP,

由題意可知OB,亦均為單位向量,^L?OA?=?OB?=?OP?=1,

連接/8,作。C_L/8,垂足為C,設(shè)N∕08=α,NPoC=0,貝IJoC=COS

→—>—>TTT

.*.OA?OB=cosa,OP2=1,OA+OB=20C,

a

.?(OA÷OB)?OP=20C?OP=2cos^?cosβ,

aaa1

.*.PA?PB=cosa+l-2cos^cosβ=2cos^,2^—2COs^Cosβ=2(cos^?—^cosβ)

alTTi

.?.當(dāng)cos2β=1,COS^-=5CoSB時，PA-PB取得最小值一?

故選：A.

8.(5分)已知/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，/(x+2)也是奇函數(shù)，當(dāng)在(0,2)時，f

Tr

(X)=Ix-X2,貝∣J∕(-1),f(5),f(π)的大小關(guān)系是()

A.fφ<f(~l)<f(π)B.fφ<f(π)<f(-l)

c./(-1)〈/(兀)寸(引D.Λ-l)<∕(J)<∕(π)

【解答】解：由/(x)為奇函數(shù)，可知函數(shù)/(x)的一個對稱中心為(0,0),由/(x+2)

也是奇函數(shù)，可知/(x)的一個對稱中心為(2,0),

又函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,3)上為減函數(shù)，所以函數(shù)/(x)的周期為4,

當(dāng)Xe(0,2)時，f(x)=2x-％2,故函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，/(-1)=-/(1)

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=-1,

又ivf<2,所以/(1)>0,又3<n<4,

所以0=/(4)>∕(π)>/(3)=-1,

Tt

所以-1)<∕(π)</(-),

故選：C

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)已知α=2'"3,b=3ln2,則下列判斷正確的是()

A.B.α≤6

C.a=hD.無法比較它們的大小

【解答】解：因為。=2%6=3%

所以Ina=Inlbe=Inilnl,Inb=ln3ln2=ln2ln3.

所以∕na=∕nb,即α=6,

故選：ABC.

10.(5分)在aNBC中，D,E,F分別是邊8C,AC,48中點，下列說法正確的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+FB+FC=0

ABACy∕3AD→→→

C.若+=則80是BA在BC的投影向量

?AB??AC??AD?

→→→1

D.若點P是線段上的動點，且滿足BP=入B4+則入μ的最大值為W

O

【解答】解：如圖所示：

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A

E

BD

對選項A,AB+AC-AD=2AD-AD=AD≠O,故/錯誤:

對選項8,

DA+EB+FC=-^(AB+AQ-^(BA+BQ-^(CA+CB)

]T?→?→?→?→?→

=-AB-AC-BA-BC-CA-^CB

IT?→ITITIT?→T

=-AB-AC+AB-AC+BC=O,

乙乙乙乙/(4

故8正確：

TTT

對選項C,理，當(dāng)，?分別表示平行于AB,AC,AD的單位向量,

?AB??AC??AD?

→→

ΔRΔC

由平面向量加法可知：—+—為NBAC的平分線表示的向量，

?AB??AC?

ABAC√3∕W_

為為r—+r-=—→一,所以AD為NBAC的平分線，

?AB??AC??AD?

第13頁共24頁

易在立的投影為∣B?cosB=?BA?X尊=?BD?,

?BA?

所以訪是盛在后的投影向量，故選項C正確;

對選項D,如圖所示：

因為P在/。上，即A,P,D三點共線，

設(shè)BP=tBA+(l-t)BD,0≤t≤1,

TlTTTrl—八T

又因為BD=寺BC,所以BP=tBA+^^-BC,

TTT(入=t

因為BP=入BA+μBC,則j^=1→,0≤f≤l,

令y=λμ=t×≥≤=-i(t-i)2+j,

11

￡=5時，入N取得最大值為^?故選項。正確.

乙O

故選：BCD.

11.(5分)設(shè)｛α,,｝是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)%,使得對任意〃∈N*,均有而?>a*,則稱｛斯｝

是間隔遞增數(shù)列，上是｛a〃｝的間隔數(shù)，下列說法正確的是()

A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列

B.已知的=”+，，則｛a,,｝是間隔遞增數(shù)列

C.已知的=2"-4〃，則｛〃”｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2

D.已知檢=后-5-4,若｛即｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則4Wf<5

,kxnxnxk

【解答】對于N,an+k-an=a?q^-^a?q=a?q｛q-1),因為q>1,所以當(dāng)QlVO

時，an+k<，故A錯誤；

,?666k6n2+∕cn-6

對于B,Cln+k-Cln=(〃+%)~\—??——)=k-----7~~ΓT?=k(1----7^^∣.?)=k?"^~,

∏+knn(∏+∕c)∏(n+∕c)∏(∏+∕c)

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令f=/+而-6在〃6N*單調(diào)遞增，則/(1)=l+%-6>0,解得人>5,故8正確：

n+kππ

>?TC,an+k-an=2-4(n+k)-2+4n=2(2*-1)-4k,

n

當(dāng)k=2時，an+2-a,l=3×2-8,當(dāng)"=1時，ɑ?-α∣=-2<0,所以｛?！ǎ情g隔遞增數(shù)

列但最小間隔數(shù)不是2,故C錯誤；

對于。，若｛α.｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,

則c?+%-a”=(〃+左)2-t(n+k)-4-(n2-tn-4)-2kn+l^-tk>O,“WN*成立，

則?2+(2-t)k>O,對于人23成立，且F+(2-?)?≤O對于％≤2成立，

即依(2-f)>0,對于上》3成立，且左+(2-OWO對于左W2成立，

所以/-2<3且L222,解得4<∕<5,故。正確.

故選：BD.

12.(5分)設(shè)S,是等差數(shù)列｛斯｝的前"項和，且αι=2,磴=8,則()

A.cis~^12

B.公差d=3

C.Sin=n(6w÷l)

D.數(shù)列｛---｝的前"項和為：?r

anan+i6n+4

【解答】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的公差為",

則"=零罵=早=3,故選項8正確，

?-1Z

?5=2+3×(5-1)=14,故選項Z不正確，

u2n21

：Siu=2n×2+<^-)×3=n(6〃+1),選項C正確,

V^=2+3×Cn-1)=3n-1,

11111

----------=-----------------------=—(--------------------)

anan+ι(3n-l)(3n+2)33n—13n+2

1111

???數(shù)歹IJ｛---------｝的前n項和為一++…+------

anan+l。2。3anan+l

111Il1、111

=3×25=3X(二一二)+???÷?×(--------)

5833n—13n+2

11111

Z

=-Xf---+---11

3v2558+…+—",)

3n—13n+2

111、

=亍X---------)

323n+2

=6?4>選項。正確?

故選：BCD.

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Ξ.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）某市高二20000名學(xué)生參加市體能測試，成績采用百分制，平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)

差為5,成績服從正態(tài)分布，則成績在（65,951的人數(shù)為19948.

參考數(shù)據(jù)：P（μ-。<X≤μ+o）=0.6826,P（μ-2σ<Z≤μ+2σ）=0.9544,P（μ-

3。<XWμ+3。）=0.9974.

【解答】解：由題意知，μ=80,O=5,則成績在（65,95］的概率為

P（65VXW95）=P（80-3×5<Ar≤80+3×5）=0.9974,

所以成績在（65,95］的人數(shù)為20000X0.9974=19948.

故答案為：19948.

/y2

14.（5分）已知拋物線/=-8x的準(zhǔn)線與雙曲線C：君-廬=I（α>0,?>0）的漸近線

分別交于4B兩點,。是坐標(biāo)原點.若4/08的內(nèi)切圓的周長為π,則內(nèi)切圓的圓心坐

33√2

標(biāo)為（No），雙曲線C的離心率為—

【解答】解：由拋物線的方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=2,

由雙曲線的方程可得雙曲線的漸近線方程為y=±,%,

設(shè)三角形ZOB的內(nèi)切圓半徑為r,則如r=π,所以r=今

3

所以圓心坐標(biāo)為（了0）,

,13b

且圓心到直線y=-X的距離為d=r=4=,

-02Jl+Φ2

解得c=36,所以α=2√∑b,

則雙曲線的離心率為e=￡=弱=竽，

33√2

故答案為：（??,0）,——.

15.（5分）已知x>2,y>l,且（Xty-3）（x+2y-3）=9,貝∣J3x+4y的最小值為_6夜+9_.

【解答】解：令x+y-3="z,x+2y-3=nf則m>0,〃>0,

所以加〃=9,x=2〃？-〃+3,y=n-m,

所以3x+4γ=2w+w+9,

故由基本不等式，得3x+4y=2m+"+9≥2√2mn+9=6√2+9.

當(dāng)且僅當(dāng)χ=3,y=挈時，等號成立.

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故答案為：6V∑+9.

16.（5分）如圖所示，正方體N8C0-Z∕ιCιO∣的棱長為2,E,F為AAi,48的中點，M

點是正方形∕88∣∕ι內(nèi)的動點，若ClM〃平面CDE,則加點的軌跡長度為_應(yīng)_.

【解答】解：如圖所示，取∕18∣的中點“，的中點G,連接G4,CιH,CiG,EG,

HF.

可得：四邊形EGaDl是平行四邊形，.?.C∣O"Z）∣E.

同理可得：C?H∕∕CF.

?.?Cι"∩CiG=Ci.

，平面CIGH〃平面CDiE,

點是正方形/88內(nèi)的動點，若C1"〃平面CD?E.

.?.點M在線段G”上.

二M點的軌跡長度=G"=√12+I2=√2.

故答案為：√2.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）?（l）ΛsinC-y∕3ccosBcosC—y∕3bcos2C;②5ccosB+4b=5α;③（2b-a）cosC

=CCoS4這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

在4/8C中，內(nèi)角小B,C所對的邊分別為α,b,c.且滿足.

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(1)求sinC；

4√3

(2)已知α+6=5,C的外接圓半徑為亍，求4∕8C的邊/8上的高/?.

【解答】解：選擇條件①：

2

(1)Sj?asinC-y∕3ccosBcosC=y∕3bcosCf

2

所以由正弦定理得SinAsinC=y[3sinCcosBcosC+y∕3sinBcosCf

BPSinAsinC=6CoSe(StnCCOSB+SinBcosC),

故SinAsinC=y∕3cosCsinA,

又∕∈(O,π),故SilL4≠0,

所以sinC=WcosC,即tanC=V3.

由C∈(0,兀)，得CW.

所以sinC=sin^=?,

(2)由正弦定理得-?=2x隼，

sin-?

?*?c=2×—?-SiTlN=4,

由余弦定理得/=a2+h2-2abcos^=(α+b)2-3ab=16,

所以Qb=~,故(Ib=3,

11

于是得aZ3C的面積S=2absinC=ICh,

所以九=吟匹=萃=等，

選擇條件②：

(1)因為5ccos5+4b=54,

由正弦定理得5sinCcosB+4sin8=5sirt4,

即5sinCcos8+4sin8=5sin(8+C)=5SinBCOSC+5cos8sinC,

于是SinB(4-5cosC)=0,

在SC中，si∏5≠0,

4)--------7

所以cosC=引sinC=vl—cos2C=?,

(2)由正弦定理得c=2X等Xl=皚，

-1O1ɑ?

由余弦定理得c2=a1+b1-IahcosC=(Q+h)2--ξ-ab=-??-,

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r-r-κ∣,r/,八21925433

所以Qb=[(α+b)2—~2ξ~]1×??=-QQ-，

11

于是得a48C的面積S=-^absinC=ICh,

匚匚i、iLabsinC4333543373

所以九=F-=時X虧X硒=FF'

選擇條件③：

(1)因為(2b-a)CoSC=CCOSa

所以由正弦定理得(2sin8-sirMl)CoSC=SinCCOSa

所以2sin8cosC=sin(4+C)=Sin8,

因為8∈(0,π),

1

所以sinB≠0,所以CoSC=g

又C∈(0,π),

所以C=*

所以sinC=?.

(2)由正弦定理得c=2X與?si九與=4,

由余弦定理得C2=α2+e2—2abcos^=(Q+h)2-3ab=16,

所以以=(。+?2-16,戰(zhàn)Qb=3,

11

于是得448C的面積S=IabStnC=WCh,

r

rjrμ∣,absinC3x空3√3

所以八=-7-=芋=-§-?

18.(12分)在遞增的等比數(shù)列｛““｝中，。2。5=32,“3+04=12.

(1)求｛如｝的通項公式；

(2)若為=(-1)‰ι,求數(shù)列｛為｝的前"項和S,.

02。5=。3。4=32

｛α3÷α4=12,解得：始=4,04=8,

公比q=魯=2,

i3n

.,.an-a3q"-4×2"-2'；

(2)由(1)可得：bn=(-1)"?2"=(-2)”,

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-2[l-(-2)n](-2)n+1+2

1+2=3

19?(12分)某品牌手機(jī)廠商推出新款旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時

間(X個月)市場占有率(y%)的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)：

X12345

y25111418

根據(jù)如表中的數(shù)據(jù)完成下列問題：

(I)用最小二乘法求出y關(guān)于X的線性回歸方程；

(11)用變量間的相關(guān)關(guān)系分析該款旗艦機(jī)型市場占有率的變化趨勢，并預(yù)測自上市起

經(jīng)過多少個月，該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過49%(精確到月).

附：最小二乘法估計分別為b=%X丁零=∑7=ι(陽;幻象『7),。=成其中T=

2

∑JL1xj-nx∑%(?i-?)

2

3,y=10,(xi-x)=10.

—1+2+3+4+5?—2+5+11+14+18

【解答】解:X=--------F--------=3,y=-----------F----------=1λ0λ,

∑L(x,?-X)(y,-X)=-2×(-8)+(-1)×(-5)+0×l+l×4+2×8=41,

已知∑L(Xi-為2=10,

...b=說=\"iF紇為=第=4.1,α=歹一成=Io-4.1X3=-2.3,

210

∑∕=l(xi-x)

'?y關(guān)于X的線性回歸方程為y=4.Ix-2.3；

(II)由上面的回歸方程可知，上市時間與市場占有率正相關(guān)，

即上市時間每增加1個月，市場占有率都增加4.1個百分點，

由y=4.1x-2.3>49,解得x212.5/13,

預(yù)測自上市起經(jīng)過13個月，該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過49%.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-NBC。中，必，平面/8CZ),AC,BD相交于點N,DN=

2NB,已知H=∕C=∕D=3,BD=3√3,ZADB=3Qo.

(1)求證：4C_L平面以￡)；

(2)設(shè)棱尸。的中點為加，求平面為B與平面所成二面角的正弦值.

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【解答】(1)證明：DN=2NB,BD=3√3,所以。N=2遮，NB=痘,

又NADB=30°,∕Q=3,所以AB=J9+27—2x3X3/?孚=3,

24∕V=Jg+12-2×3×2√3×?=√3,

：.AN2+AD1=DN2

：.NDAN=90°,.,.ACLAD,J_平面/88

：.PAlAC,PAC?AD^A,；./C_L平面∕?0

(2)取/8中點凡連接FN,因為BN=NA=6,所以NFL4B,

又R1_L平面N8CD,所以平面∕?δ，平面4δCD,于是版J_平面為8,而?是平面以8

的法向量；

因為R4=∕C=∕O,所以4VΓLPO,CMLPD,于是PO_L平面K4C,而是平面MZC法

向量；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得各點坐標(biāo)如下：

A(0,0,0),B(等，-∣,0),N(√3,0,0)D(0,3,0),P(0,0,3),

-TITT4T4ITTL

取?n=^PO=(0,1,-1),n=-y=?NF=-^=(5?OB-ON)=(1,√3,0),

設(shè)平面PAB與平面MAC所成二面角大小為θ,

所以ICoSel=呼T==乎，sinθ=Vl-cos2θ=彳°?

ImlMl√2?244

故平面PAB與平面MAC所成二面角的正弦值為半.

4

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A

6N2y∣3

/y2√3

21.（12分）已知橢圓津+6=1（α>b>O）經(jīng)過點（0,1),離心率為三，/、B、C為橢

圓上不同的三點，且滿足04+OB+。C=0,O為坐標(biāo)原點.

(I)若直線48、OC的斜率都存在，求證：左力夕上OC為定值；

(II)求|/8］的取值范圍.

：√3

【解答】解：(I)證明：由題意可得b=l,'2222

-=—,a=b+cf解得〃2=4,?=1,

CI2

χ