2023屆東營市重點(diǎn)高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集。=R,集合A={x|y=lg(l-x)},)

A.(l,4w)B.(0,1)C.(0,+oo)D.[l,+oo)

2.設(shè)。、beR+，數(shù)列｛4｝滿足4=2,an+,=a-a；t+b,〃eN*，則（）

A.對于任意a,都存在實(shí)數(shù)使得恒成立

B.對于任意匕，都存在實(shí)數(shù)M,使得。恒成立

C.對于任意旅（2-4a,+oo）,都存在實(shí)數(shù)使得％恒成立

D.對于任意he（0,2—4a）,都存在實(shí)數(shù)M，使得?！埃贾愠闪?/p>

3.公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并

創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”。如圖是

利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出的〃值為（）（參考數(shù)據(jù)：

V3?1.732,sinl5°?0.2588,sin75°工0.9659)

4闞/

［結(jié)束］

A.48B.36C.24D.12

4.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.12

A.iB.1+iC.-iD.1-i

2x+l,x<0_.

6.已知函數(shù)/（幻=小由2x〉o，則方程/［/（x）］=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）

A.6B.3C.4D.5

7.已知定義在［L”）上的函數(shù)f（x）滿足f（3x）=3/（x）,且當(dāng)時(shí)，/（x）=l-|x-2|,則方程

/（x）=/（2019）的最小實(shí)根的值為（）

A.168B.249C.411D.561

I3<］i

8.已知函數(shù)/（*）=《'—'x—，若關(guān)于上的方程八*）=h一一恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)M的取值范圍

lnx,x>12

是（）

9.函數(shù)/（》）="；二+ln（x+l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(2,+8)B.(-1,2)<J(2,+8)C.(-1,2)D.(-1,2]

10.已知/（知是定義在［-2,2］上的奇函數(shù),當(dāng)xw（O,2］時(shí),f(x)=2x-\,貝！|/(一2)+/(0)=()

B.2C.3D.-2

11.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2前〃項(xiàng)和為S,,，若％,生，%為某三角形的三邊長,且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120。,

則S”的最大值為（）

A.5B.11C.20D.25

12.已知A45C中，|覺|=2,麗?配=—2.點(diǎn)尸為8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則定?（可+苑+定）的最小值為（）

325

A.2B.C.—2D.----

412

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)y=4f+」的單調(diào)增區(qū)間為.

X

14.某校高三年級共有800名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(yàn)（滿分150分），已知這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于90分，將

這800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：[90,100),口00,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的

頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是（填序號）.

①a=0.045；

②這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在110分以下的人數(shù)為160；

③這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為121.4；

④這80（）名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為125.

15.曲線“X）=4x—e'在點(diǎn)（0,.”0））處的切線方程為.

2x+y>2

16.若x，y滿足約束條件<y-2W0,則z=x+y的最大值為.

2x-y<2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）AABC的內(nèi)角A,5,C所對的邊分別是a,上c,且h=3（acosB+Z?cosA）,b+c=8.

（1）求上c；

7

（2）若8C邊上的中線4。=一，求AABC的面積.

2

18.（12分）隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強(qiáng)，人民的生活水平逐步提高，為了進(jìn)一步改善民生，2019年1

月1日起我國實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：（1）個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得

額（含稅）=收入一個(gè)稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除；（3）專項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育

費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用?……等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：①贍養(yǎng)老人費(fèi)用：每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用：每個(gè)

子女每月扣除1000元.新個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：

級數(shù)一級二級三級四級

超過3000元超過12000元超過25000元

每月應(yīng)納稅所不超過3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得額（含稅）元的部分

部分部分部分

稅率(％)3102025???

(D現(xiàn)有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養(yǎng)老人，除此之外，無其它專項(xiàng)附加扣除.請問李某月應(yīng)繳

納的個(gè)稅金額為多少？

(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料，通過整理資料可知，

有一個(gè)孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個(gè)孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人，沒有孩子的人中有50人需

要贍養(yǎng)老人，并且他們均不符合其它專項(xiàng)附加扣除(受統(tǒng)計(jì)的500人中，任何兩人均不在一個(gè)家庭).若他們的月收入

均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群繳納個(gè)稅金額X的分布列與期望.

3

19.(12分)如圖，在四邊形ABC。中，ZD=2ZB,AD=2￡>C=4,sinZB=-.

(1)求AC的長；

(2)若ZVWC的面積為6,求sinNC4B-sinNACB的值.

20.(12分)已知橢圓。:吞+卓=1(〃>〃>0),左、右焦點(diǎn)為斗鳥，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若歸耳|的最大值為

3,最小值為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)動(dòng)直線/過點(diǎn)入與。交于P、。兩點(diǎn)，在X軸上是否存在定點(diǎn)A,使/小鳥=/。4尼成立，說明理由.

21.(12分)以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，且兩坐標(biāo)系取相同的長度單位.已知曲線。的

參數(shù)方程：\C°.八(。為參數(shù))，直線/的極坐標(biāo)方程：o=a(?€0,7v\p&R)

、y=3+3sm。

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線。交于A、3兩點(diǎn)，求|。7+|。8|的最大值.

22.(10分)已知橢圓C:三+==1(。>人>0)的離心率為白，橢圓C的長軸長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線=-百與橢圓C交于48兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)A使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

02若存在，求出A的值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合A,B,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.

【詳解】

;A=｛X|1-X>0｝=（7,1）,B=（0,+OO）,.-.^;A=[1,+OO）,

.?他力口6=[1,長0）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

取。=匕=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛4｝的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使％<M,只需+4"”,由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取a=h=l,a,用=d+1,數(shù)列｛a.｝恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；

由蛛網(wǎng)圖可知，℃2+o=x存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且石=上正跡，"J1叱

12a2a

因?yàn)楫?dāng)0＜卬＜內(nèi)時(shí)，數(shù)列｛/｝單調(diào)遞增，則為〈玉；

當(dāng)王＜4＜&時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，則為＜a,＜q；

所以要使?！埃加?，只需要。＜%＜聲，故2＜"」i及,化簡得匕＜2-4。且〃＞0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

3.C

【解析】

由〃=6開始，按照框圖，依次求出s,進(jìn)行判斷。

【詳解】

〃=6ns='x6sin60°?2.598,n=12^s=-xl2sin30°=3,

22

n=24=＞s=—x24sinl5°?3.1058?故選C.

2

【點(diǎn)睛】

框圖問題，依據(jù)框圖結(jié)構(gòu)，依次準(zhǔn)確求出數(shù)值，進(jìn)行判斷，是解題關(guān)鍵。

【解析】

解：因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù)，那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B

【解析】

1+2/(l+2z)(2+i)2+Z+4/-2

試題分析:=i,故選A.

2-z(2-i)(2+z)

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算

【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)，乘

法法則類似于多項(xiàng)式的乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實(shí)數(shù)化.

6.D

【解析】

2%+l,X<0,

畫出函數(shù)/(*)=|lnx]￥>0，將方程/[/(幻]=3看作，=/(x)，/G)=3交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).

【詳解】

2x+l,x<0

畫出函數(shù)/(x)=,

|lnx|,x>0

令/=/(力,，/。)=3有兩解4€(0,1),/2€(1,+8),則4=/(x),/(x)=f2分別有3個(gè)，2個(gè)解，故方程

丹/(切=3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)

本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題.

7.C

【解析】

先確定解析式求出/(2019)的函數(shù)值，然后判斷出方程/(x)=,”2019)的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的

/(x)=x-35,通過計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)肉時(shí)，〃3力=3/(力，所以/*)=3嗎)=32/令)=…=3"/令)，故當(dāng)

YX|3w+,_Yy>2.

時(shí)，懣e[l,3]，所以/(x)=3"(l-*一2)='，，而

2019

2019G[36,37],所以/(2019)=36(1-v--2)=37-2109=168.又當(dāng)1WXW3時(shí)，

/(x)的極大值為1,所以當(dāng)3"x43"+i時(shí)，f(x)的極大值為3"，設(shè)方程/(X)=168

的最小實(shí)根為f,168G[3-35],貝he3,三工)，即，e(243,468),此時(shí)/(x)=x-35

令，(x)=x—35=168,得1=243+168=411,所以最小實(shí)根為411.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.

8.D

【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y=/(x)的圖象和直線有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y=Ax

一!的下方，即可求得：再求得直線》=履一2和y=/〃x相切時(shí)，k=立;結(jié)合圖象即可得解.

222e

【詳解】

若關(guān)于X的方程式制=匕一!恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則y=/(x)的圖象和直線>=區(qū)一；有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=/x)的圖象，如圖，

故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-1的下方.

：.kxl-->0,解得A>,.

22

當(dāng)直線少=履一；和y=/〃x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為孫

I11

ml,ln"?+—1.

則攵=2=一，.“n=&r?

m

m

此時(shí)，&=_L=?,/U)的圖象和直線>=依一1有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件,

me2

故選D..

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題.

9.C

【解析】

2—x>0

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足，c，；.-l<x<2.

l+x>0

故選C.

10.A

【解析】

由奇函數(shù)定義求出/(O)和/(-2).

【詳解】

因?yàn)?(x)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，/(O)=0.又當(dāng)xe(0,2］時(shí)，

/(%)=r-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.??/(—2)+/(0)=—3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

11.D

【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng)，即可求出前n項(xiàng)和，從而得到最值.

【詳解】

等差數(shù)列｛4｝的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減，則%,%，％中％最大，為最小，

又的，%，%為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為120。,

由余弦定理得a；=a；+a：+a3a4，設(shè)首項(xiàng)為由，

2

即—2)2=(a)-4)+(a「6)2+(a「4)(a「6)=0得R—4)(q-9)=0,

所以4=4或4=9,又%=a1-6>0,即a1〉6,q=4舍去，故q=9,d=-2

2

前〃項(xiàng)和Sn=9n+"；7)x(—2)=-(n-5)+25.

故S”的最大值為Ss=25.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查求前n項(xiàng)和的最值問題，同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.

12.D

【解析】

以3c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得3(-1,0),。(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,

求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于“的二次函數(shù)，可得最小值.

【詳解】

以5c的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，

可得B(-l,o),c(l,o),設(shè)P(a,0),A(x,y),

由麗?元=-2，

可得(x+1，y),(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,ywO,

貝|J定?(而+而+叼=(l-Q,0).(x-a-l-a+l-a,y+0+0)

=(1_Q)(X_3Q)=(1—G(—2—3Q)=3片_Q_2

當(dāng)°=:時(shí)，定.(中+方+無)的最小值為—11.

故選D.

y

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

【解析】

先求出導(dǎo)數(shù)，再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時(shí)對應(yīng)的x的集合，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)?—,())=((),”).

1(1A

令y>o,則故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：5,+8.

2121

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，注意先考慮函數(shù)的定義域，再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號，本題屬于基礎(chǔ)題.

14.(2XW

【解析】

由頻率分布直方圖可知(0.010x2+0.025+4+0.015+0.005)x10=1,解得。=0.035,故①不正確；這800名學(xué)生中數(shù)

學(xué)成績在11()分以下的人數(shù)為800x(0.010+0.010)x10=160,故②正確；設(shè)這8()()名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為x,則

0.0l0xl0+0.010xl0+0.025xl0+(x-120)x0.035=0.5,解得x，⑵.4,故③正確；④這80()名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均

數(shù)為95x0.010x10+105x0.010*10+115x

0.025x10+125x0.035x10+135x0.015x10+145x0.005x10=120,故④不正確.綜上，說法正確的序號是②(⑨.

15.3x-y-l=0

【解析】

求導(dǎo)，得到r(o)和/(o),利用點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由于/(O)=T，r(x)=4—"，所以/''(0)=4—1=3,

由點(diǎn)斜式可得切線方程為3x-y-I=0.

故答案為：3》7-1=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.

16.4

【解析】

作出可行域如圖所示：

目標(biāo)函數(shù)2=》+丫，即為y=-x+z,平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點(diǎn)4(2,2)時(shí)，z“3=2+2=4.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)6=6,c=2(2)S4

【解析】

(1)先由正弦定理，得到sinB=3sinC,進(jìn)而可得力=3c,再由匕+c=8,即可得出結(jié)果；

(2)先由余弦定理得C?=4￡>2+8。2一2AD5Z>COSZA￡)B,b2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC.再根據(jù)

題中數(shù)據(jù)，可得標(biāo)=3i,從而可求出cos/BAC,得到sin/BAC,進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理得sinB=3(sinAcos8+sinBcosA),

所以sinB=3sin(A+B),

因?yàn)锳+3+C=4,所以sin(A+8)=sin(乃一C)=sinC,

即sinB=3sinC,所以b=3c,

又因?yàn)閆?+c=8,所以8=6,c=2.

(2)在AABZ)和AACD中，由余弦定理得

C2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB，b2=AD2+CD1-2ADCD-cosZADC.

因?yàn)樨?6,c=2,BD=DC*,AD=~,

22

又因?yàn)镹AD3+NADC="，BPcosZADB=-cosZADC?

所以a2=319

所以―史薩4

又因?yàn)镹B4Ce(O,?),所以sin/B4C=Y15

所以的面積SA“=L〃csinN5AC=^羽.

△rint,24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解三角形，靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.

18.（1）李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為291（）元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元

【解析】

（1）分段計(jì)算個(gè)人所得稅額；

（2）隨機(jī)變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可.

【詳解】

解：（1）李某月應(yīng)納稅所得額（含稅）為：29600-5000-1000-2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000x3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000x10%=900元，

超過12000元至25000元的部分稅額為9600x20%=1920元

所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+1920=2910元,

（2）有一個(gè)孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000-2000=12000元,

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900=990元

有一個(gè)孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000=14000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+400=1390元；

沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000-2000=13000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+200=1190元；

沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額（含稅）為：20000-5000=15000元，

月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為：90+900+600=159（）元；

3

P(X=990)=-,

P(X=1190)=$,

P(X=1390)

產(chǎn)(X=1590)='

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X990H9013901590

3121

p

5Io510

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390xl+1590x—=1150.

510510

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計(jì)算，考查了隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

9

19.（1）AC-^22（2）sinZCAB-sinZACB=—

22

【解析】

（1）利用余弦定理可得AC的長；（2）利用面積得出結(jié)合正弦定理可得.

【詳解】

1

解：（1）由題可知cosN￡）=cos2N8=l-2sin2N6=8-

在AACD中，AC2=AD2+CD2-2AC-CDcosZD=22,

所以AC=，五.

(2)SMBC=^ABBCsinB=6,則AB3C=16.

BCABAC4722

71^________-?________,

sinZCABsinZACBsinZB3

9

所以sinNC48-sin/AC8=16x

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角較多時(shí)一般選用正弦定理，已知邊較多時(shí)一般選用余弦定理.

22

20.（1）—+^=1（2）存在；詳見解析

43

【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得〃+c=3,a—c=l,解得a,c后可得6,從而得橢圓方程;

（2）設(shè)P（0y）,Q（w，%），A（〃,O）,當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)為丁=人（》一1）,代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定

理得西+毛,%1%2,代入心戶+心o=0由恒成立問題可求得〃.驗(yàn)證/斜率不存在時(shí)也適合即得.

【詳解】

=Q+C=3a=2

解：（1）由題易知〈“c=l解得

c=1

22

所以橢圓C方程為土+二=1

43

（2）設(shè)尸（天,乂）,。（馬,y2）,4（〃,0）

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)為y=A（x-l）與橢圓方程聯(lián)立得

（4K+3）x?—8Kx+4K—12=0,顯然/>0

8k2_4尸-12

所以％+九24左2+3'".士―4/+3

因?yàn)镹PAg=ZQAF2,:,kAP+kAQ=0

XI%=%(X|T)(尤2-〃)+%(%一1)(不一")

=0

%,-nx2-n(x,-n)(x2-H)

8公—248(/T)公6〃+8成2

化簡2%%2_(〃+1)(玉+W)+2〃=0,二

4公+3止+34k2+3

解得6〃-24=0即〃=4

所以此時(shí)存在定點(diǎn)A(4,0)滿足題意

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，4(4,0)顯然也滿足

綜上所述，存在定點(diǎn)A(4,0),使成立

【點(diǎn)睛】

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法.設(shè)而不求思

想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點(diǎn)坐標(biāo)，一般就用此法.

21.(1)p2-8pcos^-6/?sin^+16=0；(2)10

【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程;

(2)將，=。代入曲線C的極坐標(biāo)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得外+「2，月夕2,進(jìn)而得到

\OA\+\OB\=|p,I+|p2|=10|sin(cr+^)|,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，曲線C的參數(shù)方程為〈°°.八(。為參數(shù))，

y=3+3sm(9

消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為(X—4尸+(>—3)2=9,即/+尸一8x—6y+16=0,

又由x=pcos0,y=psin0,x2+y2=p2,

代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程為p2-8pcos6—6。sin。+16=0.

(2)將。=