2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學真題（解析版）

2022年蘇州市初中學業(yè)水平考試試卷數(shù)學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.請將選擇題的答案用25鉛筆涂在答題卡

相應位置上.

1.下列實數(shù)中，比3大的數(shù)是（）

A.5B.1C.0D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較即可.

【詳解】解：因為一2<0<1<3<5,

所以比3大的數(shù)是5,

故選：A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較法則，能熟記有理數(shù)的大小比較法則的內容是解此

題的關鍵.

2.2022年1月17日，國務院新聞辦公室公布：截至2021年末全國人口總數(shù)為141260萬，

比上年末增加48萬人，中國人口的增長逐漸緩慢.141260用科學記數(shù)法可表示為（）

A.0.14126x1（）6B.1.4126xl06C.1.4126xl05D.

14.126xl04

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值

時，要看把原數(shù)變成“時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值二10時.，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，”是負整數(shù).

【詳解】解：141260=1.4126x105,

故選：C.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX13的形式，其中

lW|a|V10,〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定〃的值以及"的值.

3.下列運算正確的是（）

A.=-7B.6+弓=9C.2a+2b-labD.

2a-3b=5ah

【答案】B

【解析】

【分析】通過值=同，判斷A選項不正確；C選項中2”、2萬不是同類項，不能合并；

D選項中，單項式與單項式法則：把單項式的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連

同它的指數(shù)不變，作為積的因式；B選項正確.

【詳解】A.卜7)2=如=7，故A不正確；

23

B.6-：-—=6x—=9,故B正確；

32

C.2a+2b^2ah,故C不正確；

D.2a-3b—6ab.故D不正確；

故選B.

【點睛】本題考查二次根式的性質、有理數(shù)的除法及整式的運算，靈活運用相應運算法則

是解題的關鍵.

4.為迎接黨的二十大勝利召開，某校開展了“學黨史，悟初心”系列活動.學校對學生參

加各項活動的人數(shù)進行了調查，并將數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖.若參加“書法”的人數(shù)為80

人，則參加“大合唱”的人數(shù)為()

A.60AB.100AC.160AD.400A

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)參加“書法”的人數(shù)為80人，占比為20%,可得總人數(shù)，根據(jù)總人數(shù)乘以

1-25%-15%-20%即可求解.

【詳解】解：總人數(shù)為80+20%=4(X).

則參加“大合唱”的人數(shù)為400乂。一25%-15%-20%)=160人.

故選C.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖獲取信息是解題的關鍵.

5.如圖，直線AB與相交于點O,ZAOC=J5°,Zl=25°,則N2的度數(shù)是()

cB

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對頂角相等可得N5OD=75°,之后根據(jù)Nl=25。，即可求出N2.

【詳解】解：由題可知N5OD=NAOC=75°,

?.21=25。，

N2=ABOD-Zl=75°-25°=50°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查對頂角和角的和與差，掌握對頂角相等是解決問題的關鍵.

6.如圖，在5x6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的

頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點.假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等

可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中

扇形OAB（陰影部分）的概率是（）

1

1

1

，-1-1

1

1

1

T

1

1

1

1

1

1

T

1

1

1

-1_J

Ji@r

兀rn舊兀

-HB':—L.------------------D.

246060

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)幾何概率的求法:飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的

比值.

【詳解】解：由圖可知，總面積為：5x6=30,OB=匯+產(chǎn)=，

90吻x10_5萬

陰影部分面積為:

360r

5乃

飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是三

30-12

故選：A.

【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰

影區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)

生的概率.

7.《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架.它的代

數(shù)成就主要包括開方術、正負術和方程術，其中方程術是其最高的代數(shù)成就.《九章算術》

中有這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百

步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內，走路快的人走100步，走路慢

的人只走60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為

長度單位）”設走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（）

…60…60c100…

A.x—100-------xB.x-100H------xC.x—100+xD.

10010060

雪=1。?！猐

60

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先令在相同時間，內走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從

而得到走路快的人的速度與，走路慢的人的速度?，再根據(jù)題意設未知數(shù)，列方程即

可

【詳解】解：令在相同時間r內走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走

路快的人的速度F走路慢的人的速釁,

y_1QAI_X

設走路快的人要走X步才能追上，根據(jù)題意可得一t100,

t

???根據(jù)題意可列出的方程是x=100+—%,

100

故選：B.

【點睛】本題考查應用一元一次方程解決數(shù)學史問題，讀懂題意，找準等量關系列方程是

解決問題的關鍵.

8.如圖，點A的坐標為（0,2）,點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點4按逆時針

方向旋轉60。得到線段AC若點C的坐標為（機,3）,則機的值為（）

A4后R2向「5百八4血

3333

【答案】C

【解析】

【分析】過C作CDJ_x軸于。，CEL，軸于E,根據(jù)將線段繞點A按逆時針方向旋轉

60。得到線段AC,可得aABC是等邊三角形，又4（0,2）,C（〃?，3）,即得

AC=>Jnr+l=BC=AB>可得BD=JBC?-CD?7mz-8,

,___,______,______,______sn

OB=-JAB2—OA2=—3，從而J/w2-3+y/m2—S=m，即可解得加—--

【詳解】解：過C作C￡>J_x軸于。，（76，），軸于￡如圖所示：

???CD_Lx軸，CE_Ly軸，

???NCDO=NCEO=NDOE=90。,

???四邊形EOOC是矩形，

???將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60。得到線段AC,

：.AB=ACfZBAC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

:.AB=AC=BC9

VA（0,2）,C（m，3）,

:?CE=m=OD,CD=3,04=2,

.??AE=OE-OA=CD-OA=1,

???AC=ylAE2+CE2=yJm2+l=BC=AB^

在中，BD=\lBC2-CD2=Vm2-8?

在Rt^AOB中，OB=dAB?-O尺=，汴—3,

???OB+BD=OD=m,

?e?3+—8=m'

化簡變形得：3m4-22m2-25=0,

解得：m—或（舍去），

33

m=—1故C正確.

3

故選：C.

【點睛】本題考查直角坐標系中的旋轉變換，解題的關鍵是熟練應用勾股定理，用含〃1的

代數(shù)式表示相關線段的長度.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答您卡

相應位置上.

9.計算：a-a3=-

【答案】a4

【解析】

【分析】本題須根據(jù)同底數(shù)靠乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加，即可求出答案.

【詳解】解：涼?小

=。3+1,

-a4

故答案為：?4.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)暴的乘法，在解題時要能靈活應用同底數(shù)基的乘法法則，

熟練掌握運算性質是解題的關鍵.

10.已知X+y=4,x-y=6,則d-y2=_

【答案】24

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式計算即可.

【詳解】解：?；x+y=4,x-y=6,

x2-y2=(x+y)(x-y)=4x6=24,

故答案：24.

【點睛】本題考查因式分解的應用，先根據(jù)平方差公式進行因式分解再整體代入求值是解

題的關鍵.

Y~無

11.化簡----三2的結果是.

x-2x-2一

【答案】x

【解析】

【分析】根據(jù)分式的減法進行計算即可求解.

【詳解】解：原式=三二左=處21=%.

x—2,x—2.

故答案為：x.

【點睛】本題考查了分式的減法，正確的計算是解題的關鍵.

12.定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角

形”.若等腰△ABC是“倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰A8的長為.

【答案】6

【解析】

【分析】分類討論：AB=4C=2BC或BC=2AB=2AC,然后根據(jù)三角形三邊關系即可得出結

果.

【詳解】解：:△ABC是等腰三角形，底邊8c=3

：.AB=AC

當A8=AC=25C時，△A8C是“倍長三角形”；

當8c=2AB=24C時，AB+AC=BC,根據(jù)三角形三邊關系，止匕時A、B、C不構成三角形，

不符合題意；

所以當?shù)妊鰽BC是“倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰AB的長為6.

故答案為6.

【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關系，涉及分類討論思想，結合三角形三邊

關系，靈活運用分類討論思想是解題的關鍵.

13.如圖，AB是。。的直徑，弦C。交A8于點E,連接AC,AD.若NBAC=28°,則

ND=___°

【答案】62

【解析】

【分析】連接BD，根據(jù)直徑所對圓周角是90。，可得NADB=90°,由C8=CB，

可得NB4C=/BOC,進而可得NA￡)C=90°-/Br)C.

【詳解】解：連接BO，

D

是。。的直徑，

ZADS=90°,

1?,CB=CB，

N84C=N3￡)C=28。，

ZADC=90°-ZBDC=62°

故答案為：62

【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理

是解題的關鍵.

14.如圖，在平行四邊形A8CZ)中，AB±AC,43=3,AC=4,分別以A,C為圓

心，大于」AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,過M,N兩點作直線，與BC交于

2

點、E,與AQ交于點F,連接AE,CF,則四邊形AECF的周長為

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)作圖可得肱V_LAC,且平分AC,設AC與MN的交點為O,證明四邊形

AECE為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得AE為AABC的中線，然后勾股定理求得

BC，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE的長，進而根據(jù)菱形的性

質即可求解.

【詳解】解：如圖，設AC與MN的交點為。，

根據(jù)作圖可得MN,AC,且平分AC,

:.AO=OC,

四邊形ABC。是平行四邊形，

AD//BC,

：.NFAO=NOCE,

又?；NAOF=NCOE,AO=CO,

..^AOF^COE,

AF=EC,

-AF//CE,

四邊形AECE是平行四邊形，

?.?MV垂直平分AC,

:.EA=EC,

，四邊形才是菱形，

???AB1AC,MNLAC，

EF//AB，

BEOC,

—=——=1,

ECAO

r.E為BC的中點，

Rt^ABC中，45=3,AC—4,

BC=yjAB2+AC2=5>

AE=-BC=-,

22

四邊形AECF的周長為4A￡=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，菱形的性質與判定，勾股定理，平行線分線段成

比例，平行四邊形的性質與判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

15.一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水

管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完.在整個過程中，容器中的水

量y（升）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)關系如圖所示，則圖中a的值為.

【答案】y

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，結合題意分析分別求得進水速度和出水速度，即可求解.

30

【詳解】解：依題意，3分鐘進水30升，則進水速度為二=10升/分鐘，

3

???3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關閉進水管，直至容器中的水全部排完直至容

器中的水全部排完，

8x10-20

則排水速度為=12升/分鐘,

8—3

8=型

12

29

解得。

3

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象問題，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關鍵.

A82

16.如圖，在矩形ABC。中一=-.動點M從點A出發(fā)，沿邊A。向點。勻速運動，動

BC3

點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接動點M,N同時出發(fā)，點M運動

的速度為匕，點N運動的速度為打，且斗〈彩.當點N到達點C時，M,N兩點同時停止

運動.在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形若在某一時

刻，點B的對應點B'恰好在CD的中點重合，則上的值為.

%—

3

【答案】-

【解析】

4R9

【分析】在矩形ABC。中一=—,設AB=2a,BC=3a,運動時間為f,得到

BC3

CD=AB=2a,AD=BC=3a,BN=v2t,AM=v/,利用翻折及中點性質，在

Rt^B'CN中利用勾股定理得到v2t="a=BN,然后利用^EDB'~AB'CN得到

3

DE=；a=AE,在根據(jù)判定的t^EM=ADE3'(A5A)得到AM=vtt=a,從而代值

求解即可.

【詳解】解：如圖所示：

B

A[)2

在矩形ABC。中---=—,設AB=2a,BC=3a,運動時間t,

BC3

CD=AB=2a,AD=BC=3a,BN=v-,t,AM=vxt,

在運動過程中，將四邊形M4BN沿MN翻折，得到四邊形M4'3'N,

/.B'N=BN=v2t,A'M=AM=卬,

若在某一時刻，點B的對應點3'恰好在CD的中點重合，

DB'—B'C-a,

在一RtdB'CN中,ZC=90°,B'C=a,B'N=v2t,CN=3a-v2t,則v2f

?"'B'N=NB=90°,

:.ZAB'D+ZCB'N=90°,

/CNB'+/CB'N=90。,

:.ZAB'D=ZCNB',

：.AEDB'~^B'CN,

DEB'CB'Ca3

"~DB"-C/V-BC-BN~7~5—-4，

JU——Q

3

?:DB'=B'C=a,

:.DE=^DB'=^a,則B，E={(DB,+DE?==|a，

533

/.A'E^A'B'-B'E^2a--a=-a,即￡>E=2a=AE,

444

在ZSAEM和AOEB'中，

Z，=N0=9O°

<A'E=DE

ZA'EM=ZDEB'

.-.M,EA/=M)EB'(ASA),

W_u/_A"_。_3

一為3BN5a5-

3

3

故答案為：—.

【點睛】本題屬于矩形背景下的動點問題，涉及到矩形的性質、對稱性質、中點性質、兩

個三角形相似的判定與性質、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌

握相關性質及判定，求出相應線段長是解決問題的關鍵.

三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過程寫在答題卡相應位置

上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明.作圖時用25鉛筆

或黑色墨水簽字筆.

17.計算：|-3|+22-(>/3-1)().

【答案】6

【解析】

分析】先化簡各式，然后再進行計算即可；

【詳解】解：原式=3+4—1

=6

【點睛】本題考查了零指數(shù)累、絕對值、平方，準確化簡式子是解題的關鍵.

X3

18.解方程：——+—=1.

x+1x

3

【答案】x=一二

2

【解析】

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟求出解，再檢驗即可.

【詳解】方程兩邊同乘以x(x+l),得d+3(x+l)=x(x+l).

3

解方程，得x=_1

2

經(jīng)檢驗，》=一士3是原方程的解.

2

【點睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵.即去分母，

去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1,檢驗.

/\2/2、

19.已知3/一2尤一3=0,求(％-1)+Hx+鼻的值.

4

【答案】2x9—x+1,3

3

【解析】

2

【分析】先將代數(shù)式化簡，根據(jù)3/一2x一3二0可得幺一§工=1,整體代入即可求解.

2

【詳解】原式二—2x+1+x24—X

3

=2x2--x+1.

3

v3%2一2%-3=0，

.尤22

3

二原式=2（/一+1

=2x1+1=3.

【點睛】本題考查了整式的乘法運算，代數(shù)式化簡求值，整體代入是解題的關鍵.

20.一只不透明的袋子中裝有1個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球是白球的概率為；

（2）攪勻后從中任意摸出I個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2

次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）

【答案】⑴-

4

3

（2）2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率為3

O

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）畫樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出兩個球顏色不同的結果數(shù)，進而求出

概率.

【小問1詳解】

解：???一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，

，攪勻后從中任意摸出1個球，則摸出白球的概率為：-.

1+34

故答案為：一；

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖，如圖所示:

共有16種不同的結果數(shù)，其中兩個球顏色不同的有6種,

3

???2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率為g.

O

【點睛】考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種結

果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件.

21.如圖，將矩形ABCO沿對角線AC折疊，點B的對應點為E,4E與CD交于點凡

(1)求證：ADAF當AECF；

(2)若NFCE=40°,求NC4B的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)ZCAB=25°

【解析】

【分析】(1)由矩形與折疊的性質可得AO=BC=￡C,ZD=NB=NE=90°,從而

可得結論；

(2)先證明NZMF=ZEC尸=40°,再求解

ZEAB=ZDAB-ZDAF=90°一40°=50°,結合對折的性質可得答案.

【小問1詳解】

證明：將矩形ABC。沿對角線4c折疊，

則AZ>=3C=EC，ZZ)=NB=ZE=9()°.

在△D4F和尸中，

ZDFA=NEFC,

<ND=ZE,

DA=EC,

???ADAF^AECF.

【小問2詳解】

解：：△ZMF也△Eb，

???/DAT=NECF=40。.

???四邊形ABC。是矩形，

，ZDAB=90°.

.../EAB=ZDAB-ZDAF=90°-40°=50°,

VZFAC^ZCAB,

???ZG4B=25°.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，軸對稱的性質，矩形的性質，熟練的運

用軸對稱的性質證明邊與角的相等是解本題的關鍵.

22.某校九年級640名學生在“信息素養(yǎng)提升”培訓前、后各參加了一次水平相同的測

試，并以同一標準折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5個成

績.為了解培訓效果，用抽樣調查的方式從中抽取了32名學生的2次測試成績，并用劃記

法制成了如下表格：

成績

678910

（分）

培訓1正正正

劃記T正T

前TT

人數(shù)

124754

（人）

成績

678910

（分）

培訓T正正正

劃記F—

后TT正

人數(shù)

413915

（人）

（1）這32名學生2次測試成績中，培訓前測試成績的中位數(shù)是機，培訓后測試成績的中

位數(shù)是n,則mn；（填“>”、“<”或“=”）

（2）這32名學生經(jīng)過培訓，測試成績?yōu)椤?分”的百分比比培訓前減少了多少？

（3）估計該校九年級640名學生經(jīng)過培訓，測試成績?yōu)椤?0分”的學生增加了多少人？

【答案】（1）<（2）測試成績?yōu)椤?分”的百分比比培訓前減少了25%

（3）測試成績?yōu)椤?0分”的學生增加了220人

【解析】

【分析】（1）先分別求解培訓前與培訓后的中位數(shù)，從而可得答案；

（2）分別求解培訓前與培訓后得6分的人數(shù)所占的百分比，再作差即可；

（3）分別計算培訓前與培訓后得滿分的人數(shù)，再作差即可.

【小問1詳解】

7+8

解：由頻數(shù)分布表可得：培訓前的中位數(shù)為：m=——=7.5,

2

培訓后的中位數(shù)為：〃二絲二9,

2

所以機＜珥

故答案為：＜;

小問2詳解】

—?100%—?100%25%,

3232

答：測試成績?yōu)椤?分”的百分比比培訓前減少了25%.

【小問3詳解】

415

培訓前：640x—=80,培訓后：640x—=300,

3232

300-80=220.

答：測試成績?yōu)椤?0分”的學生增加了220人.

【點睛】本題考查的是頻數(shù)分布表，中位數(shù)的含義，利用樣本估計總體，理解題意，從頻

數(shù)分布表中獲取信息是解本題的關鍵.

23.如圖，一次函數(shù)y="+2（ZwO）的圖像與反比例函數(shù)y=1（mw0,x＞0）的圖像交

于點A（2,〃），與y軸交于點3,與x軸交于點C（~4,0）.

（1）求k與m的值；

/7

（2）為x軸上的一動點，當△4P5的面積為萬時，求。的值.

【答案】（1）%的值為團的值為6

(2)。=3或。=—11

【解析】

【分析】（1）把C（Y,O）代入了=依+2,先求解々的值，再求解A的坐標，再代入反比

例函數(shù)的解析式可得答案；

（2）先求解8（0,2）.由P（a,0）為x軸上的一動點，可得PC=|a+4].由

S.CAP=SAABP+SMBP，建立方程求解即可?

【小問1詳解】

解：把C（-4,0）代入y="+2,

得k=

2

1c

??y=-x2.

把A（2,“）代入y=gx+2,

得〃=3.

?.A（2,3）.

把A（2,3）代入y=3,

X

得相=6.

的值為g,沈的值為&

【小問2詳解】

當x=0時，y=2.

B（0,2）.

VP（a,O）為x軸上的一動點，

PC=|t/+4|.

SMBP=gPCOB=-^x|<z+4|x2=|cz+4|,

i]3

SeL/C?%=于|。+4卜3=a+4].

??q-q4-s

,%CAP-°AABPT'CBP'

，g|a+4|=g+|a+4].

，4=3或Q=—11.

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，坐標與圖形

面積，利用數(shù)形結合的思想，建立方程都是解本題的關鍵.

24.如圖，AB是。。的直徑，AC是弦，。是的中點，CD與AB交于點E.尸是4B延

長線上的一點，且=

A

D

(1)求證：Cf為。。的切線；

(2)連接BD,取的中點G,連接AG.若CF=4,BF=2,求4G的長.

【答案】(1)見解析(2)AG=』JiU

2

【解析】

【分析】(1)方法一：如圖1,連接。C,OD.由NOC￡)=NQDC,FC=FE,可得

ZOED=ZFCE,由AB是。。的直徑，。是A6的中點，NOOE=90°,進而可得

ZOCF=90°,即可證明CF為。。的切線；

方法二：如圖2,連接OC,BC.設NC43=x°.同方法一證明NOCE=90°,即可證明

C尸為0。的切線；

(2)方法一：如圖3,過G作GHLAB,垂足為H.設。。的半徑為〃則

OF=r+2.在上△OCF中，勾股定理求得「=3,證明G//〃。O,得出

△BHGsBOD,根據(jù)也=也，求得BH,GH,進而求得根據(jù)勾股定理即可求

BOBD

得AG；

方法二：如圖4,連接A。.由方法一，得r=3.AB=6,。是AB的中點，可得

AD=BD=3。根據(jù)勾股定理即可求得AG.

【小問1詳解】

(1)方法一：如圖1,連接OC,OD.

?：OC=OD,

：.40CD=40DC.

'：FC=FE,

：./FCE=NFEC.

,/ZOED=/FEC,

：./OED=/FCE.

：AB是。。的直徑，。是AB的中點，

ZDOE=90。.

/.ZOED+ZODC=90°.

，NFCE+ZOCD=90°，即ZOCF=90°.

OCVCF.

...CE為。。的切線.

D

圖1

方法二：如圖2,連接OC,BC.設NCM=x。.

；AB是。。的直徑，。是A8的中點，

/.ZACD=ZDCB=45°.

ZCEF=ZCAB+ZACD=（45+x）°.

?；FC=FE,

：.ZFCE=ZFEC=（45+x）。.

NBCF=x。.

-：OA=OC，

：.ZACO=ZOAC=x°.

???ZBCF-ZACO.

；AB是。。的直徑，

ZACB=90°.

：.ZOCB+ZACO=90°.

...ZOCB+ZBCF=90°，即/OCF=90°.

OCA.CF.

為。。的切線.

【小問2詳解】

圖2

解：方法一：如圖3,過G作G〃_LAB，垂足為

設。。的半徑為，，則0尸=廠+2.

在中，4123+r2=(r+2)\

解之得r=3.

?；GH±AB,

NGHB=9Q。.

,：/DOE=90。,

/GHB=/DOE.

GH//DO.

“BHGSBOD

.BH_BG

?；G為B。中點，

BG=-BD.

2

1313

:.BH=-BO=-GH=-OD=~.

2222

39

AH=AB-BH=6——=-.

22

???AG=yjGH2+AH2

A

D

圖3

方法二：如圖4,連接AD由方法一，得r=3.

是0。的直徑，

/.ZADB=90°.

?/A8=6，。是AS的中點，

AD=BD=3E

?；G為8。中點，

DG=-BD=-y/2.

22

AG=y/AD2+DG2=J（3夜『+（|血）=|V1（）.

A

D

圖4

【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的性質與判定，綜合運用以上知

識是解題的關鍵.

25.某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如下表所示：

甲種水果質量乙種水果質量總費用

進貨批次

（單位：千克）（單位：千克）（單位：元）

第一次60401520

第二次30501360

(1)求甲、乙兩種水果的進價;

(2)銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動.第三次購進

甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元.將其中的，"千克甲種水果和

千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的

價格銷售.若第三次購進的200千克水果全部售出后，獲得的暈木利潤不低于800元，求

正整數(shù)，〃的最大值.

【答案】(1)甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元

(2)正整數(shù)，”的最大值為22

【解析】

【分析】(1)設甲種水果的進價為每千克。元，乙種水果的進價為每千克元，根據(jù)總費

用列方程組即可；

(2)設水果店第三次購進x千克甲種水果，根據(jù)題意先求出x的取值范圍，再表示出總利

潤w與x的關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷即可.

【小問1詳解】

設甲種水果的進價為每千克。元，乙種水果的進價為每千克h元.

’60。+40〃=1520,

根據(jù)題意，得<

30a+506=1360.

a—12,

解方程組,得《

b=20.

答：甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元.

【小問2詳解】

設水果店第三次購進X千克甲種水果，則購進(200-X)千克乙種水果,

根據(jù)題意，得12x+20(200-x)43360.

解這個不等式，得》》80.

設獲得的利潤為卬元，

根據(jù)題意，得

w=(17-12)x(x-/T?)+(30-20)x(200-x-3m)=-5x-35m+2000.

V-5<0，

隨X的增大而減小.

.?.當X=80時，W的最大值為-35m+160().

根據(jù)題意，得-35根+1600>800.

解這個不等式，得mW圖.

7

，正整數(shù)機的最大值為22.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用、二元一次方程組的應用、解一元一次不等式，解答本

題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的二元一次方程，寫出相應的函數(shù)解析

式，利用一次函數(shù)的性質求最值.

26.如圖，在二次函數(shù),=一/+2如+2"2+1(機是常數(shù)，且加>0)的圖像與x軸交于

A,B兩點(點A在點8的左側)，與y軸交于點C,頂點為D其對稱軸與線段BC交于

點、E,與x軸交于點F.連接AC,BD.

(2)若NACO=NCBO,求機的值；

(3)若在第四象限內二次函數(shù)y=-f+2如+2加+1(m是常數(shù)，且加>0)的圖像

上，始終存在一點P,使得NACP=75。，請結合函數(shù)的圖像，直接寫出，〃的取值范圍.

【答案】(1)4(-1,0)；B(2機+1,0)：C(0,2/n+l)；ZOBC=45°

(2)m=i

6-1

(3)nQ<m<-----

2

【解析】

【分析】(1)分別令x，y等于0,即可求得A8,C的坐標，根據(jù)

OC=OB,ZBOC=90°,即可求得NOBC=45°；

(2)方法一：如圖1,連接AE.由解析式分別求得。尸=(m+1)2,OF=m,

BF^m+1.根據(jù)軸對稱的性質，可得AE=BE,由

BEBFmJ-1

tanZACE=—=——=—=——,建立方程，解方程即可求解.方法二：如圖2,

CECEOFm

過點。作。交于點H.由方法一，得。尸=(加+1)二

BF=EF=，n+l.證明△AOC'S^OHB,根據(jù)相似三角形的性質建立方程，解方程即

可求解；

(3)設PC與x軸交于點°,當P在第四象限時，點?？傇邳c8的左側，此時

ZC04>ZCBA,BRZCQA>45°.

【小問1詳解】

當y=0時，-X2+2mx+2m+\=0-

解方程，得X[=-l,x2=2m+\.

?.?點A在點B的左側，且機>0,

A(-1,0),B(2m+l,0).

當尤=0時，y=2m+l.

：.C(0,2m+l).

OB=OC=2m+l.

,/NBOC=90°,

:.NOBC=45。.

【小問2詳解】

方法一：如圖1,連接AE.

'/y——x2+2mx+2m+l-—(x—niy+(m+1)-,

ADF=(m+1)2,OF=m,BF=m+l.

:點A,點8關于對稱軸對稱，

???AE=BE.

：.NEAB=NOCB=45°.

：.NCSA=90。.

???ZACO=ZCBD,ZOCB=ZOBC,

：.ZACO+NOCB=NCBD+NOBC,

即ZACE=ZDBF.

EF//OC,

，…AEBEBFm+\

??tun/ACE=----=-----=-----=-------

CECEOFm

.m+1_(m+1)-

mm+1

m>0,

???解方程，得/篦=1.

方法二：如圖2,過點D作DH上BC交BC于點H.

由方法一，得。尸=(m+1)2,BF=EF=m+l.

DE=m~+m-

■:ZDEH=ZBEF=45°,

/.DH=EH

BE=V2fiF=V2(/7?+l).

/.BH=BE+HE

ZACO=ZCBD,ZAOC=NBHD=90°,

/\AOC^/\DHB.

OADH

OCBH

1_

2m+1

丁m>0,

工解方程,得）篦=1.

【小問3詳解】

>/3—1

n0<m<--------

2

設PC與x軸交于點Q,當戶在第四象限時，點?？傇邳c8的左側，此時

ZCQA>ZCBA,即NCQA>45。.

???ZACQ=75°f

：.ZC4O<60°.

.ttanNCAO〈百，

\*OC=2m+l,

,?2〃z+1<5/3?

解得加<正二1,

2

又加>0,

?八A/^-1

??0<m<-------.