專題13 相似三角形的經(jīng)典模型（10大題型）（解析版）

專題13相似三角形的經(jīng)典模型（10大題型）【題型目錄】題型一A字型相似題型二8字型相似題型三AX型相似題型四母子型相似題型五三角形內(nèi)接矩形相似題型六射影定理相似題型七旋轉(zhuǎn)相似題型八k字型相似題型九折疊相似題型十動(dòng)態(tài)相似【經(jīng)典例題一A字型相似】【模型解讀】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P為的邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】過P作平行于，由與平行，得到平行于，可得出四邊形與都為平行四邊形，進(jìn)而確定出與面積相等，與面積相等，再由為的中位線，利用中位線定理得到為的一半，且平行于，得出與相似，相似比為1：2，面積之比為1：4，求出的面積，而面積＝面積+面積，即為面積+面積，即為平行四邊形面積的一半，即可求出所求的面積．【詳解】解：過P作交BC于點(diǎn)Q，由，得到，

∴四邊形與四邊形都為平行四邊形，∴，，∴，，∵為的中位線，∴，，∴，且相似比為1：2，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點(diǎn)，過D作交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出的長(zhǎng)，其次利用，求出的長(zhǎng)，得出的長(zhǎng)，最后利用求出的長(zhǎng)，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點(diǎn)，過D作交于G點(diǎn)，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案．3．（2023秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．(1)求線段DE的長(zhǎng)；(2)取線段AD的中點(diǎn)M，連接BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可．【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝，∴BD＝BC－CD＝，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）解：如圖．∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴＝．∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴＝，＝．∴＝．∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．【點(diǎn)睛】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．4．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個(gè)路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長(zhǎng)是多少？【答案】(1)18m(2)3.6m【分析】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，則AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出BN即可．【詳解】（1）如圖1，∵PMBD，∴△APM∽△ABD，，即，∴AP＝AB，∵QB=AP，∴BQ＝AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴AB+12+AB＝AB，∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，∵BMAC，∴△NBM∽△NAC，∴，即，解得BN＝3.6．答：當(dāng)他走到路燈BD時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是3.6m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長(zhǎng)的問題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．【經(jīng)典例題二8字型相似】【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題．2．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則正方形的邊長(zhǎng)為cm．【答案】【分析】如圖，過F作于I點(diǎn)，連接FE和FA，得到設(shè)求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【詳解】如圖，過F作于I點(diǎn)，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點(diǎn)，為BC的三等分點(diǎn)，設(shè)為等腰直角三角形，為AE的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=2BE，BF=2DF的利用以及這些性質(zhì)的熟記．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請(qǐng)說明理由；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，是定值(3)【分析】根據(jù)翻變換的性質(zhì)可以得到，加上對(duì)頂角相等得到的，從而得到，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到，加上對(duì)頂角相等得到的證明出：，最終得到對(duì)應(yīng)角相等得出結(jié)果．如圖中，連接，證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；證明是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖中，設(shè)交于點(diǎn)．四邊形是正方形，，，，由翻折變換的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，．（2），是定值．理由：如圖中，連接，．四邊形是正方形，，，，，，，，同法可證，，，，，，，，；（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．4．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接，交線段于點(diǎn)，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，與直線，分別交于、兩點(diǎn)．試問是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或2(3)為定值，【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解即可；（2）構(gòu)造相似三角形和，利用直線的解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)關(guān)于的代數(shù)式，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可；（3）通過輔助線構(gòu)造直角三角形并用含有的代數(shù)式表示出和，再分別用兩個(gè)三角函數(shù)表示，代入中，最后化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)∴，解得：∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）如圖1，過點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．則，∴令，則，∴∵直線過點(diǎn)和設(shè)直線：∴直線的解析式為：．∵，軸∴當(dāng)時(shí)，，∴設(shè)，則∴∵∴，解得，．∴當(dāng)或2時(shí)，．（3）為定值，理由如下：如圖2，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)．∵，，對(duì)稱軸是∴設(shè)則，，在中，，∴，在中，，∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)以及運(yùn)用三角函數(shù)解直角邊是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三AX型相似】【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1、（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．2、（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點(diǎn)∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．3、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．【答案】；．【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長(zhǎng)線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點(diǎn)F在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．4、（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1．（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因?yàn)锽1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個(gè)等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，線段AD為其內(nèi)角角平分線∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對(duì)任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因?yàn)镽t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴【經(jīng)典例題四母子型相似】【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】過作于，在上截取，連結(jié)，；先證明，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到，即當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過作于，在上截取，連結(jié)，，是等邊三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值為最小值，∴的最大值為，的最小值為，∴的最大值與最小值之積為．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)為的理想點(diǎn),理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）由是的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)在上時(shí)，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長(zhǎng)度；當(dāng)在上時(shí)，，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求長(zhǎng)度；不可能在上．（1）解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）①在上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，或，當(dāng)時(shí)，，，，即是邊上的高，當(dāng)時(shí)，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點(diǎn)”不可能在邊上，③在邊上時(shí)，如圖：是的“理想點(diǎn)”，，又，，，即，，綜上所述，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．4（2023·湖北襄陽·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)D，交于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，利用三角形內(nèi)心定義和同弧所對(duì)圓周角相等即可解答；（2）如圖：連接BE，根據(jù)三角形內(nèi)心定義和同弧所對(duì)圓周角相等，從而根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，再證明可得,，再證可得，即，解得，進(jìn)而得到，然后再利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于的方程求得，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵點(diǎn)E是的內(nèi)心，∴，∴．答：∠CBD的度數(shù)為．（2）證明：如圖，連接BE，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．（3）解：設(shè)，則，∵，∴，∴,，∵，∴，∴，即，解得∴，∵，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴．答：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心定義、同弧所對(duì)圓周角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是相似三角形判定與性質(zhì)的應(yīng)用．【經(jīng)典例題五三角形內(nèi)接矩形相似】【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市新營(yíng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)E在上，于點(diǎn)F，，已知的面積為a，的面積為b，則矩形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明四邊形是矩形，得到，進(jìn)而證明，得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵的面積為a，的面積為b，∴，∴，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形面積，證明，得到是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽阜陽·九年級(jí)校考期中）如圖所示，在中，，，．

（1）若四邊形為的內(nèi)接正方形，則正方形的邊長(zhǎng)為；（2）若四邊形為的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，則矩形的邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】（1）根據(jù)，判定，根據(jù)矩形的性質(zhì)，相似三角形的相似比等于對(duì)應(yīng)高之比計(jì)算即可．（2）設(shè)，根據(jù)，判定，用x表示，構(gòu)造面積的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值判定計(jì)算即可．【詳解】解：（1）如圖，過作于，交于，

∵正方形，∴，，，∴，∴，∵，，．∴，∴，∴，∴，∴，即正方形的邊長(zhǎng)為．（2）如圖，過作于，交于，∵矩形，∴，，，，∴，∴，

設(shè)，則，同理：，∴，則，設(shè)矩形的面積為y，則．∴當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)，，故當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)．故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北宜昌·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，高．矩形的一邊在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在、上，交于點(diǎn)H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長(zhǎng)．(2)設(shè)，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求其最大值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),矩形的面積有最大值【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，利用相似三角形的性質(zhì)可得，可得的值；根據(jù)矩形的面積公式，可以把面積表示成關(guān)于的長(zhǎng)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為，∵矩形為正方形，∴，∴，，，，答：該正方形的邊長(zhǎng)為．（2）由(1)中的得，，，，，當(dāng)時(shí),矩形的面積有最大值．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為邊向上作矩形，點(diǎn)在或的延長(zhǎng)線上，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

(1)求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)平分矩形的周長(zhǎng)時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在的直角邊的垂直平分線上時(shí)，直接寫出的值；(4)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，、分別交邊于點(diǎn)、，當(dāng)與圖中某個(gè)三角形全等時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)秒(3)秒或秒(4)秒或秒或秒【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）連接，取的中點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，先證明，得出，從而說明平分矩形的周長(zhǎng)，再證明、，由相似三角形的性質(zhì)可得出，，然后通過建立關(guān)于的方程，求解即可；（3）分兩種情況討論即可；（4）分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴，∴的長(zhǎng)為．（2）如圖，連接，取的中點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴，此時(shí)平分矩形的周長(zhǎng)，∵動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，，∵當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，∴此時(shí)，即，∵，，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（秒）．∴的值為秒．

（3）①當(dāng)點(diǎn)在的直角邊的垂直平分線上時(shí)，可得：，∴，∴（秒）；②當(dāng)點(diǎn)在的直角邊的垂直平分線上時(shí)，可得：，∴，∴（秒）．綜上所述，的值為秒或秒．（4）∵在中，，，，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，∴，①當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴，∴，∴（秒）；

②當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴∴，∴（秒）；

③當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴，∴（秒）．綜上所述，的值為秒或秒或秒．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等積法等知識(shí)，運(yùn)用了分類討論和方程的思想．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．【經(jīng)典例題六射影定理相似】【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．1、（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長(zhǎng)是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故選A.2、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個(gè)三角形與Rt△ABC相似．故選：A．【變式6-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．3、（2022秋?汝州市校級(jí)月考）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設(shè)，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．【經(jīng)典例題七旋轉(zhuǎn)相似】【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．1．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點(diǎn)H、I，CH＝IH．則線段HI的長(zhǎng)度為（）A．3 B．2 C．5 D．【答案】D【分析】由“HL”可證Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性質(zhì)可得∠IAH=∠AID，可證IH=AH，通過證明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AI，AC，∵以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，在Rt△AGI和Rt△ADI中，，∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），∴∠GAI＝∠DAI，∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，∴∠IAH＝∠AID，∴IH＝AH，又∵IH＝HC，∴IH＝HC＝AH，∴∠IAC＝90°，∴∠DAI+∠DAC＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAI＝∠DCA，又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，∴△ADI∽△CDA，∴，∴，∴DI＝1，∴CI＝ID+CD＝5，∴IH＝IC＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理求得根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證是等腰直角三角形，可得，再由，證明，可得即，再由，求得從而求得即可求解．【詳解】過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵，，

∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到是等腰直角三角形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即∵，，∴，，即，又∵，，，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊都落在對(duì)角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對(duì)角線，若圖2中的的邊分別交對(duì)角線于點(diǎn)G、點(diǎn)H．如圖3，求的值．【答案】(1)（選取兩個(gè)即可）．(2)．(3)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得都是等腰三角形．由折疊可得，，即可得到，證明，則．又由得到，則都是等腰三角形．（2）延長(zhǎng)到T，使得，連接．證明，則．得到，證明，則．得到，即可得到結(jié)論．（3）由四邊形是正方形得到，．證明，則．【詳解】（1）如圖1中，

圖1∵四邊形是正方形，∴，∴都是等腰三角形．由折疊可得：，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴都是等腰三角形．故答案為：（選取兩個(gè)即可）．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，延長(zhǎng)到T，使得，連接．

∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．故答案為：．（3）如圖3中，

∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，過點(diǎn)A作直線，過點(diǎn)B，C分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，D．

操作探究：（1）如圖2，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段BC相交于點(diǎn)G，請(qǐng)?jiān)偬骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；嘗試應(yīng)用：（3）在圖3中，延長(zhǎng)線段交線段AC于點(diǎn)F，若，，求．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）；根據(jù)題意，利用“”證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）；根據(jù)題意，利用“”證明，得出，即可得出結(jié)論；（3）在中，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)求出，根據(jù)，算出，即可求出三角形的面積．【詳解】（1）解：；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；（2）解：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；（3）解：根據(jù)解析（2）可知，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八k字型相似】【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形1．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個(gè)Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點(diǎn)D在半徑OB上，OD＝2DB，點(diǎn)E在半徑OA上，點(diǎn)F在弧上．則半徑OA的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】看到點(diǎn)想位置，用角度刻畫F在上的位置，再利用建立等量關(guān)系解得半徑【詳解】解：連接OF，作FG⊥OB于點(diǎn)G，過F作于H，設(shè)半徑為r，，在中，，∵，，∴，又，∴，∴，由，∴，∴，，∴，，在中，因?yàn)榻夥匠虖?fù)雜，代入檢驗(yàn)得：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，首先要明確的一點(diǎn)是：△EDF的形狀是確定的．D點(diǎn)在OB上的位置也是確定的，所以點(diǎn)F在弧AB上的位置以及點(diǎn)E在OA上的位置也是確定的，應(yīng)當(dāng)思考利用什么樣的數(shù)量關(guān)系去刻畫這兩點(diǎn)的位置關(guān)系，而這恰恰是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．【答案】2.4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，∴，解得：．故答案為：2.4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得．請(qǐng)求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）發(fā)生變化，，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；（3）作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴．在和中，∴，∴．（2）發(fā)生變化，．證明：由（1）得，，，∴，∴，∴．（3）如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，由（1）同理可證，，∴，，∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確證明三角形全等或相似，并熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時(shí)，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為4或．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九折疊相似】1．（2021秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片分別沿，折疊，點(diǎn)D，E恰好重合于點(diǎn)M．記面積為，面積為，且，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)推出，，，，則，根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，設(shè)，則，由折疊可知，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，正方形中，，點(diǎn)P為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，把沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)落在圖①的位置時(shí)，當(dāng)點(diǎn)若在圖②的位置時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，故分兩種情況；情況一：當(dāng)點(diǎn)落在圖①的位置時(shí)，由正方形可知，，因?yàn)辄c(diǎn)落在的垂直平分線上，故，由折疊可知，，在中，由勾股定理可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，故，∴；

情況二：當(dāng)點(diǎn)若在圖②的位置時(shí)，由正方形可知，，∵點(diǎn)落在的垂直平分線上，∴，由折疊可知，，在中，由勾股定理可知，，∴，由折疊可知，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，即，解得：，即，∴．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了一線三垂直模型、三角形相似應(yīng)用、勾股定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，注意分類討論．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行線內(nèi)錯(cuò)角相等和翻折前后對(duì)應(yīng)角相等，等量代換即可證明；（2）利用相似列出關(guān)系式，利用邊的關(guān)系代入到關(guān)系式可求出．【詳解】（1）證明：點(diǎn)、關(guān)于線段對(duì)稱，由翻折的性質(zhì)可知：，是正方形，，，（等量代換）．（2）解：設(shè)，則，設(shè)，則．在中，，，．即．，，又，，，．，，整理得：，．．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)以及相似三角的判定，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握一線三垂直的相似是本題突破口．4．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，已知中，，E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)C與重合，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）折疊，得到，根據(jù)的值，求出的值，進(jìn)而得到，再根據(jù)，即可得證；（2）根據(jù)相似的性質(zhì)得到，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的長(zhǎng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：∵沿折疊，點(diǎn)C與重合，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴；（2）∵，∴∴，∴∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，如圖，過點(diǎn)E作于H，

∵，，，∴，∵，，∴，∴∴，∴，，∴，∴，∴的最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，證明三角形相似．【經(jīng)典例題十動(dòng)態(tài)相似】1．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是在以為圓心、以為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在上截取，連接，，，證明，可得，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，求出即為所求．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，，∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是在以為圓心、以為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴的最小值等于．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為，且．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與的中點(diǎn)重合，則的值為．

【答案】【分析】如圖，設(shè)交于點(diǎn)Q，設(shè)，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性質(zhì)求出（用k表示），可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)Q，設(shè)，

，∴可以假設(shè)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∵四邊形是矩形，，，，在中，，，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．（2023·江蘇淮安·校考二模）如圖：已知菱形中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交外角角平分線于點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．

(1)如圖，①設(shè)的度數(shù)為，直接寫出的取值范圍______；②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：；(2)如圖，過點(diǎn)作的平行線，且使，連接，①證明：；②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)（1）①/；②見解析(2)（2）①見解析；②【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的度數(shù)最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的度數(shù)最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出這兩種情形時(shí)的度數(shù)，即可得到的取值范圍；②如圖，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定得到，證得，再由菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定，得到，證得，最后根據(jù)即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)平行四邊形的判定證得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得，可求出，再由菱形性質(zhì)得，，由全等三角形判定，證得，然后由全等三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論；②如圖，連接交于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的對(duì)角線性質(zhì)得到，，，，由三角函數(shù)求出，，再由平行線的性質(zhì)證得，得到，，再由平行線性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，證得，然后由平行線的判定及相似三角形的判定，證得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到，，，代入已知值即可求出的值．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，的度數(shù)最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的度數(shù)最小，如圖：

，四邊形是菱形，，，，，是的角平分線，，，是等邊三角形，，，，，的取值范圍是，故答案為：；證明：過點(diǎn)作，如圖：

，四邊形是菱形，，，是的角平分線，，是中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，．（2）解：①連接，如圖：

，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，；連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)N，如圖：

，，，，，是菱形的對(duì)角線，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及特殊三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，若D、F、G三點(diǎn)在同一直線上，且過邊的中點(diǎn)O，，直接寫出的長(zhǎng)等于______；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)P是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接，若，則的值是否是定值？請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）①；②；（2）①成立，見解析；②；（3）是定值，3，見解析【分析】（1）①連接，，利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；②利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①連接，，利用正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②連接，，利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）①連接，，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，∴B，F(xiàn)，D三點(diǎn)在一條直線上．∵，，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴，∴；故答案為：；②∵B，F(xiàn)，D三點(diǎn)在一條直線上，，∴直線與直線所夾的銳角等于45°．故答案為：；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：連接、，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∴和為等腰直角三角形，，，，∴，，∴，∴；延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵，∴，∵，∴，∴，即直線與直線所夾的銳角等于，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；②連接，，如圖，

∵四邊形為正方形，∴．由①知：，∴．∵邊的中點(diǎn)為O，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：；（3）的值是定值，定值為3，理由：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)，如圖，∵四邊形為正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，

∴，，，∴．由（2）①的結(jié)論可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．即：的值是定值，定值為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，邊DE與AC相交于點(diǎn)F，設(shè)BD＝x，CF＝y(tǒng)，若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)推出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)以及圖象確定出△ABC的邊長(zhǎng)，從而求解面積即可．【詳解】解：∵△ABC，△ADE為等邊三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴，設(shè)AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y(tǒng)，∴，即．∵，，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，此時(shí)，由圖象可知，∴a＝6，∴等邊三角形ABC的面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等，熟練根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)推出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)D在邊上，且，將含角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交邊于P、Q，連接，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)作于，根據(jù)等邊三角形，和含角的直角三角形，易證得，從而求得線段，，，，，，的長(zhǎng)度，最后在中利用勾股定理可以求得的長(zhǎng)度．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，在等邊中，，，在中，，，∵，∴，，∴，∴，又∵∠A=∠B=60°，∴，

∴，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，已知∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，而,∴，∴，在中，，∴，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊三角函數(shù)值，一線三等角的相似模型，正確找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】由余角的定義可推出，并不能說明，說明①錯(cuò)誤；再根據(jù)，可推出，進(jìn)而可證明，說明②正確；連接BD，由三角形中位線可知，再由可進(jìn)一步推出，即，即，說明④正確；在中，，即可求出CG長(zhǎng)度，即可求出AB=2，說明③正確．【詳解】解：∵，∴，∴不能說明，故①錯(cuò)誤．∵，∴，又∵∴，故②正確．如圖連接BD，由題意可知，∵G和F分別為CD和BC的中點(diǎn)，∴，∵∴，即，∴在中，，即,解得∴，故③正確．∵，∴，即，故④正確．綜上正確的有②③④共3個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．能夠連接常用的輔助線和證明是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．6．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點(diǎn)，過D作交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出的長(zhǎng)，其次利用，求出的長(zhǎng)，得出的長(zhǎng)，最后利用求出的長(zhǎng)，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點(diǎn)，過D作交于G點(diǎn)，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠MPN=90°，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊PM、PN上移動(dòng)，連接PC，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=2QC，則線段BQ長(zhǎng)度的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，連接,，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，勾股定理求得，根據(jù)求解即可．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接,，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，四邊形是正方形，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋·四川成都·九年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連接CE，將△BCE沿CE折疊得到△FCE，CF與BD交于點(diǎn)P，則DP的長(zhǎng)為．【答案】【分析】由勾股定理可求出BD、EC的長(zhǎng)，連接BF交CE于點(diǎn)G，作FH⊥BC于點(diǎn)H，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BG的長(zhǎng)，再根據(jù)面積等式列方程求出FH的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BQ與CQ的比，進(jìn)而求出DP的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接BF交CE于點(diǎn)G，作FH⊥BC于點(diǎn)H，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵BC=3，∴；∵AE=BE=AB=×2=1，∴；由折疊得，CE垂直平分BF，∴∠BGC=∠EBC=90°，∵∠GCB=∠BCE，∴△BGC∽△EBC，∴，∴，∴，；由BC?FH=BF?CG得，×3FH=××，解得，F(xiàn)H=；∵∠CHF=90°，F(xiàn)C=BC=3，∴；∵PQ∥FH，∴△CPQ∽△CFH，∴，∴，∴CQ=PQ，∵∠BQP=∠BCD=90°，∴PQ∥DC，∴△BPQ∽△BDC，∴，∴，∴BQ=PQ，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)以及用面積等式列方程等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，此題難度較大，計(jì)算煩瑣，應(yīng)注意檢驗(yàn)所求的結(jié)果是否正確．9．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.解答下列問題：（1）當(dāng)為___________時(shí)，？（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？（4）若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）由題意得，PQ∥AB，則四邊形PABQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）過點(diǎn)Q作QH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由勾股定理求出BD=6，證明△ADB∽△BHQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得QH=，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，可得出BE=，根據(jù)y=S四邊形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先證出△APE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，可得PE=6-，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根據(jù)勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）連接FF′交AB于點(diǎn)N，由對(duì)稱及平行線的性質(zhì)可得∠FEB=∠ABD，由等角對(duì)等邊得EF=FB，則，再證△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后證明△BNF∽△BDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得t的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四邊形PABQ是平行四邊形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t=，∴當(dāng)t=時(shí)，PQ∥AB；故答案為：；（2）如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴，即，∴，∵PE∥BD，∴，即，∴，∴y=S四邊形APQB-S△BEQ=；（3）如圖：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴，即，∴，∵點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上，∴EQ=，由（2）得，∴，∴，Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴，即t2+2t-4=0，解得：（舍去），∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)E在PQ的垂直平分線上；（4）連接FF'交AB于點(diǎn)N，∵點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為F′，∴∠FEB=∠F′EB，F(xiàn)N⊥EB，∵點(diǎn)P，E，F(xiàn)′三點(diǎn)共線，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴，∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴