數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊(cè)5.1.1任意角

5.1.1任意角情境引入思考：客觀世界中存在很多這樣的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，我們來(lái)看素材。主動(dòng)輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°被動(dòng)輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°新課講授問(wèn)題1：同學(xué)們還能舉出生活中一些周而復(fù)始的現(xiàn)象嗎？新課講授問(wèn)題2：描述周而復(fù)始最常見(jiàn)的模型是圓周運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)哪些量是周而復(fù)始的？問(wèn)題3：你能用一個(gè)量來(lái)描述圓周上點(diǎn)P的位置嗎？追問(wèn)1：初中角的定義是什么？角的取值范圍是什么？新課講授

由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形。銳角直角鈍角平角周角╭╮

●●●●●OAB邊邊靜態(tài)定義角的范圍：0°～360°追問(wèn)2：初中角的定義能描述這種周而復(fù)始的現(xiàn)象嗎？新課講授追問(wèn)3：為了描述這種現(xiàn)象我們要知道什么？角的旋轉(zhuǎn)度數(shù)和旋轉(zhuǎn)方向新課講授問(wèn)題4：你能從“旋轉(zhuǎn)量”和“旋轉(zhuǎn)方向”兩個(gè)方面出發(fā)，給出推廣后角的概念嗎？平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.AOB始邊頂點(diǎn)終邊一.高中的角的定義：新課講授動(dòng)態(tài)定義二.任意角的分類逆時(shí)針順時(shí)針沒(méi)有做任何思考1：始邊與終邊重合的角一定是零角嗎？不一定，只有始邊沒(méi)做任何旋轉(zhuǎn)，與終邊重合的角新課講授問(wèn)題5：請(qǐng)類比實(shí)數(shù)的關(guān)系和運(yùn)算定義角的關(guān)系和運(yùn)算？思考：兩個(gè)角之間有什么關(guān)系？大小關(guān)系：正角＞零角＞負(fù)角相等關(guān)系：如果一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量與另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量都一樣，那么就稱兩個(gè)角相等，即α=β相反角：類似于實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a,我們引入任意角α的相反角的概念，如圖，我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角互為相反角，角α的相反角即為-α。三、角的運(yùn)算：思考2：對(duì)于任意的α，β，如何理解α＋β呢？①把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β。問(wèn)：你能從幾何的角度解釋以上式子嗎？②從運(yùn)算的角度：40°+90°=130°40°-90°=40°+（-90°）=-50°思考1：兩個(gè)角也能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加減運(yùn)算嗎？角的加法：設(shè)α，β為任意兩個(gè)角。我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，此時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角是α＋β角的減法：α-β=α+（-β）角的減法可以轉(zhuǎn)化成角的加法。類別實(shí)數(shù)角分類正數(shù)、負(fù)數(shù)、零正角、負(fù)角、零角相等表示同一數(shù)值如果一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量與另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量都一樣，那么就稱兩個(gè)角相等，即α=β相反量實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角互為相反角，角α的相反角即為-α。加法30+20=50角的加法：設(shè)α，β為任意兩個(gè)角。我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，此時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角是α＋β減法50-20=30角的減法：α-β=α+（-β）新課講授

問(wèn)題6：若給角一個(gè)參考系，將角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論，有什么好處？思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

四、象限角與軸線角例：-50°，405°，210°,-200°，-450°分別是第幾象限的角？四、終邊相同的角

思考1：

-32°，328°，-392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°思考2:與－32°角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？

相差360°的整數(shù)倍思考3：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

思考4：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.

思考5：終邊在x軸非負(fù)半軸、非正半軸，y軸非負(fù)半軸、非正半軸上的角分別如何表示？

x軸非負(fù)半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸非正半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸非負(fù)半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸非正半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.第一象限角：第二象限角：