北京市東城171中2023年數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題含解析

北京市東城171中2023年數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．定義在上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，．若方程且根的個(gè)數(shù)大于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知向量，其中，則的最小值為（）A.1 B.2C. D.33．三棱錐的外接球?yàn)榍颍虻闹睆绞?，且，都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則三棱錐的體積是A. B.C. D.4．函數(shù)，的最小值是（）A. B.C. D.5．函數(shù)（，且）的圖象必過(guò)定點(diǎn)A. B.C. D.6．已知三棱錐D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.π B.6πC.5π D.8π7．為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度8．若，則下列不等式中，正確的是（）A. B.C. D.9．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)]時(shí)，，則（）A.B.C.D.10．函數(shù)，設(shè)，則有A. B.C. D.11．已知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（）A. B.C. D.12．設(shè)方程的解為，則所在的區(qū)間是A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為_(kāi)___________14．已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程（）恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)______.15．已知，則______.16．下面四個(gè)命題：①定義域上單調(diào)遞增；②若銳角，滿足，則；③是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則；④函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是；其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_____.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）已知，求的值18．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，面，，，分別為，的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求點(diǎn)到面的距離19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示（1）求的解析式.（2）寫(xiě)出的遞增區(qū)間.20．已知，求，的值.21．已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式22．已知（1）求的值（2）求

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】由題設(shè)，可得解析式且為周期為4的函數(shù)，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè)，討論參數(shù)a判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而畫(huà)出和的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法有符合題設(shè)，即可求范圍.【詳解】由題設(shè)，，即，所以是周期為4的函數(shù)，若，則，故，所以，要使且根的個(gè)數(shù)大于3，即與交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè)，又恒過(guò)，當(dāng)時(shí)，在上，在上且在上遞減，此時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以.綜上，、的圖象如下所示，要使交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于3個(gè)，則，可得.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件分析出的周期性，并求出上的解析式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析a的范圍，最后根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)一步縮小參數(shù)的范圍.2、A【解析】利用向量坐標(biāo)求模得方法，用表示，然后利用三角函數(shù)分析最小值【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故的最小值?故選A【點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)與向量綜合考察，利用三角函數(shù)得有界性，求模長(zhǎng)得最值3、B【解析】試題分析：取BC中點(diǎn)M，則有,所以三棱錐的體積是，選B.考點(diǎn)：三棱錐體積【思想點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解4、D【解析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故選：D.5、C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，且有(且)，令，則，，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)(且)恒過(guò)定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題目.6、B【解析】由題意結(jié)合平面幾何、線面垂直的判定與性質(zhì)可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面幾何的知識(shí)即可得該幾何體外接球的球心及半徑，即可得解.【詳解】AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，∴，，∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，∴BC⊥BD，AD⊥AC，∴CD＝，由直角三角形的性質(zhì)可知，線段CD的中點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C，D的距離均為，∴該三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為4π＝6π.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐幾何特征的應(yīng)用及其外接球表面積的求解，考查了運(yùn)算求解能力與空間思維能力，屬于中檔題.7、B【解析】因?yàn)?，所以為了得到函?shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可．選B8、C【解析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】由，得，即，故A錯(cuò)誤；則，則，即，故B錯(cuò)誤；則，，所以，故C正確；則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C9、A【解析】由，可得的周期為，利用周期性和單調(diào)性化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以的周期為?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減因?yàn)椋宜怨使蔬x：A.10、D【解析】>1，<0，0<<1，∴b<c<1，又在x∈（-∞，1）上是減函數(shù)，∴f(c)<f(b)<0，而f(a)>0，∴f(c)<f(b)<f(a).點(diǎn)睛：在比較冪和對(duì)數(shù)值的大小時(shí)，一般化為同底數(shù)的冪（利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)）或同底數(shù)對(duì)數(shù)（利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)），有時(shí)也可能化為同指數(shù)的冪（利用冪函數(shù)性質(zhì)）比較大小，在不能這樣轉(zhuǎn)化時(shí)，可借助于中間值比較，如0或1等．把它們與中間值比較后可得出它們的大小11、D【解析】由在區(qū)間上單調(diào)遞減，分類(lèi)討論，，三種情況，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且方程的兩根為.若時(shí)，由解得或，滿足題意.若時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以且.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.綜上，故選：D12、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間即所在的區(qū)間，由于連續(xù)，且：，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得：所在的區(qū)間是.本題選擇B選項(xiàng).二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得到的解析式【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得到，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，可得到.故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】令，則方程轉(zhuǎn)化為，可知可能有個(gè)不同解，二次函數(shù)可能有個(gè)不同解，由恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可得有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，然后根據(jù)，，分3種情況討論即可得答案.【詳解】解：令，則方程轉(zhuǎn)化為，畫(huà)出的圖象，如圖可知可能有個(gè)不同解，二次函數(shù)可能有個(gè)不同解，因?yàn)榍『糜?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，因?yàn)?，解得，，解得，所以，，每個(gè)方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以由，可得，即，解得；由，可得，即，解得；由，可得，即，而在上恒成立，綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.故答案為：.15、【解析】利用商數(shù)關(guān)系，由得到代入求解.【詳解】方法一：，則.方法二：分子分母同除，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、②③④【解析】由正切函數(shù)的單調(diào)性，可以判斷①真假；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可以判斷②的真假；根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，可以判斷③的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，我們可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案【詳解】解：由正切函數(shù)的單調(diào)性可得①“在定義域上單調(diào)遞增”為假命題；若銳角、滿足，即，即，則，故②為真命題；若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，若，則，則，故③為真命題；由函數(shù)則當(dāng)時(shí)，故可得是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故④為真命題；故答案為：②③④【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，偶函數(shù)，正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式求解即可；(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為其次問(wèn)題進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)原式.(2)原式.18、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴可證得，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴面（2）∵，∴19、（1）（2），【解析】(1)由函數(shù)的圖像可得，得出周期，從而得出，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法求出，得出答案.(2)令解出的范圍，得出答案.【小問(wèn)1詳解】由圖可知，，∴，∴，將點(diǎn)代入得，，，∴，，∵，∴，∴【小問(wèn)2詳解】由，，解得，，∴的遞增區(qū)間為，20、見(jiàn)解析【解析】分角為第三和第四象限角兩種情況討論，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以是第三或第四象限?由得.如果是第三象限角，那么，于是，從而；如果是第四象限角，那么，.綜上所述，當(dāng)是第三象限角時(shí)，，；當(dāng)是第四象限角時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）f（x）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（0，1）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（﹣1，0）【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求出f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，利用函數(shù)的奇偶性的定義，得出結(jié)論；（2）分類(lèi)討論底數(shù)的范圍，再利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性，求得x的范圍【小問(wèn)1詳解】對(duì)于函數(shù)，由，求得﹣1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，1），再根