2022年遼寧省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2022年遼寧省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（3月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)己知集合M={x|-4Vx<3},N={-4,-2,1,2],則CR(MUN)=()

A.{-2,1,2}B.{x|-4?3}C.{小<-4或工23}D.{小<-4或x

>3)

2.(5分)已知復(fù)數(shù)2=—2i則2=()

(-l+o

11

C.—2—iD.—1+i

3.（5分）已知甲、乙、丙、丁4名志愿者參加2022年冬奧會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，每名志

愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，則甲、乙參加同1個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)的概率為（）

1111

A.一B.-C.一D.一

2346

4.（5分）已知。=log2.57,b=log415,c=（/）T,則下列判斷正確的是（）

A.B.b<a<cC.c〈b<aD.b<c<a

5.（5分）設(shè)S〃是等差數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和,。2=-7,S5=2m,當(dāng)|S”取得最小值時(shí)，九=

（）

A.10B.9C.8D.7

6.（5分）已知圓臺(tái)形的木桶的上、下底面的半徑分別為4和2,木桶的高為28，則該木

桶的側(cè)面展開成的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為()

37r2n71

A.71B.—C.—D.一

432

7.(5分)已知直線x+y-1=0與圓M：%2+>2-2公-2丫=0交于4,8兩點(diǎn)，若NAMB=4

NMAB,貝lja=()

A.±2B.±1C.2或-1D.1或-2

3

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=高-x+2,則不等式/(fl?)4y(m-2)<6的解集為()

A.(-I,2)B.(-8,-1)u(2,+8)

C.（-2,1）D.（-8,-2）U（1,+8）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（5分）如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2020年12月至2021年12月的全國(guó)居民消費(fèi)

價(jià)格漲跌幅，其中同比=半身誓XI。。％,環(huán)及=本期數(shù)］.期數(shù)x\。。％.

則下列說法正確的是（）

A.2020年12月至2021年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比的極差為1.5%

B.2020年12月至2021年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比的中位數(shù)為0.9%

C.這13個(gè)月中，2021年6月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最低

D.2021年比2020年全國(guó)居民消費(fèi)平均價(jià)格增長(zhǎng)大于1.0%

（多選）10.（5分）古代典籍《周易》中的“八卦”思想對(duì)我國(guó)建筑中有一定影響.如圖

是受“八卦”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形ABCQEFGH的中心，

且|我|=1,則（）

A.&與&能構(gòu)成一組基底B.ODOF=0

TT/?

C.OA+OC=V3OBD.AC-CD

（多選）11.（5分）在菱形A8CD中，48=1,/A8C=120°,將△AB。沿對(duì)角線2。折

起，使點(diǎn)4至點(diǎn)P（尸在平面A8CD外）的位置，則（）

A.在折疊過程中，總有8。_LPC

B.存在點(diǎn)P,使得PC=2

C.當(dāng)PC=1時(shí)，三棱錐p-BCD的外接球的表面積為三

D.當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，PC=1

（多選）12.（5分）已知拋物線C：/=2py（p>0）的準(zhǔn)線/的方程為y=-1,過C的焦

點(diǎn)廠的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，以A,B為切點(diǎn)分別作C的兩條切線，且兩切線交于

點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為了=2yB.ZAMB=W°

C.M恒在/上D.\MF\2^\AF]*\BF]

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知雙曲線C：浣告—V=的右焦點(diǎn)到直線x+y=0的距離為魚，則

C的離心率為.

14.（5分）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式/（x）=.

①/'（x）的最大值為2；

②Vx6R,/（2-x）=/（x）；

@f（x）是周期函數(shù).

11

15.（5分）已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-40,則展開式中的系數(shù)為.

16.（5分）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+2022=be，"（其中6>0）,則32022）歷的最小值

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A+C

17.（10分）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sinB=sin^-.

（1）求以

（2）若sinA=2sin8-sinC,△ABC面積為出，求△ABC的周長(zhǎng).

4

18.（12分）受新冠肺炎疫情的影響，各地推出務(wù)工人員就地過年的鼓勵(lì)政策.某市隨機(jī)抽

選了1（）0名男務(wù)工人員和100名女務(wù)工人員，調(diào)查他們是否有就地過年的意愿，結(jié)果如

表：

有就地過年的意愿無(wú)就地過年的意愿

男務(wù)工人員8020

女務(wù)工人員6040

(1)能否有99.9%的把握認(rèn)為務(wù)工人員就地過年的意愿與性別有關(guān)?

(2)若用頻率估計(jì)概率，從該市所有女務(wù)工人員中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)查，X表示

抽取的女務(wù)工人員無(wú)就地過年的意愿的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

2

附：f=(a+乂珠緇(b+力其中〃=。+計(jì)。+/

a=P(x222)0.10.010.001

k2.7066.63510.828

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi的底面為直角三角形，44i=2A8=28C=2,E,

尸分別為A8,CCi的中點(diǎn).

(1)證明：EF〃平面4B1G；

(2)求二面角A-B\C\-B的平面角的余弦值.

20.(12分)已知的為數(shù)列｛曲｝的前〃項(xiàng)和,ai=3,S"+I+1=4M

(1)求數(shù)列僅〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列｛加｝的前“項(xiàng)和

①瓦

②b,尸(T)n<2n2+10n+13>24n-2

"an2-an+l2

x2y2

21.(12分)已知A為橢圓C：—+—=1(a>/?>0)的下頂點(diǎn)，F(xiàn)i,Fi分別為C的左、

a2b2

右焦點(diǎn),忸尸||+忸五2|=百尸122|,且C的短軸長(zhǎng)為2企.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N為C上x軸同側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，兩條不重合的直線MFi,NF\

關(guān)于直線x=-l對(duì)稱，直線與x軸交于點(diǎn)P,求△OMP的面積的最大值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=2av+cosx,g(x)=ax1+ex.

(1)當(dāng)0<aV1時(shí)，求/(x)在區(qū)間［0,用上的極值之和；

(2)若/(x)Wg(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2022年遼寧省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合〃=3-4<》<3},N={-4,-2,1,2},則CR(MUN)=()

A.{-2,1,2}B.{x|-4<x<3}C.{x\x<-4^x>3}D.{小<-4或x

>3)

【解答】解：：MUN={x|-4Wx<3},

ACR(MUN)={x[x<-4或x>3}.

故選：C.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)2=2T則彳=()

(-1+i)

11II

A.一一iB.-+iC.-4-iD.-g+i

2222

【解答】解：復(fù)數(shù)z=q'="j=2+i,

(-l+i)z-2i2

則5=3

故選：A.

3.（5分）已知甲、乙、丙、丁4名志愿者參加2022年冬奧會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，每名志

愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，則甲、乙參加同1個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.一

2346

【解答】解：甲、乙、丙、丁4名志愿者參加2022年冬奧會(huì)的3個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn),

每名志愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)，

基本事件總數(shù)“=34=81,

甲、乙參加同1個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)包含的基本事件個(gè)數(shù)，〃=Cl-32=27,

則甲、乙參加同1個(gè)項(xiàng)目培訓(xùn)的概率為2=華=泵

故選：B.

4.（5分）已知a=k）g2.57,b=log415,c=則下列判斷正確的是（）

A.a<h<cB.h<a<cC.c<b<aD.h<c<a

【解答】解：?.?a=log2.57>k>g2.56.25=2,Z?=log415<log416=2,c==2,

.\b<c<a,

故選：D.

5.(5分)設(shè)S〃是等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，?2=-7,S5=2m,當(dāng)|S”取得最小值時(shí)，n=

()

A.10B.9C.8D.7

【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛劭｝中,?2=-7,S5=2m,

所以%，

(5%+10a=2al

解得,a\=-10,d=3,

2

仁匕I、IC，八,n(n-1)03n—23n

所以Sn=-l(k+'2=3=——2——'

因?yàn)?⑴=i(3?-23x)的零點(diǎn)為x=0,后號(hào)

所以/(x)|的最小值是靠近零點(diǎn)處的函數(shù)值，

又51=10,圖|=7,網(wǎng)=4,

當(dāng)〃=8時(shí)，取得最小值.

故選：C.

6.(5分)已知圓臺(tái)形的木桶的上、下底面的半徑分別為4和2,木桶的高為2百，則該木

桶的側(cè)面展開成的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為()

37r27rn

A.ITB.—C.—D.一

432

【解答】解：圓臺(tái)形的木桶的上、下底面的半徑分別為4和2,木桶的高為2遮，

如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐CO,則08=2,AO=4,BD=273,

：.AD=2,AB=>JAD2+BD2=4

由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知4c=248=8,

,該木桶的側(cè)面展開成的扇環(huán)的外圓的周長(zhǎng)為2n?AC=16n,

扇形所對(duì)外圓弧的長(zhǎng)為2TTAO=8TT,

,該木桶的側(cè)面展開成的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為如x翳=ir.

故選：A.

7.(5分)已知直線x+y-1=0與圓例：/+)2-2公-2)，=0交于48兩點(diǎn)，若乙4MB=4

NMAB,貝！Ja=()

A.±2B.±1C.2或-1D.1或-2

【解答［解：圓M：f+y?-2ax-2y=0可變?yōu)?x-a)2+(j-1)2=a2+l,

圓心M(a,1),圓心到直線x+y-1=0的距離d=二"=黑

Jl+1V2

'：MA=MB,：.ZMAB=ZMBA,又；N4MB=4NM4B,AZMAB=30°,

：.d=±R,/.y=—y/a2+1,解得〃2=1,.\a=±1.

2V22

故選：B.

8.(5分)已知函數(shù)f(%)=島^-x3+2,則不等式/(〃？)4/(〃?-2)<6的解集為()

A.(-1,2)B.(-oo,-1)u(2,+8)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(1,+8)

【解答】解：函數(shù)〃%)=卷一7+2,

由y=-尸和y=島在R上遞減，可得/(x)在R上遞減；

由/⑴-3=337=孱3'

可得/(-x)-3+fCx)可=+、+高一：=3=0,

即有/(x)4/(-X)=6,

222

則不等式/(w)4/5-2)<6即為f(川)+/-(w-2)<f(w)V(-^)

即為了(機(jī)-2</(-n/2),

由/(x)在R上遞減，可得機(jī)-2>-機(jī)2,解得加>1或機(jī)<-2,

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(5分)如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2020年12月至2021年12月的全國(guó)居民消費(fèi)

價(jià)格漲跌幅，其中同比二筆離轡XI。。％,環(huán)比=/產(chǎn)XI。。％.

去年同期數(shù)上期數(shù)

則下列說法正確的是()

A.2020年12月至2021年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比的極差為1.5%

B.2020年12月至2021年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比的中位數(shù)為0.9%

C.這13個(gè)月中，2021年6月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最低

D.2021年比2020年全國(guó)居民消費(fèi)平均價(jià)格增長(zhǎng)大于1.0%

【解答】解：對(duì)于A,2020年12月至2021年12月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比的最大值為

1.0%,最小值為-0.5%,

.?.2020年12月至2021年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比的極差為1.5%,故A正確；

對(duì)于B,2020年12月至2021年12月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比(單位：%)從小到大依

次為:

-0.3,-0.2,0.2,0.4,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.3,1.5,1.5,2.3,

中位數(shù)是0.9%,故8正確；

對(duì)于C,從環(huán)比看，從2021年3至6月，環(huán)比漲幅均為負(fù)值，

,全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格一直在下降，

.?.這13個(gè)月中，2021年6月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格最低，故C正確；

對(duì)于D,2021年比2020年全國(guó)居民消費(fèi)平均價(jià)格增長(zhǎng)：

11-1

—(-0.3-0.2+0.4+0.9+1.3+1.1+1.0+0.8+0.7+1.5+2.3+1.5)=44<1.0%,故。錯(cuò)誤.

1212

故選：ABC.

(多選)10.(5分)古代典籍《周易》中的“八卦”思想對(duì)我國(guó)建筑中有一定影響.如圖

是受“八卦”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形A8CQEFGH的中心，

A.筋7與&能構(gòu)成一組基底B.ODOF=0

C.OA+OC=V3OBD.AC-CD

【解答】解：連接5G,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,

所以AH〃CF,所以AH與CF是共線向量，所以/與c3不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤;

又/DOF=/X2TT=5，所以O(shè)￡)_LOF.所以亦?占'=(),8項(xiàng)正確;

由上過程可知后1尾，連結(jié)AC交08于點(diǎn)M,

在直角三角形04c中，M為4c的中點(diǎn)，

則&+OC=2OM,

又|向=^\AC\=^-\OA\=孝|麗，

所以&+左=夜而，C項(xiàng)錯(cuò)誤；

137r

又正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：-（8—2）X7T=一，

84

延長(zhǎng)。C,AB,相交于點(diǎn)N,則NCBN=N8CN=

所以NBNC=*,故A8_LC￡>,

所以AC?CD=（AB+BC）-CD=AB-CD+BC-CD=\BC\cos（it-詈）=與,。項(xiàng)正確.

故選：BD.

（多選）11.（5分）在菱形ABC3中，AB=\,NABC=120°,將△AB。沿對(duì)角線8。折

起，使點(diǎn)A至點(diǎn)P（尸在平面ABC。外）的位置，則（）

A.在折疊過程中，總有BOLPC

B.存在點(diǎn)尸，使得PC=2

37r

C.當(dāng)PC=1時(shí)，三棱錐P-88的外接球的表面積為3

D.當(dāng)三棱錐P-8。的體積最大時(shí)，PC=1

【解答】解：如圖所示，取PC的中點(diǎn)E,連接BE,DE,則BE_LPC,DELPC,

因?yàn)?Enz）E=E,BD,￡>Eu平面BOE,

所以PC_L平面BDE,又B￡>u平面BDE,

所以BOJ_PC,4項(xiàng)正確；

在菱形ABC。中，AB=],NA8C=120°,所以AC=百，

當(dāng)△48。沿對(duì)角線B力折起時(shí)，QVPCV痘,所以不存在點(diǎn)P,使得PC=2,B項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)PC=1時(shí)，將正四面體補(bǔ)成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，

三棱錐P-BCD的外接球就是該正方體的外接球,

因?yàn)檎襟w的各面的對(duì)角線長(zhǎng)為1.

所以正方體的棱長(zhǎng)為孝，

設(shè)外接球的半徑為R,則4R2=12+哈2=|,

所以三棱錐的外接球的表面積S=4兀/?2=竽，c項(xiàng)正確;

當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，平面平面BCD,

取8。的中點(diǎn)0,連接P。，OC,

易知P0J_平面BCD,則P010C,

又P0=。。==會(huì)

所以PC=J（空）2+（乎）2=辱D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

（多選）12.（5分）已知拋物線C：j?=2py（p>0）的準(zhǔn)線/的方程為y=-1,過C的焦

點(diǎn)廠的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，以A,8為切點(diǎn)分別作C的兩條切線，且兩切線交于

點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是（）

A.C的方程為/=2yB.NAMB=90°

C.M恒在/上D.|MF|2=H/q.|BF|

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可得：=1,...p=2,.?.拋物線C的方程為/=4y,故

選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)3：由題意可知直線A8的斜率存在，F(xiàn)（0,1）,

設(shè)AB的方程為y=fcr+l,A（xi,yi）,B（X2,”），

聯(lián)立方程｛；2一￡；1消去y得f-4日-4=0,所以XI+X2=4攵，x\xi=-4,

由y=得y'=%,?'?直線AM的斜率kAM=91,

111

，直線AM的方程為y-yi=尹1（x-用），即y—axj=，勺（x-月）①，

2x

同理直線AM的斜率kBM=2如，直線BM的方程為y—^x2=^x2（一》2）②，

.1

:,kAMkBM==-1，即

：.ZAMB=90°,故選項(xiàng)8正確，

對(duì)于選項(xiàng)C：由①②得（%2—xl）y=去％1%2（%2—%1），

?xiWx2,??y=~1，

將y=-1代入①②得x=也羅=2%,...點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2氏，-1）,

又；拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-1,

...點(diǎn)M恒在/上，故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)。：當(dāng)直線A8的斜率上不為0時(shí)，則/CMF=,=-指,

乙KK

:.kAB，kMF=-I,.'.ABA^MF,

當(dāng)直線AB的斜率A=0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,-1）,顯然凡

\MF\|BF|

在RtAABM中，由△AM尸與AMBF相似，得^~~

\AF\\MF\

：.\MF^=\AF]*\BF],故選項(xiàng)。正確,

故選：BCD.

y

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知雙曲線C：V不一/=1(7n>1)的右焦點(diǎn)到直線工+丫=0的距離為低，則

。的離心率為~~.

【解答】解：由雙曲線C:4五一丫？=1(機(jī)〉1)的。2=病一],廿=],；?。2=帆2,.?"

???雙曲線。的右焦點(diǎn)尸(加，0),尸到直線x+y=0的距離1=瞿^=VL

；?m=2,:.a=遮,，C的離心率為e=：=專=弓

故答案為：~

3

7T

14.(5分)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式/(x)=2sin「x(答案不唯一).

①f(x)的最大值為2；

②VxCR,/(2-x)=f(x)；

③f(x)是周期函數(shù).

【解答】解：由②知，f(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱；

由③知，/(x)是周期函數(shù)，又了(X)的最大值為2,

7T

故滿足條件的函數(shù)/(X)的解析式可以為/(x)-2sin-x.

71

故答案為：2sin-x(答案不唯-).

2

11

15.(5分)已知(x+?)(x-白5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-40,則展開式中的系數(shù)為76

X無(wú)X’

【解答】解:展開式的常數(shù)項(xiàng)為XXC江2(_33+與xClx3-(-i)2=-10+10,〃=-40,

解得m--3,

1IQ1

則展開式中含-J的項(xiàng)為XX年（一；）5-?x=-16x

1

所以-J的系數(shù)為-16，

%4

故答案為：-16.

16.（5分）已知實(shí)數(shù)mb,c滿足。+2022=加。"（其中〃>0）,則（〃+2022）儀?的最小值

為

,2

【解答】解：(t?+2022)bc=bec^bc=h2c^ecb=^c^ec(Z?>0),

設(shè)，(X)=番(x>0),/(x)=2xex—x2ex2x—x2

（方

所以/（x）在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,+oo）上單調(diào)遞減，且/（x）>0恒成立,

4

所以f（工）max=f（2）-—

設(shè)g（x）=xex,g'（X）=（X+1）",

所以g（外在（-8,-1）上單調(diào)遞減，在（-1,+8）上單調(diào)遞增,

1

所以g（X）min=g（-1）=-

故原式=f（6）?g（c）之―）=T，

當(dāng)且僅當(dāng)b=2且c=-1時(shí)取等號(hào).

故答案為：-■

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A+C

17.（10分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,sinB=sin-.

（1）求&

（2）若sinA=2sin8-sinC,△ABC面積為匚，求△ABC的周長(zhǎng).

4

4+C

【解答】解：（1）因?yàn)樵凇鰽BC中，sinB=sin^-,A+8+C=n,

一一n-BnBB

所以sinB=sin------=sin（———）=cos-,

2222

_BBB

月『以2sin-cos-=cos-,

222

因?yàn)锽e（0,n）,

Bn

所以一e（0,

22

_B

所以cos—HO,

2

B1

所以sin-=

22

~n

所以；=:，

26

所以5=

(2)因?yàn)閟inA=2sin5-sinC,

由正弦定理可得，a=2h-c,即〃+c=2b,①

V3

因?yàn)椤鰽BC面積為一，

4

1叵

所以一acsinB=丁，

24

所以ac=l,②

由①②可得，a2+c2=4h2-2,

K二I”Da?+c2—廬4b2-2—j1

所以c°sB=2ac=一2一=2'

解得b=\,

所以a+c=2,

所以a+b+c—3>

即△ABC的周長(zhǎng)為3.

18.(12分)受新冠肺炎疫情的影響，各地推出務(wù)工人員就地過年的鼓勵(lì)政策.某市隨機(jī)抽

選了100名男務(wù)工人員和100名女務(wù)工人員，調(diào)查他們是否有就地過年的意愿，結(jié)果如

表:

有就地過年的意愿無(wú)就地過年的意愿

男務(wù)工人員8020

女務(wù)工人員6040

(1)能否有99.9%的把握認(rèn)為務(wù)工人員就地過年的意愿與性別有關(guān)？

(2)若用頻率估計(jì)概率，從該市所有女務(wù)工人員中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)查，X表示

抽取的女務(wù)工人員無(wú)就地過年的意愿的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

2

附.y2=--------"(ad-阮)-------其中〃=a+》+c+d

用.*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'1n"十"十’十公

a=P(x22左)0.10.010.001

k2.7066.63510.828

2

【解答】解：⑴％2=2。黑隈筮花鬻）“9.524（10.828,（3分）

故沒有99.9%的把握認(rèn)為務(wù)工人員就地過年的意愿與性別有關(guān).（4分）

（2）由題意可知X?B（3,1）.（5分）

所以X的取值范圍是{0,1,2,3},（6分）

「。=。）=嗨。（1一款=條，

「3=1）=弓（|）】（1母=法，

「。=2）=耨鼾（1一凱=賽，

P（X=3）=喘4Ta一芻。=卷，（1°分）

所以X的分布列為

X0123

P2754368

125125125125

（11分）

所以E（X）=3x|J（12分）

19.（12分）如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi的底面為直角三角形，AAi=2AB=2BC=2,E,

F分別為AB，CC1的中點(diǎn).

（1）證明：EF〃平面ABiCi：

（2）求二面角4-B\C\-B的平面角的余弦值.

【解答】（1）證明：連接4B與AB1交于點(diǎn)M,

則M為ABi的中點(diǎn)，連接ME,C\M,

因?yàn)镋為AB的中點(diǎn).所以ME為△ABB1的中位線，

1

所以ME〃B8i,且=（2分）

1

又尸為CC1的中點(diǎn)，所以C|F〃BB1,且C1F=2BB「

則ME〃C1F,且ME=CiF,

所以四邊形EFGM為平行四邊形，（3分）

所以E/〃CM,（4分）

因?yàn)镋FC平面AB。，CiMu平面AB1C1,

故EF〃平面A81C1.（5分）

（2）解：由題意可知，AB1BC,BB\LAB,BBilBC,

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BBi所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則5(0,0,0),4(0,1,0),B\(0,0,2),Ci(1,0,2),

所以后=(0,1,0),ABr=(0,-1,2),B；C、=Q,0,0),(7分)

設(shè)平面AB\C\的法向量為蔡=（x,y,z）,

由左”=0,即「y+2z=0,

(茄BiCi=0,卜=0，

取y=2,則藍(lán)=(0,2,1),(9分)

易知所以平面BCC1B1的一個(gè)法向量為BA=（0,1,0）,（10分）

所以cos〈84,m）=春=（11分）

由圖形可知，二面角A-81。-B的平面角為銳角，

2>/5

故二面角A-B\C\-B的平面角的余弦值為《-.（12分）

20.（12分）已知。為數(shù)列｛a”｝的前w項(xiàng)和,“1=3,S”+i+l=4?！?

（1）求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

（2）從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和7k

①瓦

②也尸（一1盧（2*+1071+13>2軌-2

【解答】解：（1）ai=3,S〃+i+l=4a〃，

所以〃22時(shí)，S〃+1—4cin-19

Ctn+1=Sn+1-S〃=4。？-4?！?1,

轉(zhuǎn)換為Cl〃+1-2clii=2(dn-2cin-1),

2—=2("22),

an—2an—i

當(dāng)〃=2時(shí)，3+〃2+l=12,解得〃2=8；當(dāng)〃=3時(shí)，3+8+〃3+1=32,解得43=20,

。3-2a2=2(。2-2a\),

所以數(shù)列｛板-2〃〃」｝是從第二項(xiàng)〃2-2m=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹IJ,

所以即-2加-1=2"-1(G2),

可畔一穿H

所以數(shù)列｛愛｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

所以愛=2+g(〃-2)=竽

即有的=(〃+2)?2〃r(相22),

上式對(duì)〃=1也成立,

故(〃+2)?2〃-1

（2）若選擇①,

S〃+i+l=4a〃=(〃+2)?2"+i,

Q〃+2(n+4>24+1n+411

bn=n+1n,!nn+1

(Sn+1+l)an+1-(n+2)-2-(n+3)-2-(n+2)(n+3)-2"(n+2)-2-(n+3).2

111111

所以數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和丁“=小一正+元一而+…+

(n+2)-2n(n+3).2n+1

]

(zi+3>2n+l'

若選擇②.

(一l)n42n2+i0n+13>24n-2_(-I)n.(2n2+i()n+i3).24n算

②bn=n(-1)〃

an,an+l5+2)2(71+3)2.24-2

2n2+10n+13n11

--------------=(-1)\-------+(n+3)2b

(n+2)2(n+3)2(n+2)2

一,口11111111

可得Tn=~(—+—)+(一十一)-)+…+(-1)〃T+^1+

9161622552536(n+1)2(n+2)2

11

(-1)/W+(^1

=-1+(-1)

9(n+3)2

y2

21.(12分)已知A為橢圓C：—+9=1（心Q。）的下頂點(diǎn)，~及分別為C的左、

a1

右焦點(diǎn)，|AF1|+|AF2|=V3IF1F2I，且。的短軸長(zhǎng)為2魚.

（1）求。的方程;

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N為。上無(wú)軸同側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，兩條不重合的直線MR,NFT

關(guān)于直線x=-l對(duì)稱，直線MN與x軸交于點(diǎn)P,求△OMP的面積的最大值.

（2a—V3-2c

【解答】解：（1）根據(jù)題意可得｛2b=2四

la2=b24-c2

解得〃2=3,廿=2,c2=

x2y2

所以橢圓C的方程為77+?=1?

32

（2）設(shè)直線MN的斜率存在時(shí)，方程為>=丘+〃力

y=kx4-m

x2v2,得(2+3A?)7+6癡什3雨2-6=0,

IT+2=1

設(shè)M設(shè)],y\),N(工2,*),

所以△=36以加2-4(2+3出)(3w2-6)=-24(/M2-3^-12)>0,

-6km37n2-6

所以11+工2=-----7，犬1范=亍,

2+3《2+3《

因?yàn)閮蓷l不重合的直線MF