2023年高考數(shù)學(xué)第36講 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的深入理解

第36講對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的深入理解—遞歸思想的運(yùn)用

一、知識(shí)聚焦

通過把一般性問題逐步歸結(jié)為同類的已知的特殊問題，或從已知初始條件出發(fā)利用“遞

推關(guān)系”而推得一般結(jié)論的思想方法，我們稱之為遞歸思想方法，這里的“遞歸”是一種具

有確定方向和一定程序的變換，因而遞歸思想屬于對(duì)應(yīng)思想.

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)〃(〃eN*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法：其核心是遞

推，而遞推思想是遞歸思想的主要組成部分，因此，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解應(yīng)該從運(yùn)用遞歸思

想來深入思考.

數(shù)學(xué)歸納法證題由歸納奠基、歸納遞推(推理)、歸納斷言3個(gè)部分組成.教材上將這3個(gè)

部分劃分為兩步，歸納奠基為第一步，后兩部分歸結(jié)為第二步，這3個(gè)部分在證題中處于同

樣重要的地位，缺少其中任何一部分都將導(dǎo)致錯(cuò)誤.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)歸納法只能對(duì)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確與否加以論證，不能直接發(fā)現(xiàn)結(jié)論，因此,

將不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法并舉是一種探討數(shù)學(xué)問題的好方法，從而就有了“歸納一猜想

一證明"題型，它是一個(gè)完整的思維過程，“歸納”是“猜想”的前提，它體現(xiàn)了由“特殊”

到“一般”的轉(zhuǎn)化，為了增強(qiáng)“猜想”結(jié)論的可靠性，在“歸納”階段，一般應(yīng)多演算幾種

特殊情形，然后通過對(duì)特殊情形的分析去研究其一般規(guī)律，最后結(jié)論的正確性必須用數(shù)學(xué)歸

納法證明.在解題的整個(gè)過程中，遞歸思想體現(xiàn)得相當(dāng)充分.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1已知函數(shù)/(x)與函數(shù)y=Ja(x-l)(a>0)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

(1)在數(shù)列｛4,,｝中，q=l,當(dāng)”..2時(shí)，an>at.在數(shù)列他,｝中，

4=2,S.=4+3++b“.

若點(diǎn)用4,j在函數(shù)/(%)的圖像上，求a的值；

7C

⑵在⑴的條件下，過點(diǎn)匕作傾斜角為I的直線，若/“在y軸上的截距為

也+D，

求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

解題策略本例是一道以數(shù)列為載體的能力題，結(jié)合函數(shù)與解析幾何的一些知識(shí)，其

解題核心是“觀察、猜測(cè)、抽象、概括、證明”，這是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑.實(shí)際

上，攻克數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)一般都是在觀察歸納、猜測(cè)證明的過程中得以突破的.

.______r2

解：⑴函數(shù)/。)是丁=麻二可(a>0)的反函數(shù)，.?../-(x)=—+1(X.O).

q、q42

(〃￡N*)在函數(shù)/(力的圖像上，.?.」=2+l.

(nJna

2

令〃=1,得S]=幺+1,〃]=1,S]=4=2,則a=l.

a

o2(

(2)由(1)得a=l,j=三+l可化為①

nan

直線的方程為：y-1=x-a”.

n

ISI、

在y軸上截距為+1),=￡色,+1).

3n5

結(jié)合①式可得”=3d—3a“+2.②

由①式可知，當(dāng)自然數(shù).2時(shí),S“=〃4+n,S?_,=(〃一+n-l.

兩式作差得bn=〃片一(〃-1應(yīng)3+1,結(jié)合②式得

(〃-3)。；+34=(〃-1)“3+1(九.2,〃eN)③

在③式中，令”=2,結(jié)合q=l,可解得4=1或2,

又當(dāng)幾.2時(shí)，a“>4，:.%=2.

同理，在③式中，依次令〃=3,〃=4,可解得%=3,%=4,由此猜想。“=".

然后用數(shù)學(xué)歸納法證朋如下.

(i)當(dāng)“=1,2,3時(shí)，已證成立；

(ii)假設(shè)當(dāng)〃=&時(shí)命題成立，即以=左(4eN*,且左..3),當(dāng)“=k+1時(shí)，由

,女2一人+]

③式可得(％-2)片+|+3%]=3；+1,把4=%代入，解%i=------—

k-2

或%+i=k+1-

,c,k2-k+l%(左一1)+1八k2-k+l-?

由于左..3,則一———=:<°，；?4+i=――=一不符合題意，

k-22-kk-2

應(yīng)舍去，

故只有q+i=A+l,即當(dāng)〃=%+1時(shí)命題也成立.

綜上可知,數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=n.

變式訓(xùn)練在數(shù)列｛4｝中，4=1,當(dāng)〃..2時(shí)，a”,S”,S,—g成等比數(shù)列.

(1)求。2，。3，。4，并推出4的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.

V-13

核心例題2設(shè)J(x)=一斤令巧=耳,見=z，a“+2=/(4)+/,(%+1)(〃=1，2,),

證明：對(duì)任意正整數(shù)〃，有了(3X2"T)融2“/(3x22T).

解題策略本例給出的是二階遞推式，要證明的是雙向不等式，難度較高，首先應(yīng)當(dāng)

從遞推式出發(fā)，構(gòu)造數(shù)列｛&｝關(guān)于相鄰兩項(xiàng)大小的不等式，這是后續(xù)證明中放縮的基礎(chǔ)；

其次，當(dāng)直接證不等式比較困難時(shí)，轉(zhuǎn)化為更強(qiáng)的不等式加以證明反而變得簡(jiǎn)單，這也是運(yùn)

用致學(xué)歸納法證不等式的常用方法.

證明：先觀察數(shù)列｛%｝的單調(diào)性，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“對(duì)任意正整數(shù)〃,有/.

]3316

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，q=/<;=%,命題成立.當(dāng)〃=2時(shí)，a2=^<-=a3,命題成立.

(ii)假設(shè)當(dāng)”=女(女一2,攵eN)時(shí)命題成立，即a1<%,%<4+1,則當(dāng)〃=k+1時(shí),

Y1

由/(X)=—7=1——7在[0,+°。)上單調(diào)遞增，

X+lX+1

“4)，/(%)<，

%+1=f(%T)+/3)<《+2=/(%)+/(%+J，

.?.當(dāng)”=A+1時(shí)，結(jié)論成立.

由(i)和(ii)可得a“<a,w

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命II：“對(duì)任何正整數(shù)〃，有。2“-/(3乂2~)”

(i)當(dāng)“=1時(shí)，?2=|=/(3)=/(3X2°),命II成立；

(ii)假設(shè)當(dāng)〃=%/..2)時(shí)命題成立，即如../(3x2i),貝IJ〃=Z+1時(shí)，注意到

2*79v

2/(/(%))=—曰1==/(2x),

上+]2x+l

x+l

A(

就有%,=4八2>2/(?2,)..2/(/(3X2-))=/(3x2?)=/(3x2-'),

所以〃=左+1時(shí)命題成立.

由(i)和(ii)可知，對(duì)任何正整數(shù)〃，有a2,「J(3x2"T).

對(duì)于另一邊的不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明更一般的命題：“對(duì)任何正整數(shù)〃，有

%J(3X2"-2”

(i)當(dāng)〃=1時(shí)，?I=1=/(1)</(3X2-'),命題成立；

當(dāng)〃=2時(shí)，?2=|=/(3)=/(3X2°),命題成立.

(ii)假設(shè)n=攵(％..2且%eN)時(shí)命題成立，即取J(3x2k-2).

則當(dāng)〃=左+1時(shí)，有

%=磯=/(/)+fM<2/3),2/(/(3xA?))=/(3x2")=/(3x)

即〃二女+1時(shí)命題也成立.

由(i)和(ii)可知，對(duì)任何正整數(shù)〃，4,J(3X2"-2).

22

這個(gè)結(jié)論比要證明的結(jié)論a2n?/(3x2"-)更好.

???對(duì)任意正整數(shù)〃，有/(3X2"T)融2“/(3X22T).

變式訓(xùn)練已知遞增等差數(shù)列｛4｝滿足q=1,且成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(?V?>(1>

(2)若不等式1-；；；-1---1--一，、I對(duì)任意恒成立，

I2?Jl2?JI2a?)J2.+1

試猜想出實(shí)數(shù)機(jī)的最小值，并證明.

核心例題2如圖36-1所示，片（不必），6（私必），，，修（當(dāng)，片），是曲線

C：y2=gx（y..o）上的點(diǎn)，4（4,0），&（。2，°），，4（見，°），是X軸正半

軸上的點(diǎn)，

且，A!T4月，均為等腰直角三角形（4為坐標(biāo)原點(diǎn)）?

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)=---H-------------1----------+---------,集合B=｛4也也，,bn,｝,

4+1%+24+3%

A=｛x|x=log8/（r＞（））｝,若AB=0,求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

解題策略本例是點(diǎn)列問題，是數(shù)列學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，條件中含有以及

4-,?！暗戎T多因素.第⑴問求數(shù)列｛q,｝的通項(xiàng)公式，因此，需要找到x?,y?和4-，氏之間

的等量關(guān)系，從而將它們統(tǒng)一到數(shù)列｛《,｝上，盡管如此，由于條件與解題目標(biāo)之間關(guān)系比

較復(fù)雜，所以從特殊開始，即通過歸納一猜想一證明，找到一種解決問題的有效方法.第⑵

問，把（1）探求得到的結(jié)果代入并運(yùn)用裂項(xiàng)相消所得結(jié)果探究其單調(diào)性，求出切的取值范圍，

再由AB=0,求/的取值范圍.

解：（1）依題意，有升=3；%,y?=-.

由胃=；毛，得；""Tj,即（a“一a,i）2=a,i+a”.

由&=0可得q=1，4=3,q=6,猜汛!la“=

2

證明：(i)當(dāng)〃=1時(shí)，可求得4=1=，，命題成立；

(ii)假設(shè)當(dāng)〃=k+1時(shí)，命題成立，即有4=:?

則當(dāng)〃=%+1時(shí)，由歸納假設(shè)得

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(%+】一%)=%+。八］,及aM-="*"%+］

即(3卡+叫4M

(女+1)(k+2)k{k—1)

解得%+i=-----------(4+1=—鼠，<4，不合題意，舍去).

即當(dāng)〃=攵+1,命題成立.

由(i)和(ii)可知，對(duì)所有〃eN*,a“="(D.

(2)

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