濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)線性代數(shù)高數(shù)2 2函數(shù)極限

前面討論了數(shù)列xn=f(n)的極限,它是函數(shù)極限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然數(shù),且n趨于無窮大.

現(xiàn)在討論y=f(x)的極限,自變量x大致有兩種變化形式.(1)x,(2)x

x0(有限數(shù)).并且,x不是離散變化的,而是連續(xù)變化的.第二節(jié)函數(shù)的極限LimitsoffunctionsNewwordsAbsolutevalue絕對(duì)值Thegeometricsignificance幾何意義One-sidelimits單邊極限Rightlimit右極限Suchthat使得一、x

時(shí),f(x)的極限limitofafunctionforxtendingtoinfinity定義1.

設(shè)f(x)在(M,+

)內(nèi)有定義,也可記為f(x)

a,(x+)若

>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足|f(x)a|<

.則稱常數(shù)a為f(x)當(dāng)x+時(shí)的極限,記作(或(

))(或x)也可記為f(x)

a,(x))此時(shí)也稱當(dāng)x+(x–)時(shí),f(x)的極限存在.否則,稱它的極限不存在.若

>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)a|<

.若

>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xn

a|<

,注1.

將這個(gè)定義和數(shù)列極限定義相比較,就是將xn=f(n)換成了f(x).將“正整數(shù)N”換成“實(shí)數(shù)X>0”.但是,數(shù)列極限中n是離散變化的,而這里x是連續(xù)變化的.例1.

證明

其中0<a<1.證:

0<

<1,要使|ax0|=ax<

.看圖.y=ax1yx0

xxy只須若

>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)a|<

.定義2.

設(shè)f(x)在(,M)

(M,+)內(nèi)有定義.若

>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值滿足|f(x)

a|<

則稱a為

f(x)當(dāng)x

時(shí)的極限,由定義1,2可知記作直觀地, 表示當(dāng)自變量x無限增大時(shí),曲線

y=f(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)會(huì)無限接近于數(shù)a.從而曲線y=f(x)會(huì)越來越貼近直線y=a.即,當(dāng)x無限增大時(shí),曲線y=f(x)以直線y=a為漸近線.如圖axyoy=f(x)任作直線y=a

.(>0),都存在X>0.當(dāng)x>X時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖形夾在這兩直線之間.如圖axyoa+

a

Xy=f(x)直觀地,這個(gè)式子表示當(dāng)x<0且|x|無限增大時(shí),函數(shù)

y=f(x)圖象以y=a為漸近線.按定義,作直線y=a

.(>0),存在X>0.當(dāng)x<X時(shí),y=f(x)的圖形夾在兩直線y=a

之間.如圖axyoa+

a

Xy=f(x)按定義,作直線y=a

.(>0),存在X>0.當(dāng)|x|>X時(shí),y=f(x)的圖形夾在兩直線y=a

之間.如圖axyoa+

a

XX比如,由y=arctgx

的圖象xyoy=arctgx二、當(dāng)x

x0時(shí),f(x)的極限Limitofafunctionforxtendingtoafinitevalue若當(dāng)x

x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)a,則稱a是f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的極限,f(x)a可用|f(x)

a|<

刻劃,如何用精確的數(shù)學(xué)而x

x0則可用|x

x0|<

刻劃.語言刻劃這一事實(shí)?定義3.設(shè)f(x)在x0的某個(gè)去心鄰域?(x0)內(nèi)有定義,此時(shí)也稱當(dāng)x

a時(shí),f(x)的極限存在,若

>0,

>0,當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)滿足

|f(x)

a|<

,則稱常數(shù)a為f(x)

的當(dāng)x

x0時(shí)的極限,記作否則,稱當(dāng)x

a時(shí),f(x)的極限不存在.注1.

與數(shù)列極限定義比較:將“xn=f(n)”換成f(x),將“N”換成“

>0”,將“n>N”換成“0<|x

x0|<

”.若

>0,正數(shù)數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xn

a|<

,

>0,

>0,當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),|f(x)

a|<

,則記而現(xiàn)在x

x0,“0<|x

x0|<

”表示了這一意思.這是因?yàn)樵跀?shù)列極限中.n.而“n>N”

表示了n充分大這一意思.注2.

定義中“0<|x

x0|<

”.表示x

x0.例2.

設(shè)c為常數(shù),則例3.

x

x0總表示x無限接近x0,但x

x0這一意思.因此,f(x)在x0是否有定義與f(x)在x0是否有極限無關(guān).

>0,

>0,當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),|f(x)

a|<

,則記例4.

證明證:

>0,要使|f(x)–2|<

,只須|x–1|<

.(本例說明f(x)在x0無定義,但其極限可能存在)取

=

.則當(dāng)0<|x1|<

時(shí),有|f(x)–2|<

,故

>0,

>0,當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),有|f(x)

a|<

,看圖.yx012xxxyyy=f(x)x11證：

>0,|x3

1|=|(x

1)(x2+x+1)|=|x

1|

|x2+x+1|因x1,故不妨設(shè)0<|x1|<1,即0<x<2故|x2+x+1|=x2+x+1<4+2+1=7從而|x3

1|<7|x

1|.例5.考慮要使|x3

1|<

,

只須7|x1|<

,即|x1|<即可.取

=min

(,1),則當(dāng)0<|x

1|<

時(shí),(有|x

1|<1及|x

1|<)有 |x3

1|<

.例6.

證明證:

注意到不等式|sinx||x|

>0,要使|sinx–sinx0|<

,只須|x–x0|<

,取

=

.

>0,

>0,當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),有|f(x)

a|<

,(本例說明sinx和cosx在x0處的極限值就等于它在x0處的函數(shù)值。)證:

>0要使|lnx

lnx0|或, x0e-

<x<x0e-

即只須

x0(1

e-

)<x

x0<x0(e

1).取

=min{x0(1

e-

),x0(e

1

)},則當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),(有x

x0<

<x0(e

1),

x0(1

e-

)<

<x

x0)例7.有 |lnx

lnx0|<

.從本例可見,一般,

與

和x0有關(guān),對(duì)同一個(gè)

,當(dāng)x0不同時(shí),

可能不同。曲線y=f(x)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)會(huì)無限接近于a.即如圖axyoa+

a

x0

y=f(x)xx0+定義4：設(shè)f(x)在x0的右邊附近(左邊附近)有定義，若

>0,

>0.當(dāng)0<x–x0<

(或0<x0–x<

)時(shí)，有則稱a為f(x)當(dāng)x

x0的右極限(或左極限),記作左、右極限即，f(x)在點(diǎn)x0處的極限存在的充要條件是f(x)在x0的左、右極限存在，并且相等。定理1.

>0,

>0,當(dāng)0<|x

x0|<

時(shí),|f(x)

a|<

,則記若

>0,

>0.當(dāng)0<x–x0<

(或0<x0–x<

)時(shí)，有例8.

設(shè)f(x)=x, 當(dāng)x0時(shí),sinx, 當(dāng)x>0時(shí),解：由于當(dāng)x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)=x.由于當(dāng)x>0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)=sinx.f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn).對(duì)一個(gè)分段函數(shù)來說，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.例9.

設(shè)f(x)=x, 當(dāng)x0時(shí),cosx, 當(dāng)x>0時(shí),左、右極限存在,但不相等,解：以后,常用下列記號(hào)表示函數(shù)的左,右極限看圖x

0+cosxxyx

0ˉ1yy定理2.定理3.三、函數(shù)極限性質(zhì)推論1:推論2.

(1)若存在

>0,使當(dāng)0<|xx0|<

時(shí),有f(x)g(x).當(dāng)0<|xx0|<

時(shí),有f(x)g(x).(2)則存在

>0,證:(1)由于當(dāng)0<|xx0|<

時(shí),有f(x)g(x).所以,若記F(x)=f(x)g(x),則當(dāng)0<|xx0|<

時(shí),有F(x)=f(x)g(x)0.由推論1及第四節(jié)極限的運(yùn)算法則,有從而(2)自證當(dāng)x

時(shí)情形類似,自述,自證.定義5:若存在x0的某去心鄰域?(x0)，使得f(x)在?(x0)內(nèi)有界，則稱f(x)是x

xo時(shí)的有界量.若

>0，使得f(x)在(–,–X)

(X,+)內(nèi)有界,則稱f(x)是x

時(shí)的有界量.比如y=x2在定義域(–,+)內(nèi)是無界的,但在x=0的某個(gè)小鄰域內(nèi)是有界的.因此,y=x2是x0時(shí)的有界量.y=x20xy

–M0yx–

比如:y=sinx在(–,+)內(nèi)有界，是x

時(shí)的有界量.但定理4.定理4的逆命題不成立.yx1–1y=sinx0是該極限過程中的無窮小量.A為常數(shù).>0,

>0,當(dāng)0<|x–x0|<

時(shí),有|f(x)–A|<定理1.證：類似可證x

時(shí)情形.定義2：若

>0(無論多么大),

記作：

>0(或X>0),當(dāng)0<|x–xo|<

(或|x|>X)時(shí)，有|f(x)|>M,則稱f(x)是x

x0(或x)時(shí)的無窮大量.二、無窮大量若以“f(x)>M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到正無窮大量的定義.若以“f(x)<–M”代替定義中的“|f(x)|>M”,就得到負(fù)無窮大量的定義.分別記作：

>0,

>0(或X>0),當(dāng)0<|x–xo|<

(或|x|>X)，有|f(x)|>M,定理1.

若limf(x)=A,limg(x)=B存在,則(1)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)

limg(x)]=A

B(2)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)·limg(x)]=A·B(3)第三節(jié)極限運(yùn)算法則一、極限四則運(yùn)算法則證:(2)因limf(x)=A,limg(x)=B,均存在,則f(x)=A+

(x),g(x)=B+

(x).從而f(x)·g(x)=[A+

(x)]·[B+

(x)]=AB+[A

(x)+B

(x)+

(x)

(x)]得lim[f(x)·g(x)]=AB同理可證(1),(3).推論:

設(shè)limf(x)存在.C為常數(shù),n為自然數(shù).則(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)(2)lim[f(x)]n=[limf(x)]n例1.解:

由于=2–6=–4=2·23+22–4=16,例2.解:

由定理1及其推論,有例3.

更一般的,以后將有結(jié)論:若f(x)為初等函數(shù).且f(x)在點(diǎn)x0處有定義.則比如:例4.解:

將x=1代入分母,分母為0,不能用例3或定理1(3)的方法求極限.想辦法約去使分子分母都為零的因子x–1.有例5.解:

將x=0代入.分子,分母都為0.不能用定理1(3).想法約去零因子x.為此,有理化.例6.解:

這是有理函數(shù).當(dāng)x

時(shí)的極限問題.分子,分母的極限都為.不存在.不能用定理1(3).同除以分母的最高次冪x2.將本題改為x3=0x3=改為例7.

則總結(jié):

設(shè)f(x),g(x)為多項(xiàng)式.=例8.解:

這是兩個(gè)無窮大量之差的極限問題.無窮大量的和,差不一定是無窮大量.這類問題,稱為“”型.通分例9.解:

這是兩無窮大量之差的問題.即“”型.對(duì)無理函數(shù),可考慮有理化.解:

這是一分段函數(shù).分段點(diǎn)x=0.在分段點(diǎn)處極限要分左,右極限討論.分段函數(shù)=2=b故,當(dāng)b=2時(shí),f(0+0)=f(0–0)=2,例10.何值時(shí),問常數(shù)b為例11.

證:

先用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”證明(1)單調(diào)性.=xn–1故xn單調(diào)遞增.0n–1個(gè)an個(gè)a(2)有界性.故xn有界.0<xnn個(gè)an個(gè)an–1個(gè)a綜合(1),(2),知xn單調(diào),有界.由于n+1個(gè)a從而A2=a+A解出A.因xn>0,由保號(hào)性定理,A0從而即求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí),?？捎谩皳Q元法”簡(jiǎn)化運(yùn)算.二、復(fù)合函數(shù)的極限例12.解:

直觀地看.當(dāng)x1時(shí),lnx0,而當(dāng)lnx0時(shí),cos(lnx)cos0=1.或者,令u=lnx,當(dāng)x1時(shí),u0,代入這種方法稱為換元法.使用時(shí),將原式中所有x換寫成u的表達(dá)式.極限過程x

x0換成相應(yīng)的u的極限過程.定理2.

設(shè)y=f[

(x)]由y=f(u),u=

(x)復(fù)合而成.且在x0的某去心鄰域?(x0)內(nèi),

(x)u0證(略).例13.解:(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介紹的結(jié)論,有例14.解:代入,x0+定理1.

設(shè)在點(diǎn)x0的某去鄰域?(x0,

1)內(nèi),有F(x)f(x)G(x),則第四節(jié)函數(shù)極限存在定理一、夾逼定理證:

>0.當(dāng)0<|x–x0|<

2時(shí),有|F(x)–A|<

且|G(x)–A|<

.從而,

2>0.故A–

<F(x),G(x)<A+

即|f(x)–A|<

.注:

定理對(duì)x

的情形也成立.定理2.

其中a可為有限數(shù)，也可為。證：只就a為有限數(shù)的情形證明.必要性：設(shè)，并任取數(shù)列xn

x0(xn

x0,xnD(f),n+)。(要證

0，N>0,當(dāng)n>N時(shí)，有|f(xn)

a|<

)二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系的充要條件是任何以x0為極限的數(shù)列xn(xn

x0,xnD(f)),有由于則

0,

0,當(dāng)0x

x0

時(shí),有f(x)

a

.由于xn

x0(n+).當(dāng)n

N時(shí),有0|xn

x0|

(xn

x0).從而，對(duì)

0,N0,當(dāng)n

N時(shí),有故所以，對(duì)上述

0,N0,

f(xn)

a

充分性：用反證法.若對(duì)任何數(shù)列xn

x0(xn

x0),有但(注意，)就是“

00,對(duì)

0,存在x'D(f),雖然0x'

x0

,但f(x')

a

.”對(duì)上述

00,取

依次等于1,……可設(shè)相應(yīng)的x1,x2,…,xn,…,滿足0

x1

x01,但f(x1)

a

00

x2

x0

,但f(x2)

a

0……0

xn

x0

,但f(xn)

a

0……左邊一列說明xn

x0(n+,xn

x0),此與條件矛盾.故充分性成立.右邊一列說明f(xn)不以a為極限,例1.

證明不存在.證：只須證可取兩個(gè)數(shù)列xn0,的極限不相等即可.如圖,若當(dāng)x

x0時(shí),f(x)

a.x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)xnf(xn)0xx0ay=f(x)y顯然,當(dāng)xn

x0時(shí),f(xn)

a.反過來,若對(duì)任意的數(shù)列xn,xn

x0(xn

x0),有f

(xn)

a,則f(x)

a(x

x0).注:1.若對(duì)某個(gè)數(shù)列xn

x0(xn

x0),有f

(xn)

a,不能得出f(x)

a(x

x0)的結(jié)論.考慮x=0處的極限.2.該定理對(duì)x

也成立.定理3.的充要條件是

0,

0,當(dāng)x1,x2D(f)且0x1

x0

,0x2

x0

時(shí),有f(x1)

f(x2)

.證：略x

時(shí)的柯西收斂準(zhǔn)則可依照定理3給出.三、柯西收斂準(zhǔn)則證:(1)先證110xyAx