2023年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

2023年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)xeR,貝IJ—是‘々2+》一2>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.以下能夠成為某個(gè)隨機(jī)變量分布的是（）

O

A.1

123

111

C.--

2-48

3.2023年，我市仍試行“3+3”的普通高考新模式，即除語文、數(shù)學(xué)、外語3門必選科目

外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門作為選考科目.為了幫

助學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個(gè)學(xué)生的六門科目綜合成績(jī)按比例均縮放成5分制，繪制成

雷達(dá)圖.甲同學(xué)的成績(jī)雷達(dá)圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（）

物理

甲同學(xué)成績(jī)年級(jí)平均分

A.甲的化學(xué)成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多

B.甲有2個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分

C.甲的成績(jī)最好的前兩個(gè)科目是化學(xué)和地理

D.對(duì)甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較理想的一種選科結(jié)果

4.己知w>0,函數(shù)/'（x）=3s譏（wx+[）-2在區(qū)間g,兀]上單調(diào)遞減，則w的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（0,2]C.[i|]D.[1,

二、填空題(本大題共12小題，共54.0分)

5.已知集合4=(1,3),集合B=(2,4),則4nB.

6.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)4(一2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,則|z+l|=.

7.函數(shù)y=lg(l+x)-lg(x—1)的定義域是.

8.等差數(shù)列｛an｝的前9項(xiàng)和為18,第9項(xiàng)為18,則｛每｝的通項(xiàng)公式為.

9.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,則a+b的最小值為_.

10.二項(xiàng)展開式(2%-》6的常數(shù)項(xiàng)的值為.

11.有大小相同的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各3個(gè)，且每種顏色的3個(gè)小球上分別標(biāo)注號(hào)碼

1、2、3,從中任取3個(gè)球，則取出的3個(gè)球顏色齊全但號(hào)碼不全的概率是.

12.已知X服從正態(tài)分布N(2,or2),且P(X>3)=0.1,Ki]P(l<X<2)=.

13.中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜在扇面上寫字作畫.如圖，是書畫家唐寅

(1470-1523)的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為cm2.

14.已知直線L丫=2%一10與雙曲線右一，=19>0方>0)的一條漸近線平行，且經(jīng)過

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

15.已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)(18,24),(13,34),(10,38),(一1,m)的回歸方程為y=-2%+59.5,

則該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)「=(精確到0.001).

16.已知定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/(I-x)+/(I+x)=2,當(dāng)xG[0,1],/(x)=2x—

x2,若/'(x)2x+b對(duì)一切x6R恒成立，則實(shí)數(shù)b的最大值為.

三、解答題(本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題14.0分)

已知函數(shù)/'(x)=2y/~^sinxsin(^+x)-2cosxsin(^-x)+1.

(1)求函數(shù)/(無)的最值；

(2)設(shè)AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若fQ4)=2,b=2,且2sinB+sinC=

CsinA，求△ABC的面積.

18.(本小題14.0分)

如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。沿對(duì)角線BD折蠡，使得平面4BD1平面CBD,AE_L平面力BD,

且4E=

(1)求證：直線EC與平面ABO沒有公共點(diǎn);

(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.

19.(本小題14.0分)

某農(nóng)科所為了驗(yàn)證蔬菜植株感染紅葉螭與植株對(duì)枯萎病有抗性之間是否存在關(guān)聯(lián)，隨機(jī)抽取

88棵植株，獲得如下觀察數(shù)據(jù)：33棵植株感染紅葉蛾，其中19株無枯萎病(即對(duì)枯萎病有抗

性)，14株有枯萎?。?5棵植株未感染紅葉蛾，其中28株無枯萎病，27株有枯萎病.

(1)以植株“是否感染紅葉螭”和“對(duì)枯萎病是否有抗性”為分類變量，根據(jù)上述數(shù)據(jù)制作一

張列聯(lián)表；

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，是否有95%的把握認(rèn)為“植株感染紅葉蛾”和“植株對(duì)枯萎病有抗性”相

關(guān)？說明理由.

n(ad-bc)2

附：X2P(Z2>3.841)x0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

20.(本小題18.0分)

已知橢圓［+1=1的左右焦點(diǎn)為Fi、F2,過M(>n,0)(M不過橢圓的頂點(diǎn)和中心)且斜率為k直

線1交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,且而=4而，NQ-/zMQ.

(1)若直線，過點(diǎn)尸2，求△國「(?的周長(zhǎng)；

(2)若直線1過點(diǎn)?2，求線段PQ的中點(diǎn)R的軌跡方程;

(3)求證：2+〃為定值，并求出此定值.

21.(本小題18.0分)

己知函數(shù)/'(x)=Inx—mx+m(meR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)<0在xe(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)設(shè)x>0,求證：(1+；尸<6<(1+；尸+1.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ).

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：由“|x—2|<1"得1cx<3,

由/+x—2>0得x>1或x<—2,

所以“|x-2|<1"是"％2+工一2>0”的充分不必要條件，

故選A.

2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,P(X=0)=P(X=1)=1,不滿足P(X=0)+P(X=1)=1,不符合題意；

對(duì)于8,P(X=-l)+P(X=0)+P(X=1)=1,每個(gè)變量的概率都大于0小于1,符合題意；

對(duì)于C,P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,不符合題意；

對(duì)于0,P(X=1)=-0.5<0,不符合題意.

故選:B.

根據(jù)題意，由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)是否符合題意，即可得答案.

本題考查隨機(jī)變量的分布列，注意分布列的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：對(duì)于4根據(jù)雷達(dá)圖，可知物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲的政治、歷史兩個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分，故B正確；

對(duì)于C,甲的成績(jī)最好的前兩個(gè)科目是化學(xué)和地理，故C正確；

對(duì)于D,對(duì)甲而言，物理成績(jī)比年級(jí)平均分高，歷史成績(jī)比年級(jí)平均分低，而化學(xué)、生物、地理、

政治中優(yōu)勢(shì)最明顯的兩科為化學(xué)和地理，

故物理、化學(xué)、地理的成績(jī)是比較理想的一種選科結(jié)果，即。正確.

故選：A.

根據(jù)雷達(dá)圖，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可選出答案.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)知識(shí)，涉及到雷達(dá)圖的識(shí)別及應(yīng)用，考查學(xué)生識(shí)圖能力、數(shù)據(jù)分析能力，屬

于基礎(chǔ)題.

4.【答案】。

【解析［解：由+wx+岸2%+等,k6Z,得西+西+畀，keZ,

242w4ww4w

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［碼+9,西+當(dāng),k6Z,

Lw4ww4w」

令k=0,則函數(shù)/(x)其中一個(gè)的單調(diào)遞減區(qū)間為：［言,篇］,

函數(shù)f(x)在區(qū)間由網(wǎng)內(nèi)單調(diào)遞減，

r

l>兀

57一T

滿

足<-得廠國，所以w的取值范圍是住

4W工<

)九

-一

l2

4W

故選

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系

進(jìn)行求解即可.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】(2,3)

【解析】解：因?yàn)榧螦=(1,3),集合8=(2,4),

則4nB=(2,3).

故答案為：(2,3).

由已知結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解.

本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】＜7

【解析】解：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)2(-2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,則|z+l|=|-2+i+l|=|-l+i|=

J(-1)2+/=口

故答案為：y/~2.

求出復(fù)數(shù)z+1,然后求解復(fù)數(shù)的模.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.

7.【答案】（1,+8）

【解析】解：由題意得ci;7二,

解得x>L

故答案為：（1,+8）

根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時(shí)應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目.

8.【答案】an=4n-18

9x8

9%+.d=18,解得e]=-14,

{ar+8d=18Id=4

故冊(cè)=—14+4（n-1）=4n—18,

故答案為：an=4n-18.

9x8

解之即可.

{9^+—d=18；

a1+8d=18

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】2\1~2

【解析】解：因?yàn)閍b=a—b+3,解得：/?=喑=1+=，

Q+1a+i

則a+b=a+ld——?>2V2>

a+1

當(dāng)且僅當(dāng)a=V"攵—1，b=/2+1時(shí)取等號(hào).

故答案為：2口.

利用等式ab=a-b+3求解b,代入a+b計(jì)算，結(jié)合基本不等式，即可求得a+b的最小值.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】-160

【解析】解：?：(2X—；)6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為4+1=Cr?(2x)6f(_ar=盤,

26-r(-1)rx6-2r(

令6-2r=0>求得r=3>

則展開式的常數(shù)項(xiàng)等于叱23(_I)3=-160,

故答案為：—160.

先求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式7；+1，然后由6-2r=0,求出r,再求出常數(shù)項(xiàng)的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】j

4

【解析】解：反面法：取出的3個(gè)球顏色齊全但號(hào)碼齊全的情況為6種，

取出的3個(gè)球顏色齊全但號(hào)碼不全的概率是P=嗎上=p

1

4-

反面法：取出的3個(gè)球顏色齊全但號(hào)碼齊全的情況為6種，取出的3個(gè)球顏色齊全但號(hào)碼不全的概

率.

本題考查概率的運(yùn)算，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),

是基礎(chǔ)題.

12.【答案】0.4

【解析】解：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,O2),

.?.曲線關(guān)于X=2對(duì)稱，

P(1<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.4.

故答案為:0.4.

隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2/2),得到曲線關(guān)于X=2對(duì)稱，根據(jù)曲線的對(duì)稱性得到P(1<X<

2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3),即可得到結(jié)果.

本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】704

【解析】解：如圖，設(shè)乙4。8=0,OA=OB=r,

=rd

由題意可得:

=(r+16)。'

解得：r=g,

所以，S扇面=S扇形OCD-S扇的AB=IX64x(y4-16)-ix

48

24Xy=704cmo2.

故答案為：704.

24=rd

設(shè)乙4OB=9,OA=OB=r,由題意可得:解得r，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式

,64=(r+16)。'

即可求解.

本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查扇形的面積，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】［一（=1

【解析】解：雙曲線盤一\=1（。>0,6>0）的漸近線方程為'=±如，

由y=2x—10,取y=0,得久=5,

???直線2：'=2尤一10與雙曲線W一\=19>03>0）的一條漸近線平行，且經(jīng)過雙曲線的一個(gè)

焦點(diǎn),

-=2a=y/~522

a

,=2口，二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為言—1=1?

C=5/

。24-fa2=C2{c=5

故答案為：

由題意可得關(guān)于a，b,c的方程組，求解a與b的值，則答案可求.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15.【答案】-0.998

—1—i

【解析】解：由條件可得,x="x(18+13+10-1)=10,y=ax(24+34+38+m)=96+巾,

（￡分一定在回歸方程y=-2x+59.5上，代入解得m=62,

故y=？

2

=1192,Sf=1Xj=594,￡f=i%2=7O20,

r=葭】芋;由2,-0.998

J(第聞-4丁乂第］*_石2

故答案為：—0.998.

一組成對(duì)數(shù)據(jù)的平均值G3)一定在回歸方程上，可求得zn,再利用相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式算出即

可.

本題考查相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】一:

【解析】解:因?yàn)閒(l+x)+〃l-x)=2,

所以f(x)的圖象關(guān)于(1,1)中心對(duì)稱,

當(dāng)xe［—1,0］時(shí)，/(x)=—/(—x)=x2+2x,

故/(X)的圖象如圖所示：

結(jié)合圖象，可知只需當(dāng)xe時(shí)，f(x)=/+2》2》+8即可，

即bW(x+")2_/,故

所以b的最大值為一；.

4

故答案為：—

4

根據(jù)題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合可知只需當(dāng)xe［-1,0］時(shí)，/(無)=X2+2%2％+8即可，然

后求出實(shí)數(shù)b的最大值.

本題考查了函數(shù)的奇偶性和不等式的恒成立問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?"(X)=Zl5sinxsinG+x)-2cosxs〃G-x)+1

=2>J~3sinxcosx—2cos2x4-1=\T~3sin2x—cos2x

=2sin(2x—1),

所以/(%)的最大值為2,最小值為-2.

(2)結(jié)合(1)可知f(A)=2s譏(2/一看)=2,所以sin(2A=1.

因?yàn)?6所以24—6(―

ooo

^riti2cAA--7T=-7T,A=~7.T

OZ3

由余弦定理得cosA=="七包=1,

2bc4c2

化簡(jiǎn)得層=c2-2c4-4①.

又2sinB+sinC=yT~7sinA^

由正弦定理可得2b+c=/7a，即4+c=「a②,

結(jié)合①②得a=「,c=3或&=亨,c=|.

當(dāng)c=3時(shí)，SA.BC=bcsinA=3'：

當(dāng)c=|時(shí)，SMBC=\bcsinA=?.

綜上，△ABC的面積為厚或空.

23

【解析】(1)把/(X)化為“一角一函數(shù)”的形式：先用誘導(dǎo)公式把角化為X,再用二倍角公式把二

次項(xiàng)化為一次項(xiàng)，同時(shí)把角化為2X,最后用輔助角公式把函數(shù)名化為正弦，即可求出函數(shù)的最值；

(2)先求出角4,由余弦定理得到關(guān)于a,c的方程，再由正弦定理把已知的方程化簡(jiǎn)為含Q,c的方

程，聯(lián)立方程組即可解出a,c的值，再代入三角形的面積公式即可.

本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)?，取DB中點(diǎn)。，連接40,C0.

■：^ABD,△。。8都是以。8為斜邊的解三角形，二2。，。8,

CO1DB,

又平面4BD_L平面CBC,平面4BDn平面CBD=DB,???C。J_面ZBD,A。_L平面CBD.

■.■AE，平面ABD,AE//CO,AE=CO=V-2-四邊形40CE為平行四邊形，

:.AO]ICE,CEC面ADB,40u面ADB,

CE〃面ADB.

；.直線EC與平面ZBD沒有公共點(diǎn)；

(2)由(1)可得EC1面CDB,

22

在ABDE中,BE=DE=VAE+AB=<6-BD=2「，二SABDE=：BD-E0=2<7.

V&C-BDE~V&E-BDC，：,3x2\/~2-d=--2-V~2,d=1.

.??點(diǎn)C到平面BED的距離為1.

【解析】(1)取DB中點(diǎn)。，連接4。，C。.可證明四邊形40CE為平行四邊形，可得CE〃面40B.即直

線EC與平面4BD沒有公共點(diǎn)；

(2)VAC-8°E=〃E-BDC，7x2yl~2-d=1-2-可得點(diǎn)C到平面BED的距離?

本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能

力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)

19.【答案】解:(1)見下表:

感奧紅葉螭未感染紅葉螭總計(jì)

對(duì)枯萎病有抗性192847

對(duì)枯萎病無抗性142741

總計(jì)335588

(2)①提出原假設(shè)為：植株感染紅葉蝌與植株對(duì)枯萎病有抗性無關(guān)，

②確定顯著性水平a=0.05,

2

③計(jì)算22的值.將列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入戶的計(jì)算公式得了2=88x(19xj7-28xl4)°0368，

33x55x47x41

④統(tǒng)計(jì)決斷：由P(7223.841)a0.05,而0.368<3.841,小概率事件沒有發(fā)生，故不能否定原

假設(shè)，

因此，植株感染紅葉蛾與植株對(duì)枯萎病有抗性無關(guān).

【解析】(1)數(shù)據(jù)分析填寫列聯(lián)表；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，計(jì)算卡方，與3.841比較后得到答案.

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.

20.【答案】解(1)由題意橢圓[+4=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4.

42

&PQ的周長(zhǎng)為|F】P|+\PQ\+IBQI

=1尸/|+|尸2「1+1尸2<21+1尸1(21

=4+4=8.

(2)由題意直線匕y=k(x-。).

由得(1+2k2)x2一4V_2/C2X+&2-4=0,

由題意△>0恒成立.

設(shè)P(X21)，Q(x2,y2),R(x,y),

4D必

則X]+x

21+2必'

xi+x2>T2k2,2'廠求'f

???x=\2=------,yk(------r-V2)=-

2l+2k2T'1+2/1+2必

2吃必

X=7"

即《1+2/L,(k為參數(shù)).

V2k

丫二一,

消去k得點(diǎn)R的軌跡方程為/+2y2一—X=0(%H。).

證明：(3)由沛=a9，得(%1，丫1-VN)=4(%1—血，為)，

???A=-"1一?同理〃=-".

1

Xi~m)H「x2—m

由題意直線/的方程為y=k(x+m),

代入3+y=1得：(1+2/c2)x2-4mk2x+2k2m2-4=0,

由題意△=(—4mk2)2—4((14-2k2)(2k2m2—4)

=8(4/c2+2-fc2m2)>0.

227

由韋達(dá)定理得的+血=——%1%2=——-2~，

liZrvJ.TZ/V

Xi%2

??"+〃=------------1------------

x1-mx2—m

11

=2+m(------------1------------)

—mx2—m

x1+x2—2m

=2+m----------------；-----------；-------不

%1%2—皿％1+%2)+加

2m

2+心^_1±2^--------------

2km2-4_m._4km^+m2

l+2kz1+2kz

—2m2

24--------------------------------------------------

2k2m2-4—4k27n2+m2(l+2/c2)

—2m28

24_________=_______

=—4+m24—m2

綜上可知;l+〃為定值屋%.

【解析】本題考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，考查兩數(shù)和為定值

的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.

(1)根據(jù)橢圓的定義可得△&PQ的周長(zhǎng)，

(2)由題意直線［；y=k(x-C),根據(jù)韋達(dá)定理，和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消去參數(shù)即可求出線段PQ的

中點(diǎn)R的軌跡方程；

(3)根據(jù)向量的運(yùn)算可得4+〃=鼻+匕，再題意直線［的方程為y=k(x+m),代入=+4=

1,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合己知條件能證明

21.【答案】解：(1)/(?的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=A-m,

當(dāng)mW0時(shí)，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)m>0時(shí)，在區(qū)