2023年上海市奉賢區(qū)致遠重點中學高考數學模擬試卷（5月份）

2023年上海市奉賢區(qū)致遠重點中學高考數學模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設xeR,貝IJ—是‘々2+》一2>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.以下能夠成為某個隨機變量分布的是（）

O

A.1

123

111

C.--

2-48

3.2023年，我市仍試行“3+3”的普通高考新模式，即除語文、數學、外語3門必選科目

外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目.為了幫

助學生合理選科，某中學將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制，繪制成

雷達圖.甲同學的成績雷達圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（）

物理

甲同學成績年級平均分

A.甲的化學成績領先年級平均分最多

B.甲有2個科目的成績低于年級平均分

C.甲的成績最好的前兩個科目是化學和地理

D.對甲而言，物理、化學、地理是比較理想的一種選科結果

4.己知w>0,函數/'（x）=3s譏（wx+[）-2在區(qū)間g,兀]上單調遞減，則w的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（0,2]C.[i|]D.[1,

二、填空題(本大題共12小題，共54.0分)

5.已知集合4=(1,3),集合B=(2,4),則4nB.

6.在復平面內，點4(一2,1)對應的復數z,則|z+l|=.

7.函數y=lg(l+x)-lg(x—1)的定義域是.

8.等差數列｛an｝的前9項和為18,第9項為18,則｛每｝的通項公式為.

9.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,則a+b的最小值為_.

10.二項展開式(2%-》6的常數項的值為.

11.有大小相同的紅、黃、藍三種顏色的小球各3個，且每種顏色的3個小球上分別標注號碼

1、2、3,從中任取3個球，則取出的3個球顏色齊全但號碼不全的概率是.

12.已知X服從正態(tài)分布N(2,or2),且P(X>3)=0.1,Ki]P(l<X<2)=.

13.中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫.如圖，是書畫家唐寅

(1470-1523)的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為cm2.

14.已知直線L丫=2%一10與雙曲線右一，=19>0方>0)的一條漸近線平行，且經過

雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為.

15.已知一組成對數據(18,24),(13,34),(10,38),(一1,m)的回歸方程為y=-2%+59.5,

則該組數據的相關系數「=(精確到0.001).

16.已知定義在R上的奇函數/(X)滿足/(I-x)+/(I+x)=2,當xG[0,1],/(x)=2x—

x2,若/'(x)2x+b對一切x6R恒成立，則實數b的最大值為.

三、解答題(本大題共5小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題14.0分)

已知函數/'(x)=2y/~^sinxsin(^+x)-2cosxsin(^-x)+1.

(1)求函數/(無)的最值；

(2)設AABC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,若fQ4)=2,b=2,且2sinB+sinC=

CsinA，求△ABC的面積.

18.(本小題14.0分)

如圖，將邊長為2的正方形ABC。沿對角線BD折蠡，使得平面4BD1平面CBD,AE_L平面力BD,

且4E=

(1)求證：直線EC與平面ABO沒有公共點;

(2)求點C到平面BED的距離.

19.(本小題14.0分)

某農科所為了驗證蔬菜植株感染紅葉螭與植株對枯萎病有抗性之間是否存在關聯(lián)，隨機抽取

88棵植株，獲得如下觀察數據：33棵植株感染紅葉蛾，其中19株無枯萎病(即對枯萎病有抗

性)，14株有枯萎病；55棵植株未感染紅葉蛾，其中28株無枯萎病，27株有枯萎病.

(1)以植株“是否感染紅葉螭”和“對枯萎病是否有抗性”為分類變量，根據上述數據制作一

張列聯(lián)表；

(2)根據上述數據，是否有95%的把握認為“植株感染紅葉蛾”和“植株對枯萎病有抗性”相

關？說明理由.

n(ad-bc)2

附：X2P(Z2>3.841)x0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

20.(本小題18.0分)

已知橢圓［+1=1的左右焦點為Fi、F2,過M(>n,0)(M不過橢圓的頂點和中心)且斜率為k直

線1交橢圓于P、Q兩點，與y軸交于點N,且而=4而，NQ-/zMQ.

(1)若直線，過點尸2，求△國「(?的周長；

(2)若直線1過點?2，求線段PQ的中點R的軌跡方程;

(3)求證：2+〃為定值，并求出此定值.

21.(本小題18.0分)

己知函數/'(x)=Inx—mx+m(meR).

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若/(%)<0在xe(0,+8)上恒成立，求實數m的取值范圍;

(3)設x>0,求證：(1+；尸<6<(1+；尸+1.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎.

根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】

解：由“|x—2|<1"得1cx<3,

由/+x—2>0得x>1或x<—2,

所以“|x-2|<1"是"％2+工一2>0”的充分不必要條件，

故選A.

2.【答案】B

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于A,P(X=0)=P(X=1)=1,不滿足P(X=0)+P(X=1)=1,不符合題意；

對于8,P(X=-l)+P(X=0)+P(X=1)=1,每個變量的概率都大于0小于1,符合題意；

對于C,P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,不符合題意；

對于0,P(X=1)=-0.5<0,不符合題意.

故選:B.

根據題意，由隨機變量分布列的性質依次分析選項是否符合題意，即可得答案.

本題考查隨機變量的分布列，注意分布列的特點，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：對于4根據雷達圖，可知物理成績領先年級平均分最多，故A錯誤；

對于B,甲的政治、歷史兩個科目的成績低于年級平均分，故B正確；

對于C,甲的成績最好的前兩個科目是化學和地理，故C正確；

對于D,對甲而言，物理成績比年級平均分高，歷史成績比年級平均分低，而化學、生物、地理、

政治中優(yōu)勢最明顯的兩科為化學和地理，

故物理、化學、地理的成績是比較理想的一種選科結果，即。正確.

故選：A.

根據雷達圖，對四個選項逐個分析，可選出答案.

本題主要考查了統(tǒng)計知識，涉及到雷達圖的識別及應用，考查學生識圖能力、數據分析能力，屬

于基礎題.

4.【答案】。

【解析［解：由+wx+岸2%+等,k6Z,得西+西+畀，keZ,

242w4ww4w

即函數的單調遞減區(qū)間為［碼+9,西+當,k6Z,

Lw4ww4w」

令k=0,則函數/(x)其中一個的單調遞減區(qū)間為：［言,篇］,

函數f(x)在區(qū)間由網內單調遞減，

r

l>兀

57一T

滿

足<-得廠國，所以w的取值范圍是住

4W工<

)九

-一

l2

4W

故選

根據正弦函數的單調性求出函數“X)的單調遞減區(qū)間，然后根據條件給出的區(qū)間建立不等式關系

進行求解即可.

本題主要考查正弦函數的單調性，考查運算求解能力，屬于基礎題.

5.【答案】(2,3)

【解析】解：因為集合A=(1,3),集合8=(2,4),

則4nB=(2,3).

故答案為：(2,3).

由已知結合集合的交集運算即可求解.

本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.

6.【答案】＜7

【解析】解：在復平面內，點2(-2,1)對應的復數z,則|z+l|=|-2+i+l|=|-l+i|=

J(-1)2+/=口

故答案為：y/~2.

求出復數z+1,然后求解復數的模.

本題考查復數的代數形式混合運算，復數的模的求法，考查計算能力.

7.【答案】（1,+8）

【解析】解：由題意得ci;7二,

解得x>L

故答案為：（1,+8）

根據函數的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

本題考查了求函數定義域的問題，解題時應求出使函數有意義的自變量的取值范圍，是基礎題目.

8.【答案】an=4n-18

9x8

9%+.d=18,解得e]=-14,

{ar+8d=18Id=4

故冊=—14+4（n-1）=4n—18,

故答案為：an=4n-18.

9x8

解之即可.

{9^+—d=18；

a1+8d=18

本題考查等差數列的通項公式及其應用，考查方程思想與運算求解能力，屬于基礎題.

9.【答案】2\1~2

【解析】解：因為ab=a—b+3,解得：/?=喑=1+=，

Q+1a+i

則a+b=a+ld——?>2V2>

a+1

當且僅當a=V"攵—1，b=/2+1時取等號.

故答案為：2口.

利用等式ab=a-b+3求解b,代入a+b計算，結合基本不等式，即可求得a+b的最小值.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

10.【答案】-160

【解析】解：?：(2X—；)6的二項展開式的通項公式為4+1=Cr?(2x)6f(_ar=盤,

26-r(-1)rx6-2r(

令6-2r=0>求得r=3>

則展開式的常數項等于叱23(_I)3=-160,

故答案為：—160.

先求出二項展開式的通項公式7；+1，然后由6-2r=0,求出r,再求出常數項的值.

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎題.

11.【答案】j

4

【解析】解：反面法：取出的3個球顏色齊全但號碼齊全的情況為6種，

取出的3個球顏色齊全但號碼不全的概率是P=嗎上=p

1

4-

反面法：取出的3個球顏色齊全但號碼齊全的情況為6種，取出的3個球顏色齊全但號碼不全的概

率.

本題考查概率的運算，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力等數學核心素養(yǎng),

是基礎題.

12.【答案】0.4

【解析】解：隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,O2),

.?.曲線關于X=2對稱，

P(1<X<2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3)=0.4.

故答案為:0.4.

隨機變量X服從正態(tài)分布N(2/2),得到曲線關于X=2對稱，根據曲線的對稱性得到P(1<X<

2)=P(2<X<3)=0.5-P(X>3),即可得到結果.

本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，屬于基礎題.

13.【答案】704

【解析】解：如圖，設乙4。8=0,OA=OB=r,

=rd

由題意可得:

=(r+16)。'

解得：r=g,

所以，S扇面=S扇形OCD-S扇的AB=IX64x(y4-16)-ix

48

24Xy=704cmo2.

故答案為：704.

24=rd

設乙4OB=9,OA=OB=r,由題意可得:解得r，進而根據扇形的面積公式

,64=(r+16)。'

即可求解.

本題考查利用數學知識解決實際問題，考查扇形的面積，考查數形結合思想的應用，屬于中檔題.

14.【答案】［一（=1

【解析】解：雙曲線盤一\=1（。>0,6>0）的漸近線方程為'=±如，

由y=2x—10,取y=0,得久=5,

???直線2：'=2尤一10與雙曲線W一\=19>03>0）的一條漸近線平行，且經過雙曲線的一個

焦點,

-=2a=y/~522

a

,=2口，二雙曲線的標準方程為言—1=1?

C=5/

。24-fa2=C2{c=5

故答案為：

由題意可得關于a，b,c的方程組，求解a與b的值，則答案可求.

本題考查雙曲線的幾何性質，考查雙曲線標準方程的求法，考查運算求解能力，是中檔題.

15.【答案】-0.998

—1—i

【解析】解：由條件可得,x="x(18+13+10-1)=10,y=ax(24+34+38+m)=96+巾,

（￡分一定在回歸方程y=-2x+59.5上，代入解得m=62,

故y=？

2

=1192,Sf=1Xj=594,￡f=i%2=7O20,

r=葭】芋;由2,-0.998

J(第聞-4丁乂第］*_石2

故答案為：—0.998.

一組成對數據的平均值G3)一定在回歸方程上，可求得zn,再利用相關系數r的計算公式算出即

可.

本題考查相關系數的應用，屬于中檔題.

16.【答案】一:

【解析】解:因為f(l+x)+〃l-x)=2,

所以f(x)的圖象關于(1,1)中心對稱,

當xe［—1,0］時，/(x)=—/(—x)=x2+2x,

故/(X)的圖象如圖所示：

結合圖象，可知只需當xe時，f(x)=/+2》2》+8即可，

即bW(x+")2_/,故

所以b的最大值為一；.

4

故答案為：—

4

根據題設條件畫出函數的圖象，結合可知只需當xe［-1,0］時，/(無)=X2+2%2％+8即可，然

后求出實數b的最大值.

本題考查了函數的奇偶性和不等式的恒成立問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為/"(X)=Zl5sinxsinG+x)-2cosxs〃G-x)+1

=2>J~3sinxcosx—2cos2x4-1=\T~3sin2x—cos2x

=2sin(2x—1),

所以/(%)的最大值為2,最小值為-2.

(2)結合(1)可知f(A)=2s譏(2/一看)=2,所以sin(2A=1.

因為46所以24—6(―

ooo

^riti2cAA--7T=-7T,A=~7.T

OZ3

由余弦定理得cosA=="七包=1,

2bc4c2

化簡得層=c2-2c4-4①.

又2sinB+sinC=yT~7sinA^

由正弦定理可得2b+c=/7a，即4+c=「a②,

結合①②得a=「,c=3或&=亨,c=|.

當c=3時，SA.BC=bcsinA=3'：

當c=|時，SMBC=\bcsinA=?.

綜上，△ABC的面積為厚或空.

23

【解析】(1)把/(X)化為“一角一函數”的形式：先用誘導公式把角化為X,再用二倍角公式把二

次項化為一次項，同時把角化為2X,最后用輔助角公式把函數名化為正弦，即可求出函數的最值；

(2)先求出角4,由余弦定理得到關于a,c的方程，再由正弦定理把已知的方程化簡為含Q,c的方

程，聯(lián)立方程組即可解出a,c的值，再代入三角形的面積公式即可.

本題主要考查三角形中的幾何計算，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)?，取DB中點。，連接40,C0.

■：^ABD,△。。8都是以。8為斜邊的解三角形，二2。，。8,

CO1DB,

又平面4BD_L平面CBC,平面4BDn平面CBD=DB,???C。J_面ZBD,A。_L平面CBD.

■.■AE，平面ABD,AE//CO,AE=CO=V-2-四邊形40CE為平行四邊形，

:.AO]ICE,CEC面ADB,40u面ADB,

CE〃面ADB.

；.直線EC與平面ZBD沒有公共點；

(2)由(1)可得EC1面CDB,

22

在ABDE中,BE=DE=VAE+AB=<6-BD=2「，二SABDE=：BD-E0=2<7.

V&C-BDE~V&E-BDC，：,3x2\/~2-d=--2-V~2,d=1.

.??點C到平面BED的距離為1.

【解析】(1)取DB中點。，連接4。，C。.可證明四邊形40CE為平行四邊形，可得CE〃面40B.即直

線EC與平面4BD沒有公共點；

(2)VAC-8°E=〃E-BDC，7x2yl~2-d=1-2-可得點C到平面BED的距離?

本題考查空間點、線、面位置關系，線面間的距離等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能

力、空間想象能力，考查化歸與轉

19.【答案】解:(1)見下表:

感奧紅葉螭未感染紅葉螭總計

對枯萎病有抗性192847

對枯萎病無抗性142741

總計335588

(2)①提出原假設為：植株感染紅葉蝌與植株對枯萎病有抗性無關，

②確定顯著性水平a=0.05,

2

③計算22的值.將列聯(lián)表的數據代入戶的計算公式得了2=88x(19xj7-28xl4)°0368，

33x55x47x41

④統(tǒng)計決斷：由P(7223.841)a0.05,而0.368<3.841,小概率事件沒有發(fā)生，故不能否定原

假設，

因此，植株感染紅葉蛾與植株對枯萎病有抗性無關.

【解析】(1)數據分析填寫列聯(lián)表；

(2)在(1)的基礎上，計算卡方，與3.841比較后得到答案.

本題考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.

20.【答案】解(1)由題意橢圓[+4=1的長軸長2a=4.

42

&PQ的周長為|F】P|+\PQ\+IBQI

=1尸/|+|尸2「1+1尸2<21+1尸1(21

=4+4=8.

(2)由題意直線匕y=k(x-。).

由得(1+2k2)x2一4V_2/C2X+&2-4=0,

由題意△>0恒成立.

設P(X21)，Q(x2,y2),R(x,y),

4D必

則X]+x

21+2必'

xi+x2>T2k2,2'廠求'f

???x=\2=------,yk(------r-V2)=-

2l+2k2T'1+2/1+2必

2吃必

X=7"

即《1+2/L,(k為參數).

V2k

丫二一,

消去k得點R的軌跡方程為/+2y2一—X=0(%H。).

證明：(3)由沛=a9，得(%1，丫1-VN)=4(%1—血，為)，

???A=-"1一?同理〃=-".

1

Xi~m)H「x2—m

由題意直線/的方程為y=k(x+m),

代入3+y=1得：(1+2/c2)x2-4mk2x+2k2m2-4=0,

由題意△=(—4mk2)2—4((14-2k2)(2k2m2—4)

=8(4/c2+2-fc2m2)>0.

227

由韋達定理得的+血=——%1%2=——-2~，

liZrvJ.TZ/V

Xi%2

??"+〃=------------1------------

x1-mx2—m

11

=2+m(------------1------------)

—mx2—m

x1+x2—2m

=2+m----------------；-----------；-------不

%1%2—皿％1+%2)+加

2m

2+心^_1±2^--------------

2km2-4_m._4km^+m2

l+2kz1+2kz

—2m2

24--------------------------------------------------

2k2m2-4—4k27n2+m2(l+2/c2)

—2m28

24_________=_______

=—4+m24—m2

綜上可知;l+〃為定值屋%.

【解析】本題考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，韋達定理，考查兩數和為定值

的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用.

(1)根據橢圓的定義可得△&PQ的周長，

(2)由題意直線［；y=k(x-C),根據韋達定理，和中點坐標公式，消去參數即可求出線段PQ的

中點R的軌跡方程；

(3)根據向量的運算可得4+〃=鼻+匕，再題意直線［的方程為y=k(x+m),代入=+4=

1,由此利用韋達定理結合己知條件能證明

21.【答案】解：(1)/(?的定義域為(0,+8),f(x)=A-m,

當mW0時，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調遞增,

當m>0時，在區(qū)