2024屆寧夏銀川市興慶區(qū)一中數(shù)學高一上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆寧夏銀川市興慶區(qū)一中數(shù)學高一上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．在底面為正方形的四棱錐中，側(cè)面底面，，，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.2．“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.即不充分也不必要3．定義運算，若函數(shù)，則的值域是（）A. B.C. D.4．若是鈍角，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5．若關(guān)于的方程在上有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是A.的最小正周期是 B.在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù) D.的對稱中心是7．在中，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不含角的等腰三角形8．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是滿足的偶函數(shù)，且當時，，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線C.的一個零點為 D.在區(qū)間的最小值為111．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則取值范圍是（）A. B.C. D.12．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.（且） B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知，則的最小值為___________14．設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是________15．已知函數(shù)且關(guān)于的方程有四個不等實根，寫出一個滿足條件的值________16．已知圓及直線，當直線被圓截得的弦長為時，的值等于________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．閩東傳承著中國博大精深的茶文化，講究茶葉茶水的口感，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．如果剛泡好的茶水溫度是，空氣的溫度是，那么分鐘后茶水的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有某種剛泡好的紅茶水溫度是，放在的空氣中自然冷卻，10分鐘以后茶水的溫度是（1）求k的值；（2）經(jīng)驗表明，溫度為的該紅茶水放在的空氣中自然冷卻至時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，大約需要多長時間才能達到最佳飲用口感?（結(jié)果精確到，附：參考值）18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)根之和.19．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒，能在短時間內(nèi)感染大量文件，使每個文件都不同程度地加長，造成磁盤空間的嚴重浪費.這種病毒開機時占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為yKB.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1GB（1GB=21020．對于兩個函數(shù)：和，的最大值為M，若存在最小的正整數(shù)k，使得恒成立，則稱是的“k階上界函數(shù)”.（1）若，是的“k階上界函數(shù)”.求k的值；（2）已知，設(shè)，，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求證：是的“2階上界函數(shù)”.21．已知函數(shù).(1)解關(guān)于不等式；(2)若對于任意，恒成立，求的取值范圍.22．設(shè)（1）分別求（2）若，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】由已知可得PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以ACM就是異面直線PB與AC所成的角,再求解即可.【詳解】由題意：底面ABCD為正方形，側(cè)面底面，，面面，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，∵PM∥AD，AD∥BC，PM＝AD，AD＝BC∴PBCM是平行四邊形，∴PB∥CM，所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角設(shè)PA＝AB＝a，在三角形ACM中，，∴三角形ACM是等邊三角形所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°故選：C.【點睛】思路點睛：先利用面面垂直得到PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，得到∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角2、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念，結(jié)合題意，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3、C【解析】由定義可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求出.【詳解】由定義可得，當時，，則，當時，，則，綜上，的值域是.故選：C.4、D【解析】由求出，結(jié)合不等式性質(zhì)即可求解.【詳解】，，,在第四象限.故選：D5、A【解析】當時，令，可得出，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，令，則，可得，設(shè)，其中，任取、，則.當時，，則，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)；當時，，則，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).所以，，，，則，故函數(shù)在上的值域為，所以，，解得.故選：A.6、A【解析】對進行研究，求出其最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，從而得到答案.【詳解】，最小正周期為；單調(diào)增區(qū)間為，即，故時，在上單調(diào)遞增；定義域關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)；對稱中心橫坐標為，即，所以對稱中心為【點睛】本題考查了正切型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，屬于簡單題.7、B【解析】利用三角形的內(nèi)角和，結(jié)合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB＝1，∴sin（A+B）＝1，∴A+B＝90°，∴△ABC是直角三角形故選：B【點睛】本題考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】由圖觀察出和后代入最高點，利用可得，進而得到解析式【詳解】解：由圖可知：，，，，代入點，得，，，，，，故選．【點睛】本題考查了由的部分圖象確定其表達式，屬基礎(chǔ)題．9、B【解析】把函數(shù)有3個零點，轉(zhuǎn)化為有3個不同根，畫出函數(shù)與的圖象，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解即可.【詳解】由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，當時，，函數(shù)有3個零點，即有3個不同根，畫出函數(shù)與的圖象如圖：要使函數(shù)與的圖象有3個交點，則，且，即.∴實數(shù)的取值范圍是.故選：B.10、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對稱軸、零點、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯誤；函數(shù)圖像的對稱軸為，，，不是對稱軸，故B錯誤；函數(shù)的零點為，，，所以不是零點，故C錯誤；時，，所以，即，所以，故D正確.故選：D11、C【解析】根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】因為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，則，解得，即；當時，，要使得該函數(shù)取得一次最大值，故只需，解得；綜上所述，的取值范圍為.故選：C.第II卷12、C【解析】根據(jù)基本不等式的使用條件，對四個選項分別進行判斷，得到答案.【詳解】選項A，當時，，所以最小值為不正確；選項B，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，而，所以等號不成立，所以不正確；選項C，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以正確；選項D，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，而，所以不正確.故選：C.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用條件，屬于簡單題.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形進行求解即可.【詳解】解：因為a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：，當且僅當時取等號，即時取等號，故答案為：.14、【解析】對于方程，由于，解得集合，由，根據(jù)區(qū)間端點值的關(guān)系列式求得的范圍【詳解】解：對于，由于，，，；∴∵，集合，∴解得，，則實數(shù)的取值范圍是故答案為：15、（在之間都可以）.【解析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】如圖，當時，，當且僅當時等號成立，當時，，要使方程有四個不等實根，只需使即可，故答案為：（在之間都可以）.16、【解析】結(jié)合題意，得到圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線距離公式，計算a，即可【詳解】結(jié)合題意可知圓心到直線的距離，所以結(jié)合點到直線距離公式可得，結(jié)合，所以【點睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了點到直線距離公式，難度中等三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）（2）【解析】（1）由解方程可得解；（2）令，解方程可得解.【小問1詳解】由題意可知，，其中，所以，解得小問2詳解】設(shè)剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達到最佳飲用口感，由題意可知，，令，所以，，，所以，所以剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達到最佳飲用口感.18、（1）（2）【解析】（1）由圖像得，并求解出周期為，從而得，再代入最大值，利用整體法，從而求解得，可得解析式為；（2）作出函數(shù)與的圖像，可得兩個函數(shù)在有四個交點，從而得有四個實數(shù)根，再利用三角函數(shù)的對稱性計算得實數(shù)根之和.【小問1詳解】由圖可知，，∴∴，又點在的圖象上∴，∴，，，∵，∴，∴.【小問2詳解】由圖得在上的圖象與直線有4個交點，則方程在上有4個實數(shù)根，設(shè)這4個實數(shù)根分別為，，，，且，由，得所以可知，關(guān)于直線對稱，∴，關(guān)于直線對稱，∴，∴【點睛】求三角函數(shù)的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令或，即可求出，否則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對，的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.19、（1）y=2x3（2）57分鐘【解析】（1）根據(jù)題意可得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)題意，換算病毒占據(jù)的最大內(nèi)存1GB【小問1詳解】因為這種病毒開機時占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.所以x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為，得y=2x3【小問2詳解】因為病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1GB時，計算機能夠正常使用，故有2x3+1所以本次開機計算機能正常使用的時長為57分鐘.20、（1）；（2）（i）時，，；時，，；時，，；（ii）證明部分見解析.【解析】（1）先求，的范圍，再求的最大值，利用恒成立問題的方式處理；（2）分類討論對稱軸是否落在上即可；先求的最大值，需觀察發(fā)現(xiàn)最值在取得，不要嘗試用三倍角公式，另外的最大值必定在端點或者在頂點處取得，通過討論的范圍，證明即可【小問1詳解】時，單調(diào)遞增，于是，于是，則最大值為，又恒成立，故，注意到是正整數(shù)，于是符合要求的為.【小問2詳解】（i）依題意得，為開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，于是在上遞減，在上遞增，由于，，下分類討論：當，即時，，；當，即時，，；當，即當，在上遞減，，.（ii），則，當，即取等號，，，則，下令，只需說明時，即可，分類如下：當時，，且注意到，此時，顯然時，單調(diào)遞減，于是；當，由基本不等式，，且，，即，此時，而，時，由基本不等式，，故有：綜上，時，，即當時，最小正整數(shù)【點睛】本題綜合的考查了分類討論思想，函數(shù)值域的求法等問題，特別是觀察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒會變得更加復雜.21、（1）當時，不等式的解集是當時，不等式的解集是當時不等式的解集是（2）【解析】（1）將不等式，轉(zhuǎn)化成，分別討論當時，當時，當時，不等式的解集.（2）將對任意，恒成立問題，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再利用均值不等式求的最小值，從而得到a的取值范圍.【詳解】（1）因為