2024屆上海市澄衷高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆上海市澄衷高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知M，N都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2．四個(gè)變量y1，y2，y3，y4，隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x124681012y116295581107133159y21982735656759055531447y3186421651210001728y42.0003.7105.4196.4197.1297.6798.129其中關(guān)于x近似呈指數(shù)增長(zhǎng)的變量是（）A. B.C. D.3．已知直線ax+by+c=0的圖象如圖，則()A.若c>0，則a>0，b>0B.若c>0，則a<0，b>0C.若c<0，則a>0，b<0D.若c<0，則a>0，b>04．若一個(gè)三角形采用斜二測(cè)畫(huà)法作直觀圖，則其直觀圖的面積是原來(lái)三角形面積的（）倍.A B.C. D.25．已知指數(shù)函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則a的值是（）A. B.C. D.6．已知為圓的兩條互相垂直的弦，且垂足為，則四邊形面積的最大值為（）A.10 B.13C.15 D.207．已知，若函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)在上有最大值，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高4cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為3cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為A.B.C.D.9．設(shè)，則與終邊相同的角的集合為A. B.C. D.10．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6}，則集合A∩(?UB)＝（）A.{2，5} B.{3，6}C.{2，5，6} D.{2，3，5，6}11．若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知，則直線通過(guò)()象限A.第一、二、三 B.第一、二、四C.第一、三、四 D.第二、三、四二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則__________14．已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________15．若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則___________.16．已知函數(shù)（1）利用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)在區(qū)間上的圖象（2）已知函數(shù)，若函數(shù)的最小正周期為，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若方程在上有根，求的取值范圍三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都存在滿足，則稱(chēng)函數(shù)為“自均值函數(shù)”，其中稱(chēng)為的“自均值數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“自均值函數(shù)”，并說(shuō)明理由：（2）若函數(shù)，為“自均值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，有且僅有1個(gè)“自均值數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值.18．已知函數(shù)()（1）求在區(qū)間上的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，用定義證明：在上是減函數(shù)19．某校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格（1）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；（3）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？20．已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)P作直線l交圓C于A、B兩點(diǎn).（1）當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，求直線l的方程；（2）當(dāng)直線l的傾斜角為45o時(shí)，求弦AB的長(zhǎng).21．已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．已知函數(shù)，，且求實(shí)數(shù)m的值；作出函數(shù)的圖象并直接寫(xiě)出單調(diào)減區(qū)間若不等式在時(shí)都成立，求t的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】充分性：取，滿足.但是無(wú)意義，所以充分性不滿足；必要性：當(dāng)成立時(shí)，則有,所以.所以必要性滿足.故選：B2、B【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，四個(gè)變量都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量的增長(zhǎng)速度最快，【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，四個(gè)變量都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量的增長(zhǎng)速度最快，符合指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特點(diǎn).故選：B3、D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直線在x，y軸上的截距分別為-，-.如圖，k<0，即-<0，所以ab>0，因?yàn)?>0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，則a>0，b>0；若c>0，則a<0，b<0;故選D.4、A【解析】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測(cè)畫(huà)法看三角形底邊長(zhǎng)和高的變化即可【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測(cè)畫(huà)法知，三角形的底長(zhǎng)度不變，高所在的直線為y′軸，長(zhǎng)度減半，故三角形的高變?yōu)樵瓉?lái)的，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的直觀圖，由斜二測(cè)畫(huà)法看三角形底邊長(zhǎng)和高的變化即可，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】根據(jù)函數(shù)圖象變換求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可得，再將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，又因?yàn)?，所以，，整理可得，因?yàn)榍?，解?故選：D.6、B【解析】如圖，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52則|AC|·|BD|=，當(dāng)時(shí)，|AC|·|BD|有最大值26，此時(shí)S四邊形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，∴四邊形ABCD面積的最大值為13故選B點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過(guò)圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最小7、A【解析】由復(fù)合函數(shù)在上的單調(diào)性可構(gòu)造不等式求得，結(jié)合已知可知；當(dāng)時(shí)，，若，可知無(wú)最大值；若，可得到，解不等式，與的范圍結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】在上為減函數(shù)，解得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞增無(wú)最大值，不合題意當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞減若在上有最大值，解得：，又故選【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍、根據(jù)分段函數(shù)有最值求解參數(shù)范圍的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類(lèi)討論的方式得到處于不同范圍時(shí)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)有最值構(gòu)造不等式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略對(duì)數(shù)真數(shù)大于零的要求，造成范圍求解錯(cuò)誤.8、A【解析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)已知條件得出正方體上底面截球所得截面圓的半徑為2cm，球心到截面圓圓心的距離為，再利用球的性質(zhì)，求得球的半徑，最后利用球體體積公式，即可得出答案【詳解】設(shè)球的半徑為R，設(shè)正方體上底面截球所得截面圓恰好為上底面正方形的內(nèi)切圓，該圓的半徑為，且該截面圓圓心到水面的距離為1cm，即球心到截面圓圓心的距離為，由勾股定理可得，解得，因此，球的體積為故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體的體積的計(jì)算問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，求出球體的半徑，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】由終邊相同的角的概念，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以與終邊相同的角為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角，熟記概念即可得出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】先求出?UB，再求A∩(?UB)即可.【詳解】解：由已知?UB＝{2，5}，所以A∩(?UB)＝{2，5}.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.11、A【解析】當(dāng)時(shí)，令，可得出，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，可得，設(shè)，其中，任取、，則.當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).所以，，，，則，故函數(shù)在上的值域?yàn)椋?，，解?故選：A.12、A【解析】根據(jù)判斷、、的正負(fù)號(hào)，即可判斷直線通過(guò)的象限【詳解】因?yàn)?，所以，①若則，，直線通過(guò)第一、二、三象限②若則，，直線通過(guò)第一、二、三象限【點(diǎn)睛】本題考查直線，作為選擇題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)不等式的解集可得、、為對(duì)應(yīng)方程的根，分析兩個(gè)不等式對(duì)應(yīng)方程的根，即可得解.【詳解】由于滿足，即，可得，所以，，所以，方程的兩根分別為、，而可化為，即，所以，方程的兩根分別為、，，且不等式解集為，所以，，解得，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查一元二次不等式與方程之間的關(guān)系，即不等式解集的端點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)方程的根，本題在理解、、分別為方程、的根，而兩方程含有公共根，進(jìn)而可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求解.14、【解析】求出a的范圍，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化不等式為對(duì)數(shù)不等式，求解即可【詳解】由loga0得0＜a＜1．由得a﹣1，∴≤﹣1=，解得0<x≤，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題15、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得或，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不滿足，舍；當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，滿足條件.所以.故答案為：16、（1）（2）的值域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）【解析】（1）取特殊點(diǎn)，列表，描點(diǎn)，連線，畫(huà)出函數(shù)圖象；（2）化簡(jiǎn)得到的解析式，進(jìn)而求出值域，整體法求解單調(diào)遞增區(qū)間；（3）整體法先得到，換元后得到在上有根，進(jìn)而求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】作出表格如下：x0020-20在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出以下五點(diǎn)，，，，，，用平滑的曲線連接起來(lái)，就是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖：【小問(wèn)2詳解】，其中，由題意得：，解得：，故，故的值域?yàn)椋?，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，則，令，則，所以方程在上有根等價(jià)于在上有根，因?yàn)?，所以，解得：，故的取值范圍?三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）不是，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）或.【解析】(1)假定函數(shù)是“自均值函數(shù)”，由函數(shù)的值域與函數(shù)的值域關(guān)系判斷作答.(2)根據(jù)給定定義可得函數(shù)在上的值域包含函數(shù)在上的值域，由此推理計(jì)算作答.(3)根據(jù)給定定義可得函數(shù)在上的值域包含函數(shù)在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】假定函數(shù)是“自均值函數(shù)”，顯然定義域?yàn)镽，則存在，對(duì)于，存在，有，即，依題意，函數(shù)在R上的值域應(yīng)包含函數(shù)在R上的值域，而當(dāng)時(shí)，值域是，當(dāng)時(shí)，的值域是R，顯然不包含R，所以函數(shù)不“自均值函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解】依題意，存在，對(duì)于，存在，有，即，當(dāng)時(shí)，的值域是，因此在的值域包含，當(dāng)時(shí)，而，則，若，則，，此時(shí)值域的區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)，而區(qū)間長(zhǎng)度為1，不符合題意，于是得，，要在的值域包含，則在的最小值小于等于0，又時(shí)，遞減，且，從而有，解得，此時(shí)，取，的值域是包含于在的值域，所以的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】依題意，存在，對(duì)于，存在，有，即，當(dāng)時(shí)，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在的值域是，由得，解得，此時(shí)a的值不唯一，不符合要求，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在的值域是，由得，解得，要a的值唯一，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則，當(dāng)，即時(shí)，，，，，由且得：，此時(shí)a的值不唯一，不符合要求，由且得，，要a的值唯一，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，此時(shí)；綜上得：或，所以函數(shù)，有且僅有1個(gè)“自均值數(shù)”，實(shí)數(shù)的值是或.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，，有，則的值域是值域的子集.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由已知得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，分別討論，，三種情況求得最小值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可得證【詳解】（1）因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，所以；（2），設(shè)，則，，所以，所以，所以在上是減函數(shù)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：1、在區(qū)間D上，任取，令；2、作差；3、對(duì)的結(jié)果進(jìn)行變形處理；4、確定符號(hào)的正負(fù)；5、得出結(jié)論19、（1）第4組的頻率為0.2，作圖見(jiàn)解析（2）樣本中位數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)為87.25（3）0.9【解析】(1)利用頻率和為1,計(jì)算可得答案,計(jì)算可得第四個(gè)矩形的高度為0.2÷5=0.04,由此作圖即可;(2)設(shè)樣本的中位數(shù)為x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出即可得到中位數(shù),根據(jù)77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10計(jì)算即可得到平均數(shù);(3)通過(guò)列舉法可得所有基本事件的總數(shù)以及至少有一人是“優(yōu)秀”的總數(shù),再利用古典概型概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）其它組的頻率為（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4組的頻率為0.2，頻率分布圖如圖：（2）設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x，∴樣本中位數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；（3）依題意良好的人數(shù)為40×0.4＝16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6＝24人優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，記“從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀”為事件M，將考試成績(jī)優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A，B，C，考試成績(jī)良好的兩名學(xué)生記為a，b，從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個(gè)基本事件，事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個(gè)，所以P（M）0.9【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖,考查了由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù),考查了古典概型的概率公式,屬于中檔題.20