2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn)培優(yōu)第五單元數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題（解析版）人教版

2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn)培優(yōu)第五單元數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問題（解析版）編者的話：《2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對(duì)應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第五單元數(shù)學(xué)廣角—鴿巢問題。本部分內(nèi)容考察鴿巢原理（抽屜原理）及最不利原則的應(yīng)用，內(nèi)容偏于理解，稍有難度，建議作為本章核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為五個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用?！究键c(diǎn)一】鴿巢原理（抽屜原理）?！痉椒c(diǎn)撥】1.把多于n個(gè)物體任意分放進(jìn)n個(gè)鴿巢中（n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)鴿巢里至少放進(jìn)了2個(gè)物體。2.把多于kn個(gè)的物體任意分放進(jìn)n個(gè)鴿巢中（k和n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)鴿巢里至少放進(jìn)了（k＋1）個(gè)物體。3.抽屜原理的關(guān)鍵：平均分配，蘋果數(shù)÷抽屜數(shù)，若有余數(shù)也要盡量平均分配?！镜湫屠}1】7個(gè)蘋果放進(jìn)2個(gè)抽屜，蘋果最多的一個(gè)抽屜里至少有幾個(gè)蘋果?解析：為使"最多的…至少……"，應(yīng)盡量平均分配：7÷2=3（個(gè)）……1（個(gè)），余下的一個(gè)蘋果分配到平均分配后的任意一個(gè)抽屜中，使其最多∶3+1=4（個(gè)）?！镜湫屠}2】11個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜，蘋果最多的一個(gè)抽屜里至少有幾個(gè)蘋果?解析：為使"最多的……至少……"，應(yīng)盡量平均分配：11÷3=3（個(gè)）……2（個(gè)），為使最多的抽屜里有最少的蘋果，余下的2個(gè)蘋果也應(yīng)盡量平均分配：3+1=4（個(gè)）?！镜湫屠}3】6個(gè)蘋果放進(jìn)2個(gè)抽屜，蘋果最多的一個(gè)抽屜里至少有幾個(gè)蘋果?解析：為使"最多的…至少……"，應(yīng)盡量平均分配∶6÷2=3（個(gè)）若無余數(shù)則不加1。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（1）9個(gè)蘋果放在3個(gè)抽屜里，放蘋果最多的抽屜里至少有幾個(gè)呢?（2）9個(gè)蘋果放在4個(gè)抽屜里，"抽屜王"里至少有幾個(gè)蘋果呢?（3）9個(gè)蘋果放在5個(gè)抽屜里，一定有1個(gè)抽屜至少有幾個(gè)蘋果?解析：（1）9÷3=3（個(gè)）；（2）9÷4=2（個(gè)）……1（個(gè)）2+1=3（個(gè)）（3）9÷5=1（個(gè)）……4（個(gè)）1+1=2（個(gè)）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】14本書借給4位小朋友，借書最多的一位小朋友最少可以借到多少本書？解析：14÷4=3（本）……2（本），每個(gè)小朋友先分得3本，還剩下兩本，剩下的2本，無論分給誰，都有一個(gè)小朋友至少借到了4本書?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】7只鴿子飛回3個(gè)鴿舍，至少有多少只鴿子飛回同一個(gè)鴿舍里？解析：7÷3=2……1，因此至少有3只飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍?！究键c(diǎn)二】鴿巢原理的應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】應(yīng)用鴿巢原理的解題方法1.分析題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成"鴿巢問題"，即弄清"鴿巢"（"鴿巢"是什么，有幾個(gè)鴿巢）和分放的物體及它們的個(gè)數(shù).2.設(shè)計(jì)"鴿巢"的具體形式.3.運(yùn)用原理得出在某個(gè)"鴿巢"里至少分放的物體個(gè)數(shù)，最終解決問題.【典型例題】7個(gè)小朋友相約去看電影，共有《哈利·波特》、《馴龍高手》、《功夫熊貓》三部電影可選擇，每個(gè)小朋友可選一個(gè)電影組合（不重復(fù)的兩部電影）觀看，至少有幾個(gè)小朋友選的電影組合相同?解析：每個(gè)小朋友的觀影方式有3種：《哈利·波特》和《馴龍高手》、《哈利·波特》和《功夫熊貓》、《馴龍高手》和《功夫熊貓》，相當(dāng)于3個(gè)抽屜。將7個(gè)小朋友看成蘋果，根據(jù)平均分配的思想∶7÷3=2（個(gè)）……1（個(gè)），根據(jù)抽屜原理∶2+1=3（個(gè)），所以至少有3個(gè)小朋友選的電影組合相同?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】10個(gè)小朋友相約去游樂場，共有碰碰車、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三種游樂設(shè)施可選擇，每個(gè)小朋友可選一個(gè)游樂設(shè)施組合（不重復(fù)的兩種游樂設(shè)施）游玩，至少有幾個(gè)小朋友選的游樂設(shè)施組合相同?解析：每個(gè)小朋友可選的游樂設(shè)施組合有3種：碰碰車和摩天輪、碰碰車和旋轉(zhuǎn)木馬、摩天輪和旋轉(zhuǎn)木馬，相當(dāng)于3個(gè)抽屜。將10個(gè)小朋友看成蘋果，根據(jù)平均分配的思想∶10÷3=3（個(gè)）……1（個(gè)），根據(jù)抽屜原理∶3+1=4（個(gè)），所以至少有4個(gè)小朋友選的電影組合相同。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】學(xué)校開設(shè)了畫畫、寫作、書法3個(gè)興趣班，四年級(jí)3班共40人，每個(gè)學(xué)生都報(bào)名了其中兩個(gè)興趣班，那么這個(gè)班至少有多少個(gè)學(xué)生報(bào)的興趣班完全一樣？解析：學(xué)生的報(bào)班情況可能有：畫畫和書法、畫畫和寫作、寫作和書法，共3種，看成3個(gè)抽屜，把40個(gè)學(xué)生看成40個(gè)蘋果，40÷3=13……1，13+1=14（個(gè)），即至少有14個(gè)學(xué)生報(bào)的興趣班完全—樣?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】六年一班有55個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生參加籃球、足球、排球中的兩項(xiàng)活動(dòng)，那么至少多少人參加的活動(dòng)項(xiàng)目相同？解析：三個(gè)抽屜，把55按三個(gè)抽屜平均分，55÷3=18（人）…1（人），余數(shù)為1，所以至少有18+1=19人參加的活動(dòng)項(xiàng)目相同?！究键c(diǎn)三】最不利原則一：求總數(shù)。【方法點(diǎn)撥】1.在日常生活中，我們常常會(huì)遇到求最大值或最小值的問題，解答這類問題，一般需要從最糟糕的情況出發(fā)分析問題，這就是最不利原則，即從最壞的情況出發(fā)分析問題，如果在最壞的情況下都能滿足題目要求，那么所有情況都能保證滿足題目要求。2.一般問句中出現(xiàn)"至少.....保證....."這個(gè)詞的時(shí)候，我們解決這個(gè)問題需要從最不利的方面思考?！镜湫屠}】圣誕節(jié)時(shí)圣誕老人給表現(xiàn)最好的10個(gè)小朋友送禮物，其中收到最多禮物的小朋友至少收到3件禮物，那么圣誕老人至少要準(zhǔn)備多少件禮物?解析：此題中求至少要準(zhǔn)備多少件禮物，即為"最不利原則"問題。收到最多禮物的小朋友即"抽屜王"收到3件禮物，則其他小朋友應(yīng)收到：2×10=20（件）再加上"抽屜王"多出的1件禮物，則至少準(zhǔn)備：20+1=21（件）所以圣誕老人至少準(zhǔn)備21件禮物。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】元旦時(shí)老師給表現(xiàn)最好的12個(gè)小朋友送賀卡，其中收到賀卡最多的小朋友至少收到5張賀卡，那么老師至少要準(zhǔn)備多少張賀卡?解析：此題中求至少要準(zhǔn)備多少件禮物，即為"最不利原則"問題。收到最多賀卡的小朋友即"抽屜王"收到5張賀卡，則其他小朋友應(yīng)收到∶5-1=4（張），根據(jù)抽屜原理：4×12=48（張）再加上"抽屜王"多出的1張賀卡，則至少準(zhǔn)備：48+1=49（張），所以圣誕老人至少準(zhǔn)備49件禮物?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】高老頭讓兒子小高去買饅頭，分給高家莊上下老小40口人，請(qǐng)問小高至少要買多少個(gè)饅頭，才能保證總有人至少能夠分到5個(gè)饅頭?解析：最壞的情況就是每人都先拿4個(gè)饅頭，此時(shí)，只需要再拿1個(gè)，就一定會(huì)有人分到5個(gè)饅頭，所以小高至少要買40×4+1=161（個(gè)），【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】有一個(gè)布袋中有40個(gè)相同的小球，其中編上號(hào)碼1、2、3、4的各有10個(gè)，問：一次至少要取出多少個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同?解析：將1、2、3、4四種號(hào)碼看作4個(gè)抽屜，要保證一個(gè)抽屜中至少有3個(gè)蘋果，最"壞"的情況是每個(gè)抽屜里有2個(gè)"蘋果"，共有∶4×2=8個(gè)，再取1個(gè)就能滿足要求，所以一次至少要取出9個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同。【考點(diǎn)四】最不利原則二：摸球問題?！痉椒c(diǎn)撥】“最不利原則”方法，即從最壞情況出發(fā)考慮問題。【典型例題】把紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的球各10個(gè)放到一個(gè)袋子里。至少取多少個(gè)球，可以保證取到兩個(gè)顏色相同的球?解析：此題中求至少取多少個(gè)球，即為"最不利原則"問題。解決此類問題，從最壞情況出發(fā)考慮問題。最壞的情況就是摸出的前4個(gè)球的顏色都不一樣，那么摸出的第5個(gè)球的顏色必定與之前的四個(gè)球中的某一個(gè)球顏色相同。所以至少取5個(gè)球，可以保證取到兩個(gè)顏色相同的球?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】桌子上有5個(gè)黑球、6個(gè)白球、7個(gè)紅球，閉上眼睛取多少個(gè)球才能保證三種球都取到?解析：此題中求至少取多少個(gè)球，即為"最不利原則"問題。解決此類問題，從最壞情況出發(fā)考慮問題。最壞的情況就是先把白球和紅球全都取出來了，但黑球還沒有取到。此時(shí)共取出：7+6=13（個(gè)）。那么下一次再取出一個(gè)球必定保證三種球都能取到。所以總共需取出13+1=14（個(gè)）球才能保證三種球都取到。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】箱子里有大小形狀一樣的卡片，其中紅卡30張，白卡20張，黃卡15張，藍(lán)卡25張，那么最少要從箱子里摸出多少張卡，才能保證摸出的卡有紅卡、白卡、黃卡和藍(lán)卡。解析：30+25+20+1=76（張）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】桌子上有5個(gè)黑球，4個(gè)紅球，3個(gè)白球，艾迪閉上眼睛取球，要想保證取到2個(gè)黑球，至少要取出（）個(gè)球。A.8B.9C.10D.11解析：B【考點(diǎn)五】最不利原則三：生日問題?！痉椒c(diǎn)撥】“最不利原則”方法，即從最壞情況出發(fā)考慮問題?！镜湫屠}】某校六年級(jí)有學(xué)生367人，請(qǐng)問有沒有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天？為什么？解析：把一年中的天數(shù)看成是抽屜，把學(xué)生人數(shù)看成是元素。把367個(gè)元素放到366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有2個(gè)元素，即至少有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天。平年一年有365天，閏年一年有366天。把天數(shù)看做抽屜，共366個(gè)抽屜。把367個(gè)人分別放入366個(gè)抽屜中，至少在一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此，肯定有兩個(gè)學(xué)生的生日是同一天?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】某校有370名2020年出生的學(xué)生，其中至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天，為什么？解析：2020年共有366天，把它看成是366個(gè)抽屜，把370個(gè)人放入366個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)人，因此其中至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】某校有30名學(xué)生