逆命題和逆定理八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專題逆命題和逆定理姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．〔2021春?揭陽期中〕以下說法正確的選項(xiàng)是〔〕A．相等的角是對頂角B．同位角相等C．同角或等角的補(bǔ)角相等D．平行于同一條直線的兩條直線不一定平行【分析】根據(jù)對頂角的定義、平行線和補(bǔ)角的性質(zhì)，分析、判斷各選項(xiàng)的正確與否，再作選擇．【解答】解：A、如兩直線平行線，同位角相等，但不是對頂角，應(yīng)選項(xiàng)錯誤；B、同位角不一定相等，應(yīng)選項(xiàng)錯誤C、同角或等角的補(bǔ)角相等，應(yīng)選項(xiàng)正確；D、平行于同一條直線的兩條直線不一定平行，應(yīng)選項(xiàng)錯誤．應(yīng)選：C．2．〔2021春?武城縣期末〕以下命題中，是假命題的是〔〕A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)C．直角的補(bǔ)角仍然是直角D．垂線段最短【分析】根據(jù)線段、垂線段的公理、平行線的性質(zhì)以及直角的概念判斷即可．【解答】解：A、兩點(diǎn)之間，線段最短，是真命題；B、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題；C、直角的補(bǔ)角仍然是直角，是真命題；D、垂線段最短，是真命題；應(yīng)選：B．3．〔2021秋?襄汾縣校級月考〕以下命題的逆命題成立的是〔〕A．對頂角相等B．全等三角形的對應(yīng)角相等C．等腰三角形兩底角相等D．如果兩數(shù)相等，那么它們的絕對值相等【分析】分別寫出原命題的逆命題后即可判斷是否成立．【解答】解：A、逆命題為：相等的角為對頂角，錯誤，不成立，不符合題意；B、逆命題為：對應(yīng)角相等的三角形全等，錯誤，不成立，不符合題意；C、逆命題為：兩角相等的三角形是等腰三角形，正確，成立，符合題意；D、逆命題為：絕對值相等的兩個數(shù)相等，錯誤，不成立，不符合題意；應(yīng)選：C．4．〔2021春?道外區(qū)期末〕以下命題中：①形狀相同的兩個三角形是全等形；②在兩個三角形中，相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊；③全等三角形的對應(yīng)邊相等；④全等三角形對應(yīng)邊上的高相等．其中真命題有〔〕個A．1B．2C．3D．4【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①形狀相同、大小相等的兩個三角形是全等形，原命題是假命題；②在兩個全等的三角形中，相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊，原命題是假命題；③全等三角形的對應(yīng)邊相等，是真命題；④全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，是真命題；應(yīng)選：B．5．〔2021春?西安期末〕命題“假設(shè)a＞b，那么a2＞b2〞的逆命題是〔〕A．假設(shè)a＞b，那么a2＜b2B．假設(shè)a＜b，那么a2＞b2C．假設(shè)a2＞b2，那么a＞bD．假設(shè)a2＞b2，那么a＜b【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換即可得到其逆命題．【解答】解：“假設(shè)a＞b，那么a2＞b2〞的條件是“a＞b〞，結(jié)論是“a2＞b2〞，其逆命題是假設(shè)a2＞b2那么a＞b．應(yīng)選：C．6．〔2021春?江寧區(qū)校級月考〕以下命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是對頂角．它們的逆命題是真命題的個數(shù)是〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】利用平行線的判定、互余的定義、直角的定義及對頂角的知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確，是真命題，符合題意；②等角的余角相等的逆命題為余角相等的兩個角相等，正確，是真命題，符合題意；③直角都相等的逆命題為相等的角都是直角，錯誤，為假命題，不符合題意；④相等的角是對頂角的逆命題為對頂角相等，正確，為真命題，符合題意，真命題有3個，應(yīng)選：C．7．〔2021春?錦江區(qū)校級期中〕以下命題：①四邊形是多邊形；②對頂角相等；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；那么原命題和逆命題均為真命題的個數(shù)為〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】分別寫出各個命題的逆命題，根據(jù)多邊形的概念、對頂角的概念、平行線的判定和性質(zhì)、有理數(shù)的乘法法那么判斷即可．【解答】解：①四邊形是多邊形的逆命題是多邊形是四邊形，原命題是真命題，逆命題是假命題；②對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，原命題是真命題，逆命題是假命題；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，原命題是真命題，逆命題是真命題；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命題是如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，原命題是假命題，逆命題是真命題；應(yīng)選：A．8．〔2021春?中山市期末〕以下命題中，是假命題的是〔〕A．對頂角相等B．同位角相等C．兩點(diǎn)確定一條直線D．垂線段最短【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)對A進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)對B進(jìn)行判斷；根據(jù)直線公理對C進(jìn)行判斷；根據(jù)垂線段公理對D進(jìn)行判斷．【解答】解：A、對頂角相等，所以A選項(xiàng)為真命題；B、兩直線平行，同位角相等，所以B選項(xiàng)為假命題；C、兩點(diǎn)確定一條直線，所以C選項(xiàng)為真命題；D、垂線段最短，所以D選項(xiàng)為真命題．應(yīng)選：B．9．〔2021春?丹陽市期末〕以下命題中真命題的有〔〕①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝b；③多邊形的外角和為360°；④在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．A．0個B．1個C．2個D．3個【分析】根據(jù)平行線的判斷方法對①④進(jìn)行判斷；根據(jù)絕對值的意義對②進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的外角定理對③進(jìn)行判斷．【解答】解：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，所以①為真命題；假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝±b，所以②為假命題；多邊形的外角和為360°，所以③為真命題；在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，所以④為真命題．應(yīng)選：D．10．〔2021春?吳中區(qū)期末〕如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，CD、BE交于點(diǎn)F，現(xiàn)給出下面兩個命題：①當(dāng)CD、BE是△ABC的中線時，S三角形BFC＝S四邊形ADFE；②當(dāng)CD、BE是△ABC的角平分線時，∠BFC＝90°+12∠AA．①是真命題②是假命題B．①是假命題②是真命題C．①是假命題②是假命題D．①是真命題②是真命題【分析】由CD、BE是△ABC的中線，得出F是△ABC的重心，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)以及三角形的面積公式可判定①是真命題；根據(jù)角平分線定義以及三角形內(nèi)角和定理可判定②是真命題．【解答】解：①∵CD、BE是△ABC的中線，∴F是△ABC的重心，∴S三角形BFC=13S三角形ABCS三角形EFC=13S三角形BEC=16SS三角形BDF=13S三角形BDC=16S∴S四邊形ADFE＝S三角形ABC﹣S三角形BFC﹣S三角形EFC﹣S三角形BDF＝S三角形ABC-13S三角形ABC-16S三角形ABC-=13S三角形ABC∴S三角形BFC＝S四邊形ADFE，故命題①正確；②∵CD、BE是△ABC的角平分線，∴∠BCF=12∠BCA，∠FBC=12∴∠BFC＝180°﹣〔∠BCF+∠FBC〕＝180°-12〔∠BCA+∠ABC＝180°-12〔180°﹣∠A＝90°+12∠A，故命題②應(yīng)選：D．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021春?清江浦區(qū)期末〕“內(nèi)錯角相等〞的逆命題是相等的角為內(nèi)錯角．【分析】交換原命題的題設(shè)與結(jié)論得到它的逆命題．【解答】解：“內(nèi)錯角相等〞的逆命題是“相等的角為內(nèi)錯角〞．故答案為相等的角為內(nèi)錯角．12．〔2021?瑤海區(qū)二?！趁}：“如果|a|＝|b|，那么a＝b〞的逆命題是：真命題〔填“真命題〞或“假命題〞〕．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，可得答案．【解答】解：“如果|a|＝|b|，那么a＝b〞的逆命題是“如果a＝b，那么|a|＝|b|〞，為真命題，故答案為：真命題．13．〔2021秋?三明期末〕寫出“全等三角形的面積相等〞的逆命題面積相等的三角形全等．【分析】首先分清題設(shè)是：兩個三角形全等，結(jié)論是：面積相等，把題設(shè)與結(jié)論互換即可得到逆命題．【解答】解：“全等三角形的面積相等〞的題設(shè)是：兩個三角形全等，結(jié)論是：面積相等，因而逆命題是：面積相等的三角形全等．故答案是：面積相等的三角形全等．14．〔2021秋?慈溪市期末〕為說明命題：“對于任意實(shí)數(shù)x，都有x2＞0〞是假命題，請舉一個反例：x＝0．【分析】找到一個實(shí)數(shù)使得x2＝0即可．【解答】解：當(dāng)x＝0時，x2＝0，所以“對于任意實(shí)數(shù)x，都有x2＞0〞是假命題，故答案為：x＝0．15．〔2021春?龍山縣期末〕分析三個命題的逆命題：①如果兩個實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③全等三角形的對應(yīng)角相等．寫出成立的逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法、平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：①如果兩個實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)，逆命題是如果兩個實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么它們都是正數(shù)，是假命題；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，是真命題；③全等三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是對應(yīng)角相等的三角形全等，是假命題；故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．16．〔2021秋?三水區(qū)期末〕命題“如果a3＝b3，那么a＝b〞是真命題.〔填“真命題〞或“假命題〞〕【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)繼續(xù)判斷即可．【解答】解：“如果a3＝b3，那么a＝b〞是真命題；故答案為：真命題．17．〔2021?梁溪區(qū)校級二?！趁}“如果a、b互為相反數(shù)，那么a+b＝0〞的逆命題是真命題〔填“真命題〞或“假命題〞〕．【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，進(jìn)而利用舉反例判斷命題正確性即可．【解答】解：命題“如果a、b互為相反數(shù)，那么a+b＝0〞的逆命題是：如果a+b＝0，那么a、b互為相反數(shù)，這個逆命題是真命題．故答案為：真命題．18．〔2021春?玄武區(qū)期末〕對于以下命題：①假設(shè)a＞b，那么a2＞b2；②在銳角三角形中，任意兩個內(nèi)角和一定大于第三個內(nèi)角；③無論x取什么值，代數(shù)式x2﹣2x+2的值都不小于1；④在同一平面內(nèi)，有兩兩相交的3條直線，這些相交直線構(gòu)成的所有角中，至少有一個角小于61°．其中，真命題的是②③④．〔填所有真命題的序號〕【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)以及代數(shù)式的最值解答即可．【解答】解：①假設(shè)a＞b，當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時，那么a2＜b2；原命題是假命題；②在銳角三角形中，任意兩個內(nèi)角和一定大于第三個內(nèi)角，是真命題；③無論x取什么值，代數(shù)式x2﹣2x+2＝〔x﹣1〕2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命題；④在同一平面內(nèi)，有兩兩相交的3條直線，這些相交直線構(gòu)成的所有角中，至少有一個角小于61°，是真命題．故答案為：②③④．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021春?三元區(qū)校級月考〕如圖，在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個選項(xiàng)：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC．請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，編一道真命題．并寫出證明過程．條件為：①②④〔填序號〕．結(jié)論為：③〔填序號〕．【分析】條件為：①②④，結(jié)論為：③；只需要證明△AFD≌△CEB即可．【解答】解：條件為：①②④，結(jié)論為：③；〔答案不唯一〕：如圖，在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求證：DF＝BE．證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∴在△AFD和△CEB中，AD=CB∴△AFD≌△CEB〔SAS〕，∴DF＝BE．故答案為：①②④；③20．〔2021?袁州區(qū)校級開學(xué)〕如圖，∠ACD是∠ACB的鄰補(bǔ)角，請你從下面的三個條件中，選出兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，得出一個真命題．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．〔1〕由上述條件可得哪幾個真命題？請按“????〞的形式一一書寫出來；〔2〕請根據(jù)〔1〕中的真命題，選擇一個進(jìn)行證明．【分析】〔1〕根據(jù)題意，結(jié)合平行線的性質(zhì)，選擇兩個條件做題設(shè)，一個條件做結(jié)論，得到正確的命題．〔2〕任選一個命題，根據(jù)平行線的性質(zhì)或角平分線的定義進(jìn)行證明．【解答】解：〔1〕上述問題有三種正確命題，分別是：命題1：①②?③；命題2：①③?②；命題3：②③?①．〔2〕解：選擇命題2：①③?②．證明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠A＝∠B．21．〔2021春?博興縣期末〕如圖，有以下四個條件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．〔1〕假設(shè)CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求證：EF平分∠BED．〔2〕除〔1〕外，請?jiān)龠x擇四個條件中的三個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論，寫出一個真命題，再給予證明．【分析】〔1〕根據(jù)角平分線的定義得到∠BCD＝∠ACD，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理證明結(jié)論；〔2〕根據(jù)題意寫出一個真命題，仿照〔1〕的證明過程證明結(jié)論．【解答】〔1〕證明：∵CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD，∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．〔2〕解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．證明：∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF，∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠BCA．22．〔2021春?姜堰區(qū)期末〕〔1〕：如圖，直線AB、CD、EF被直線BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求證：∠B+∠F＝180°．〔2〕你在〔1〕的證明過程中應(yīng)用了哪兩個互逆的真命題．【分析】〔1〕利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行和內(nèi)錯角相等；兩直線平行判斷AB∥CD，CD∥EF，那么利用平行線的傳遞性得到AB∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；〔2〕利用了平行線的判定與性質(zhì)定理求解．【解答】〔1〕證明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B+∠F＝180°；〔2〕解：在〔1〕的證明過程中應(yīng)用的兩個互逆的真命題為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．23．〔2021春?松江區(qū)期末〕如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，在線段BE上截取ED＝EC，AD的延長線交BC于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)DC．〔1〕請說明AD＝BC的理由；〔2〕請說明BP＝PC的理由．【分析】〔1〕根據(jù)題意利用邊角邊定理推出△BCE≌△ADE，從而證明AD＝BC；〔2〕根據(jù)題意及等腰直角三角形的性質(zhì)推出BD＝CD，從而得出PD是線段BC的垂直平分線，即可證明BP＝PC．【解答】解：〔1〕∵BE⊥AC，，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴BE＝AE，在△BCE和△ADE中，BE=AE∴△BCE≌△ADE〔SAS〕，∴AD＝BC．〔2〕∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD，∴PD為線段BC的垂直平分線，∴BP＝PC．24．〔2021春?松江區(qū)期末〕如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，點(diǎn)E、F分別在直線BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD〔1〕當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上時