復(fù)數(shù)及幾何表示

一、復(fù)數(shù)域與復(fù)數(shù)的公理化定義二、復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算四、共軛復(fù)數(shù)五、復(fù)數(shù)的幾何表示六、復(fù)數(shù)的三角表示七、復(fù)球面及無窮大第一節(jié)復(fù)數(shù)及幾何表示一、復(fù)數(shù)域與復(fù)數(shù)的公理化定義虛數(shù)單位對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:Cardan介紹1.復(fù)數(shù)域虛數(shù)單位的特性:……復(fù)數(shù)的定義注意：復(fù)數(shù)的定義注意：復(fù)數(shù)的定義注意：例1解令兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法的定義復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法的定義注意：注意：例2解2.復(fù)數(shù)的公理化定義2.復(fù)數(shù)的公理化定義二、復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充二、復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)注意：注意：注意：減法是加法的逆運(yùn)算注：除法是乘法的逆運(yùn)算注：乘方運(yùn)算開方運(yùn)算開方運(yùn)算開方運(yùn)算例3

解四、共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).定義例4解結(jié)論：性質(zhì)性質(zhì)例5

解復(fù)數(shù)運(yùn)算舉例例5

解復(fù)數(shù)運(yùn)算舉例例6

解例7

證例7

證五、復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面的定義2.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)顯然下列各式成立2.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)顯然下列各式成立3.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.3.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.4.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)5.一對(duì)共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的位置關(guān)系六、復(fù)數(shù)的三角表示1.復(fù)數(shù)的輻角說明輻角不確定.六、復(fù)數(shù)的三角表示1.復(fù)數(shù)的輻角說明輻角不確定.六、復(fù)數(shù)的三角表示1.復(fù)數(shù)的輻角說明輻角不確定.輻角主值的定義:利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式2.復(fù)數(shù)表示歐拉介紹例8

將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為例9解(三角式)(指數(shù)式)例9解(三角式)(指數(shù)式)例9解(三角式)(指數(shù)式)證

結(jié)論一：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為[證畢]由此可將結(jié)論推廣到n

個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:由此可將結(jié)論推廣到n

個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:證按照商的定義,[證畢]結(jié)論二：兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證按照商的定義,[證畢]結(jié)論二：兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.例10解棣莫佛公式棣莫佛公式(復(fù)數(shù)的乘方)棣莫佛介紹注意：注意：復(fù)數(shù)的開方例11解即注意：注意：注意：例12解七、復(fù)球面及無窮大球面上的點(diǎn),除去球極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.注意：注意：注意：Cardan資料GirolamoCardan(1501-1546)GirolamoCardanorCardanowasanItaliandoctorandmathematicianwhoisfamedforhisworkArsMagnawhichwasthefirstLatintreatisedevotedsolelytoalgebra.InithegavethemethodsofsolutionofthecubicandquarticequationswhichhehadlearntfromTartaglia.

LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia歐拉資料LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia歐拉資料AbrahamdeMoivre棣莫佛資料Born:26May1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov1754inLondon,E