復數(shù)及幾何表示

一、復數(shù)域與復數(shù)的公理化定義二、復數(shù)域是實數(shù)域的擴充三、復數(shù)的運算四、共軛復數(shù)五、復數(shù)的幾何表示六、復數(shù)的三角表示七、復球面及無窮大第一節(jié)復數(shù)及幾何表示一、復數(shù)域與復數(shù)的公理化定義虛數(shù)單位對虛數(shù)單位的規(guī)定:Cardan介紹1.復數(shù)域虛數(shù)單位的特性:……復數(shù)的定義注意：復數(shù)的定義注意：復數(shù)的定義注意：例1解令兩復數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.復數(shù)z

等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.復數(shù)的加法、減法、乘法和除法的定義復數(shù)的加法、減法、乘法和除法的定義注意：注意：例2解2.復數(shù)的公理化定義2.復數(shù)的公理化定義二、復數(shù)域是實數(shù)域的擴充二、復數(shù)域是實數(shù)域的擴充三、復數(shù)的運算性質注意：注意：注意：減法是加法的逆運算注：除法是乘法的逆運算注：乘方運算開方運算開方運算開方運算例3

解四、共軛復數(shù)實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù).定義例4解結論：性質性質例5

解復數(shù)運算舉例例5

解復數(shù)運算舉例例6

解例7

證例7

證五、復數(shù)的幾何表示1.復平面的定義2.復數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立2.復數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立3.利用平行四邊形法求復數(shù)的和差兩個復數(shù)的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致.3.利用平行四邊形法求復數(shù)的和差兩個復數(shù)的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致.4.復數(shù)和差的模的性質5.一對共軛復數(shù)在復平面上的位置關系六、復數(shù)的三角表示1.復數(shù)的輻角說明輻角不確定.六、復數(shù)的三角表示1.復數(shù)的輻角說明輻角不確定.六、復數(shù)的三角表示1.復數(shù)的輻角說明輻角不確定.輻角主值的定義:利用直角坐標與極坐標的關系復數(shù)可以表示成復數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復數(shù)可以表示成復數(shù)的指數(shù)表示式2.復數(shù)表示歐拉介紹例8

將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為例9解(三角式)(指數(shù)式)例9解(三角式)(指數(shù)式)例9解(三角式)(指數(shù)式)證

結論一：兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.兩復數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復數(shù)對應的向量分別為[證畢]由此可將結論推廣到n

個復數(shù)相乘的情況:由此可將結論推廣到n

個復數(shù)相乘的情況:證按照商的定義,[證畢]結論二：兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證按照商的定義,[證畢]結論二：兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.例10解棣莫佛公式棣莫佛公式(復數(shù)的乘方)棣莫佛介紹注意：注意：復數(shù)的開方例11解即注意：注意：注意：例12解七、復球面及無窮大球面上的點,除去球極N外,與復平面內的點之間存在著一一對應的關系.我們可以用球面上的點來表示復數(shù).我們規(guī)定:復數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應,記作.注意：注意：注意：Cardan資料GirolamoCardan(1501-1546)GirolamoCardanorCardanowasanItaliandoctorandmathematicianwhoisfamedforhisworkArsMagnawhichwasthefirstLatintreatisedevotedsolelytoalgebra.InithegavethemethodsofsolutionofthecubicandquarticequationswhichhehadlearntfromTartaglia.

LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia歐拉資料LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia歐拉資料AbrahamdeMoivre棣莫佛資料Born:26May1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov1754inLondon,E