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第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案1自主預(yù)習(xí)學(xué)案自主預(yù)習(xí)學(xué)案在群山之中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近所有點的最高點．同樣，各個谷底雖然不一定是群山之中的最低處，但它卻是附近所有點的最低點．群山的最高處是所有山峰中的最高者的頂部，群山中的最低處是所有谷底中的最低者的底部．1．極小值點與極小值若函數(shù)f(x)滿足：(1)在x＝a附近其他點的函數(shù)值f(x)_________f(a)；(2)f′(a)＝_________；(3)在x＝a附近的左側(cè)_________，在x＝a附近的右側(cè)_________，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．≥0f′(x)<0f′(x)>02．極大值點與極大值若函數(shù)f(x)滿足：(1)在x＝b附近其他點的函數(shù)值f(x)_________f(b)；(2)f′(b)＝_________；(3)在x＝b附近的左側(cè)_________，在x＝b附近的右側(cè)_________，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．3．極值的定義(1)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為_________.(2)極大值與極小值統(tǒng)稱為_________.≤0f′(x)>0f′(x)<0極值點

極值

4．求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，(1)如果在x0附近的左側(cè)_________，右側(cè)_________，那么f(x0)是極大值．(2)如果在x0附近的左側(cè)_________，右側(cè)_________，那么f(x0)是極小值．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>01．函數(shù)y＝x3＋1的極大值是

(

)A．1 B．0

C．2 D．不存在[解析]

∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函數(shù)y＝x3＋1在R上是單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)y＝x3＋1無極值．D2．下列說法正確的是

(

)A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大B．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值小C．函數(shù)f(x)＝|x|只有一個極小值D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上一定存在極值[解析]

函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，單調(diào)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上沒有極值，故A，B，D錯誤，C正確，函數(shù)f(x)＝|x|只有一個極小值為0.CA4．(2016·安徽淮南一中月考)若x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點，則a＋b＝________.5．(2016·山東曲阜師大附中期末)已知k為實數(shù)，

f(x)＝(x2－4)(x＋k).(1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(2)若x＝－1是函數(shù)f(x)的極值點，求y＝f(x)在區(qū)間[－2,2]上的極值．互動探究學(xué)案

求函數(shù)y＝3x3－x＋1的極值.[思路分析]

首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后求方程y′＝0的根，再檢查y′在方程根左右的值的符號．如果左正右負，那么y在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么y在這個根處取得極小值．命題方向1?利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值典例1『規(guī)律方法』1.當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，判斷f(x0)是否為極大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左側(cè)f

′(x)>0，右側(cè)f

′(x)<0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f

′(x)<0，右側(cè)f

′(x)>0，那么f(x0)是極小值；(3)如果f

′(x)在點x0的左、右兩側(cè)符號不變，則f(x0)不是函數(shù)f(x)的極值． (2016·山東臨沂檢測)已知函數(shù)f(x)＝ax4·lnx＋bx4－c(x>0)．在x＝1處取得極值－3－c，其中a、b為常數(shù).(1)試確定a、b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[思路分析]

本題考查函數(shù)極值的逆向應(yīng)用．(1)根據(jù)f(1)＝－3－c和f′(1)＝0即可求解；(2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系可解決．命題方向2?已知函數(shù)極值求參數(shù)典例2『規(guī)律方法』已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，注意以下兩點：(1)根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證充分性．〔跟蹤練習(xí)2〕已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋2bx在點x＝1處的極小值為－1，試確定a、b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

右圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f

′(x)的圖象，對此圖象，有如下結(jié)論：①在區(qū)間(－2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)；②在區(qū)間(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù)；③x＝2時，f(x)取到極大值；④在x＝3時，f(x)取到極小值．其中正確的是________(將你認為正確的序號填在橫線上).[思路分析]

給出了y＝f

′(x)的圖象，應(yīng)觀察圖象找出使f

′(x)>0與f

′(x)<0的x的取值范圍，并區(qū)分f

′(x)的符號由正到負和由負到正，再做判斷．命題方向3?圖象信息問題典例3③

『規(guī)律方法』有關(guān)給出圖象研究函數(shù)性質(zhì)的題目，要分清給的是f(x)的圖象還是f

′(x)的圖象，若給的是f(x)的圖象，應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點，如果給的是f

′(x)的圖象，應(yīng)先找出f

′(x)的正負區(qū)間及由正變負還是由負變正，然后結(jié)合題目特點分析求解．〔跟蹤練習(xí)3〕函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f

′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(

)A．無極大值點、有四個極小值點B．有一個極大值點、兩個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點[解析]

設(shè)f

′(x)與x軸的4個交點，從左至右依次為x1、x2、x3、x4，當x<x1時，f

′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當x1<x<x2時，f

′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點．C[思路分析]

第一步，審題．審結(jié)論明確解題方向，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值，需求f

′(x)，然后按單調(diào)性和極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解；審條件，發(fā)掘解題信息，f(x)是三次函數(shù)，f

′(x)是二次函數(shù)，由二次方程的根探求極值點和單調(diào)區(qū)間；f(x)解析式中含參數(shù)，應(yīng)分類討論．第二步，建聯(lián)系，找解題途徑．先求f

′(x)，解方程f

′(x)＝0找分界點，再按a的符號討論單調(diào)性求極值．第三步，規(guī)范解答．命題方向4?分類討論思想在含參數(shù)的函數(shù)極值中的應(yīng)用典例4

已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，求常數(shù)a、b的值.注意極大值點與極小值點的區(qū)別典例5[正解]

(在上述解法之后繼續(xù))當a＝1，b＝3時，f

′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去；當a＝2，b＝9時，f

′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．當x∈[－3，－1]時，f(x)為減函數(shù)；當x∈[－1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝－1時取得極小值．因此a＝2，b＝9.〔跟蹤練習(xí)4〕(2016·日照高二檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，求常數(shù)a，b的值．對于方程f(x)＝a的根的個數(shù)問題，我們可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝a的圖象的交點個數(shù)問題．在解決問題時，可遵循以下步驟：第一步：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性及極值等情況，綜合各種信息畫出函數(shù)y＝f(x)的大致圖象；第二步：研究函數(shù)y＝f(x)與y＝a的圖象的交點個數(shù)；第三步：根據(jù)交點個數(shù)寫出方程根的情況．利用函數(shù)極值研究方程根的個數(shù)如果方程f(x)＝0是三次方程，也可以按照如下步驟處理：第一步：求導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，確定函數(shù)的單調(diào)性及極值的情況，進一步得到反映三次函數(shù)大致趨勢的圖；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組)，主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式(組)即可．[解析]

(1)由題意知f′(x)＝x2－(k