高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布單元測(cè)試

第二章綜合檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分．一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝，那么n的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960584)()A．3 B．4C．9 D．10[答案]D[解析]∵P(ξ<4)＝eq\f(3,n)＝，∴n＝10.2．(2023·北京東城區(qū)高二檢測(cè))兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960585)()A．eq\f(5,12) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[答案]A[解析]根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥、對(duì)立事件的概率公式得P＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,4))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12)，故選A．3．已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如圖，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960586)()X01Pm2A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝(0－eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故選B．4．(2023·天水高二檢測(cè))設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一個(gè)必要不充分條件是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960587)()A．a(chǎn)＝1或2 B．a(chǎn)＝±1或2C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝eq\f(3－\r(5),2)[答案]B[解析]∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故選5．如果隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，則p等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960588)()A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,4)[答案]A[解析]如果隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)，又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝eq\f(1,7).6．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是eq\f(3,10)的事件為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960589)()A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的[答案]C[解析]X＝k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，∴選C．7.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是eq\f(1,2)，則小球落入A袋中的概率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960590)()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,4)[答案]D[解析]小球落入B袋中的概率為P1＝(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×2＝eq\f(1,4)，∴小球落入A袋中的概率為P＝1－P1＝eq\f(3,4).8．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，則E(2ξ＋1)與D(2ξ＋1)的值分別為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960591)()A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16[答案]D[解析]由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.9．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960592)()A． B．8C．16 D．[答案]A[解析]X的取值為6、9、12，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).E(X)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.10．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從分布P(ξ＝k)＝eq\f(k,15)，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，則m－n＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960593)()A．－eq\f(31,9) B．7C．eq\f(8,3) D．－5[答案]D[解析]E(ξ)＝1×eq\f(1,15)＋2×eq\f(2,15)＋3×eq\f(3,15)＋4×eq\f(4,15)＋5×eq\f(5,15)＝eq\f(11,3)，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，又E(ξ2)＝12×eq\f(1,15)＋22×eq\f(2,15)＋32×eq\f(3,15)＋42×eq\f(4,15)＋52×eq\f(5,15)＝15，∴m－n＝－5.11．某次國(guó)際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c(a、b、c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960594)()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]由條件知，3a＋b＝1，∴ab＝eq\f(1,3)(3a)·b≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))2＝eq\f(1,12)，等號(hào)在3a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)時(shí)成立．12．一個(gè)盒子里裝有6張卡片，上面分別寫(xiě)著如下6個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960595)()A．eq\f(7,4) B．eq\f(77,20)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,3)[答案]A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機(jī)變量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．(2023·泉州高二檢測(cè))袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．若η＝aξ－2，E(η)＝1，則D(η)的值為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960596)[答案]11[解析]根據(jù)題意得出隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝eq\f(3,2)，∵η＝aξ－2，E(η)＝1，∴1＝a×eq\f(3,2)－2，即a＝2，∴η＝2ξ－2，E(η)＝1，D(ξ)＝eq\f(1,2)×(0－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,20)×(1－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,10)×(2－eq\f(3,2))2＋eq\f(3,20)×(3－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,5)×(4－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4)，∵D(η)＝4D(ξ)＝4×eq\f(11,4)＝11.故答案為11.14．一盒子中裝有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1只，做不放回抽樣．設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，則P(B|A)＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960597)[答案]eq\f(2,3)[解析]由條件知，P(A)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,3).15．在一次商業(yè)活動(dòng)中，某人獲利300元的概率為，虧損100元的概率為，此人在這樣的一次商業(yè)活動(dòng)中獲利的均值是________元.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960598)[答案]140[解析]設(shè)此人獲利為隨機(jī)變量X，則X的取值是300，－100，其概率分布列為：X300－100P所以E(X)＝300×＋(－100)×＝140.16．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是______(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960599)①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B與事件A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)．[答案]②④[解析]從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1、A2、A3中任意兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A1、A2、A3兩兩互斥，故④正確，易知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，又P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故②對(duì)③錯(cuò)；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故①⑤錯(cuò)誤．綜上知，正確結(jié)論的序號(hào)為②④.三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本題滿分10分)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名同學(xué).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960600)(1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)社區(qū)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和E(ξ)的值．[解析](1)記甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)為事件M，那么P(M)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙兩人同時(shí)分到A社區(qū)的概率是eq\f(1,18).(2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個(gè)同學(xué)到A社區(qū)，則p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).18．(本題滿分12分)(2023·重慶理，17)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960601)(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解析](1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的可能取值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)綜上知，X的分布列為：X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(個(gè))．19．(本題滿分12分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)，對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960602)(1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；工序概率產(chǎn)品第一工序第二工序甲乙(2)已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在(1)的條件下，求ξ、η的分布列及E(ξ)，E(η)；等級(jí)利潤(rùn)產(chǎn)品一等二等甲5(萬(wàn)元)(萬(wàn)元)乙(萬(wàn)元)(萬(wàn)元)(3)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示．該工廠有工人40名，可用資金60萬(wàn)元．設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(2)的條件下，x、y為何值時(shí)，z＝xE(ξ)＋yE(η)最大？最大值是多少？項(xiàng)目產(chǎn)品工人(名)資金(萬(wàn)元)甲85乙210[解析](1)P甲＝×＝，P乙＝×＝.(2)隨機(jī)變量ξ、η的分布列是ξ5PηPE(ξ)＝5×＋×＝，E(η)＝×＋×＝.(3)由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋10y≤60，,8x＋2y≤40，,x≥0，,y≥0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,4x＋y≤20，,x≥0，y≥0.))目標(biāo)函數(shù)為z＝xE(ξ)＋yE(η)＝＋.作出可行域(如圖)：作直線l：＋＝0，將l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M，此時(shí)z＝＋取最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,4x＋y＝20.))得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4時(shí)，z取最大值，z的最大值為.20．(本題滿分12分)(2023·天津理，16)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960603)(Ⅰ)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率(Ⅱ)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](Ⅰ)由已知有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(Ⅱ)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以，隨機(jī)變量X分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.21．(本題滿分12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960604)(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求p<Z<；②某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間,的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝.[解析](1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2分別為eq\x\to(x)＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220×＋230×＝200，s2＝(－30)2×＋(－20)2×＋(－10)2×＋0×＋102×＋202×＋302×＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，從而P<Z<＝P(220－<Z<200＋＝.②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間,的概率為，依題意知X～B(100,，所以E(X)＝100×＝.22．(本題滿分12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2