新教材高中數(shù)第6章平面向量及其應(yīng)用643第3課時(shí)余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例訓(xùn)練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE6.4.3余弦定理、正弦定理第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測(cè)20m高的旗桿,甲觀測(cè)的仰角為50°,乙觀測(cè)的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有(忽略兩人的身高差距)()A.d1>d2 B.d1<d2 C.d1>20m D.d2<20m解析仰角大說(shuō)明距離小,仰角小說(shuō)明距離大,即d1<d2.答案B2.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m,∠A=30°,則其跨度AB的長(zhǎng)為()A.12m B.8m C.33m D.43m解析由題意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理,得ABsin即AB=AC·sinCsin答案D3.一艘船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為()A.1762nmile/h B.34C.1722nmile/h D.34解析如圖所示,在△PMN中,由正弦定理,得PMsin45∴MN=346,∴v=MN4=1762答案A4.若某人在點(diǎn)A測(cè)得金字塔頂端仰角為30°,此人往金字塔方向走了80米到達(dá)點(diǎn)B,測(cè)得金字塔頂端的仰角為45°,則金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(參考數(shù)據(jù)3≈1.732)()A.110米 B.112米 C.220米 D.224米解析如圖,設(shè)CD為金字塔,AB=80米.設(shè)CD=h,則由已知得(80+h)×33=h,h=40(3+1)≈109(米).選項(xiàng)A最接近.故選A答案A5.海上的A,B兩個(gè)小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B島與C島之間的距離是()A.103nmile B.106C.52nmile D.56nmile解析由題意,作出示意圖,如圖,在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理,得BCsin60°=10sin45°,解得BC=答案D6.如圖,在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度,工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A,B到點(diǎn)C的距離,已知AC=BC=1km,且∠ACB=120°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為()A.3km B.2km C.1.5km D.2km解析根據(jù)余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,∴AB=AC2+BC2-答案A7.某人從A處出發(fā),沿北偏東60°行走33km到B處,再沿正東方向行走2km到C處,則A,C兩地的距離為km.

解析如圖所示,由題意可知AB=33,BC=2,∠ABC=150°.由余弦定理,得AC2=27+4-2×33×2×cos150°=49,則AC=7.故A,C兩地的距離為7km.答案78.坡度為45°的斜坡長(zhǎng)為100m,現(xiàn)在要把坡度改為30°,則坡底要伸長(zhǎng)m.

解析畫出示意圖,如圖所示.BD=100,∠BDA=45°,∠BCA=30°,設(shè)CD=x,則(x+DA)·tan30°=DA·tan45°,又DA=BD·cos45°=100×22=502所以x=DA·tan45°tan30°-DA=502×13答案50(6-9.一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲,然后向右轉(zhuǎn)105°,爬行10cm捕捉到另一只小蟲,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點(diǎn),那么x=cm.

解析如圖所示,設(shè)蜘蛛原來(lái)在O點(diǎn),先爬行到A點(diǎn),再爬行到B點(diǎn),易知在△AOB中,AB=10cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,則∠AOB=60°.由正弦定理知,x=AB·sin∠答案1010.如圖,C,D兩點(diǎn)與煙囪底部A在同一水平直線上,利用高為1.5m的測(cè)角儀器,在點(diǎn)C1,D1處測(cè)得煙囪頂部B的仰角分別是α=45°和β=60°,點(diǎn)C,D間的距離是12m.計(jì)算煙囪的高.(結(jié)果精確到0.01m)解如圖,延長(zhǎng)C1D1,交AB于點(diǎn)A1,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,由正弦定理,得C1所以BC1=C1D1·sin∠BD從而A1B=22BC1=(18+63因此AB=A1B+AA1=18+63+1.5≈29.89(m).即煙囪的高約為29.89m.11.如圖所示,在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.解設(shè)建筑物的高度為h,由題圖知,PA=2h,PB=2h,PC=233∴在△PBA和△PBC中,分別由余弦定理,得cos∠PBA=602cos∠PBC=602∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度為306m.能力提升1.如圖,從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高度AD是60m,則河流的寬度BC是()A.240(3-1)m B.180(2-1)mC.120(3-1)m D.30(3+1)m解析由題意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60m,∴AC=120m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120×答案C2.起重機(jī)裝置示意圖如圖所示,已知支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=519m,起吊的貨物與岸的距離AD為()A.30m B.153C.153m D.45m解析在△ABC中,AC=15m,AB=519m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=A=152+1∴sin∠ACB=32又∠ACB+∠ACD=180°,∴sin∠ACD=sin∠ACB=32在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×32=15答案B3.如圖所示,要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度,在塔的同一側(cè)選擇C,D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),且在C,D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°,30°,在水平面上測(cè)得∠BCD=120°,C,D兩地相距500m,則電視塔AB的高度是()A.1002m B.400m C.2003m D.500m解析設(shè)AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∴BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=3x.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500m,由余弦定理得(3x)2=x2+5002-2×500xcos120°,解得x=500m.答案D4.如圖所示,位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45°,與觀測(cè)站A距離202海里的B處有一貨船正勻速直線行駛,半小時(shí)后,又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北θ(0°<θ<45°)的C處,且cosθ=45.已知A,C兩處的距離為10海里,則該貨船的船速為(A.485海里/時(shí) B.385海里/時(shí)C.27海里/時(shí) D.46海里/時(shí)解析因?yàn)閏osθ=45,0°<θ<45°,所以sinθ=35,cos(45°-θ)=22×45+22×35=7210.在△ABC中,BC2=(202)2+102-2×202×10×7答案A5.如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使點(diǎn)C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°,再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D,測(cè)得∠BDC=45°,若AB⊥平面BCD,則塔AB的高是m.

解析在△BCD中,CD=10m,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∴∠DBC=30°.由正弦定理得,BCsin45∴BC=CDsin45°sin30°=在Rt△ABC中,tan60°=ABBC∴AB=BC·tan60°=106(m).答案1066.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船正向北行駛,若甲船的速度是乙船的3倍,則甲船應(yīng)沿方向行駛才能追上乙船;追上時(shí)甲船行駛了nmile.

解析如圖所示,設(shè)在C處甲船追上乙船,乙船到C處用的時(shí)間為t,乙船的速度為v,則BC=tv,AC=3tv,又B=120°,則由正弦定理BCsin∠CAB=AC∴sin∠CAB=12,∴∠CAB=30°,∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛.又∠ACB=180°-120°-30°=30°,∴BC=AB=an∴AC=A=a2+a2-答案北偏東30°3a7.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為126nmile;在A處看燈塔C,在貨輪的北偏西30°,距離為83nmile;貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在其東偏南30°,求:(1)A處與D處之間的距離;(2)燈塔C與D處之間的距離.解由題意,畫出示意圖.(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=126nmile.由正弦定理得AD=ABsin60°sin45°=24(n(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(83)2-2×24×83×3故CD=83(nmile).答:(1)A處與D處之間的距離為24nmile;(2)燈塔C與D處之間的距離為83nmile.8.在某次地震時(shí),震中A(產(chǎn)生震動(dòng)的中心位置)的南面有三座城市B,C,D,三座城市在同一直線上.已知B,C兩市相距20km,C,D兩市相距34km,C市在B,D兩市之間,如圖所示.某時(shí)刻C市感到地表震動(dòng),8s后B市感到地表震動(dòng),20s后D市感到地表震動(dòng).已知震波在地表傳播的速度為1.5km/s,求震中A到B,C,D三市的距離.解由題意可知,在△ABC中