第五次 復變函數(shù)的積分(一)

第五講復變函數(shù)的積分（一）1.復變函數(shù)積分概念2.解析函數(shù)的積分3.柯西公式§2.1復變函數(shù)積分1.復平面上的有向光滑曲線（1）復平面上曲線的參數(shù)方程表示或例1.復平面上的直線可表示為：或例2.復平面上單位圓可表示為：或注（2）復平面上的連續(xù)、光滑曲線例如：直線L:圓C:折線段C=AHB:CA(起點)B(終點)C（3）復平面上的有向光滑曲線（i）復平面上的有向曲線：（ii）復平面上的有向曲線的正向：C=C1+C2C1C2注：注（4）復平面上的有向曲線的參數(shù)方程表示定義DBxyo2.復變函數(shù)的積分

3.復變函數(shù)積分的計算方法命題1注：注：復變函數(shù)積分的計算公式)(òòò++-=LLLudyvdxivdyudxdzzf則4.復變函數(shù)積分的性質(zhì)證明：見P51-52.例1答案：Aoxy5.舉例答案例2例3提示oxyrC?íì1==-=-òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznLnp

答案注1注2例如：1.區(qū)域的連通階數(shù)（1）有界區(qū)域D例如：§2.2解析函數(shù)的積分（有界區(qū)域）（有界區(qū)域）（無界區(qū)域）（2）圍線（3）單連通區(qū)域（4）區(qū)域的連通階數(shù)注：有界單連通區(qū)域的連通階數(shù)為一.連通階數(shù)大于一的有界區(qū)域是多連通區(qū)域.2.單連通區(qū)域上的柯西定理設f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對任意兩點z0,z1∈D,積分∫Lf(z)dz不依賴于連接起點z0與終點z1的曲線，即積分與路徑無關。證明：因為f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，所以由高階導數(shù)定理知，f(z)有二階導數(shù)，從而f(z)有一階連續(xù)導數(shù)。證畢柯西定理的另一種形式：證明：由圖可見，有向曲線C1與C2-構(gòu)成單連通區(qū)域D內(nèi)的圍線C，則證畢.注1容易證明，柯西定理的這兩種形式是等價的.注2：在研究解析函數(shù)解析之初，人們將區(qū)域D上的解析函數(shù)f(z)定義為f(z)在D內(nèi)可導，且導函數(shù)連續(xù)。注3注4注5由于單連通區(qū)域D上的復變函數(shù)f(z)沿起點為A,終點為B的曲線L的積分與L的形狀無關，故簡記為注63.多連通區(qū)域上的柯西定理證明：（見P55）推論：例4-28答案3§2.3Cauchy公式利用Cauchy定理，在多連通域上導出一個用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個積分表達式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的1.單連通區(qū)域上的柯西公式定理方法.證明：（柯西公式）證畢.2.多連通區(qū)域上的柯西公式定理2證明：適當添加輔助線，使多連通區(qū)域分割成單連通區(qū)域，然后運用單連通區(qū)域上的柯西公式即可。（詳見P59）解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論：

例53.舉例解例6解例7解例8解CC1C21xyo4.小結(jié)：)(òòò++-=LLLudyvdxivdyudxdzzf則單連通