現(xiàn)代控制理論第4章

現(xiàn)代控制理論寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院藍(lán)艇Office:曹光彪信息樓109室Tel-mail：線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述Contents概述經(jīng)典線性系統(tǒng)理論以傳遞函數(shù)為根底單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和綜合只能揭示輸入-輸出間的外部特性難以處理多輸入-多輸出系統(tǒng)現(xiàn)代控制理論以狀態(tài)和狀態(tài)空間概念為根底不僅反映輸入-輸出的外部特性，而且揭示了系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特性。既適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，又適用于多輸入-多輸出系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述R-L-C串聯(lián)電路的兩類描述：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述令令假設(shè)，那么電路中其它變量可唯一地確定，稱為完全描述的電路變量。線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的矩陣方程：稱狀態(tài)方程如在電路中令是輸出，并令狀態(tài)空間描述〔狀態(tài)空間模型，狀態(tài)空間表達(dá)式〕狀態(tài)方程輸出方程線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間的根本概念狀態(tài)和狀態(tài)變量：表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息稱為狀態(tài)。狀態(tài)變量：確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立〔數(shù)目最少〕的變量。對(duì)于物理系統(tǒng)而言：獨(dú)立儲(chǔ)能元件數(shù)初始條件數(shù)目獨(dú)立儲(chǔ)能元件的特征變量個(gè)數(shù)n階系統(tǒng)（n個(gè)狀態(tài)變量）狀態(tài)向量：狀態(tài)空間：狀態(tài)變量：n個(gè)狀態(tài)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的n維空間狀態(tài)與狀態(tài)軌跡線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程：(1)單輸入情況(2)多輸入情況線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述輸出方程：(1)單輸出情況(2)多輸入-多輸出情況線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達(dá)式：?jiǎn)屋斎?單輸出一般形式多輸入-多輸出的一般形式：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述R-L-C串聯(lián)電路的狀態(tài)空間描述假設(shè)假設(shè)取線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述假設(shè)注意：狀態(tài)變量的選擇不唯一，一組狀態(tài)變量與另一組狀態(tài)變量之間存在非奇異線性變換狀態(tài)空間表達(dá)式的建立由系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)導(dǎo)出線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。由系統(tǒng)微分方程導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式〔1〕輸入變量不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按以下選取狀態(tài)變量狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達(dá)式的建立繪制狀態(tài)變量圖〔結(jié)構(gòu)圖〕〔2〕輸入量含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立為了使?fàn)顟B(tài)方程中不包含輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，選擇狀態(tài)變量狀態(tài)空間表達(dá)式的建立……將上述關(guān)系代入的表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式的建立各系數(shù)hi確實(shí)定狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達(dá)式的建立繪制狀態(tài)變量圖〔結(jié)構(gòu)圖〕狀態(tài)空間表達(dá)式的建立舉例：列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。選擇狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)空間表達(dá)式的建立由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為進(jìn)一步整理為系數(shù)計(jì)算公式狀態(tài)空間表達(dá)式的建立〔1〕串聯(lián)分解嚴(yán)格有理真分式的幾種狀態(tài)方程形式引入中間變量狀態(tài)空間表達(dá)式的建立列寫狀態(tài)空間表達(dá)式令狀態(tài)空間表達(dá)式的建立考慮那么有注意：矩陣A〔稱為友矩陣〕和b,具有上述矩陣形式的狀態(tài)空間描述，稱為可〔能〕控標(biāo)準(zhǔn)型。狀態(tài)空間表達(dá)式的建立可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖狀態(tài)空間表達(dá)式的建立假設(shè)因?yàn)檫@就是輸入沒(méi)有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況：狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)對(duì)應(yīng)的微分方程：狀態(tài)變量按下式選擇：經(jīng)整理后可〔能〕觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的建立A和c的形式稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型最后有狀態(tài)空間表達(dá)式的建立可觀標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖狀態(tài)空間表達(dá)式的建立可控標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)矩陣與可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)矩陣之間的關(guān)系：可控標(biāo)準(zhǔn)型可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型上述關(guān)系稱為對(duì)偶關(guān)系狀態(tài)空間表達(dá)式的建立舉例：〔1〕可控標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)與輸出之間的關(guān)系：狀態(tài)空間表達(dá)式的建立令可得以下關(guān)系式：最后可導(dǎo)出：狀態(tài)空間表達(dá)式的建立可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量與輸入、輸出量的關(guān)系：狀態(tài)變量的選取狀態(tài)空間表達(dá)式的建立〔2〕只含有單實(shí)極點(diǎn)的情況(并聯(lián)分解〕典型一階慣性環(huán)節(jié)的狀態(tài)圖：假設(shè)設(shè)傳遞函數(shù)為狀態(tài)空間表達(dá)式的建立設(shè)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解〔1〕齊次狀態(tài)方程解1)冪級(jí)數(shù)法設(shè)的解是t的向量?jī)缂?jí)數(shù)代入比較等式兩邊的系數(shù)：狀態(tài)方程的解定義為矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)方程的解2)拉普拉斯變換解法對(duì)齊次方程兩邊取拉普拉斯變換狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)方程的解可以證明：無(wú)論矩陣A是否奇異，是非奇異的，即存在例1.用L變換求以下矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的解〔2〕狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有以下性質(zhì)：〔1〕〔2〕并且有〔3〕狀態(tài)方程的解〔4〕〔5〕令狀態(tài)方程的解〔7〕〔6〕狀態(tài)方程的解〔8〕假設(shè)假設(shè)〔9〕假設(shè)引入那么有狀態(tài)方程的解(10)兩種特殊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算A是約當(dāng)矩陣狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的解例１：求如下?tīng)顟B(tài)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)方程的解解：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)方程的解例２：求如下?tīng)顟B(tài)方程的解求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法一：狀態(tài)方程的解方法二狀態(tài)方程的解例３：求由狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的解〔3〕非齊次狀態(tài)方程的解求解方法：積分法和L變換法1)積分法有等式兩邊積分狀態(tài)方程的解一般有2)L變換法狀態(tài)方程的解狀態(tài)方程的解例4在例2已計(jì)算輸入為單位階躍函數(shù)狀態(tài)方程的解傳遞函數(shù)矩陣設(shè)令初始條件為零(1)定義傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣?yán)?：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣(2)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣G(s)H(s)開(kāi)環(huán)傳遞矩陣輸入向量與輸出向量之間的傳遞矩陣傳遞函數(shù)矩陣輸入向量與偏差向量之間的傳遞矩陣G(s)H(s)傳遞函數(shù)矩陣(3)傳遞矩陣的對(duì)角化與應(yīng)用——解耦控制每個(gè)輸入量一個(gè)輸出量解耦后的傳遞矩陣必為對(duì)角陣，即假設(shè)系統(tǒng)的輸入、輸出的維數(shù)相等。傳遞函數(shù)矩陣解耦后輸入輸出為了確保輸入能控制每個(gè)輸出，那么要求對(duì)角化的傳遞矩陣是非奇異的解耦控制——引入控制裝置使系統(tǒng)矩陣對(duì)角化線性定常系統(tǒng)的兩種簡(jiǎn)單的解耦的方法:(1)用串聯(lián)補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦(2)用前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦傳遞函數(shù)矩陣解耦控制——引入控制裝置使系統(tǒng)矩陣對(duì)角化1〕用串聯(lián)補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦H(s)傳遞函數(shù)矩陣

現(xiàn)希望為對(duì)角陣，各元素與性能指標(biāo)要求有關(guān)。假設(shè)在H為對(duì)角陣對(duì)角陣為對(duì)角陣串聯(lián)補(bǔ)償器設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)矩陣2〕用前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦原閉環(huán)系統(tǒng)引入前饋后前饋補(bǔ)償器設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)矩陣?yán)?：設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖解耦系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞矩陣傳遞函數(shù)矩陣〔1〕原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣(2)串聯(lián)補(bǔ)償器設(shè)計(jì)設(shè)反響矩陣傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦:前饋補(bǔ)償器設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性用狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)，一般要考慮兩個(gè)問(wèn)題：〔1〕在有限時(shí)間內(nèi)，能否通過(guò)施加適當(dāng)?shù)目刂屏繉⑾到y(tǒng)從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到其它確定的狀態(tài)上去?！部煽匦詥?wèn)題〕〔2〕由于狀態(tài)變量不是都可測(cè)量，能否在有限的時(shí)間內(nèi)根據(jù)對(duì)輸出的測(cè)量來(lái)確定初態(tài)。〔可觀測(cè)性問(wèn)題〕線性系統(tǒng)的可控性1、線性系統(tǒng)的可控性例1：一系統(tǒng)的狀態(tài)方程可控性問(wèn)題〔1〕假設(shè)，可以控制并且通過(guò)耦合關(guān)系影響到達(dá)間接控制，所以都是可控制的?！?〕假設(shè)，可以控制，不能影響，所以不可控制的。線性系統(tǒng)的可控性例2：電橋電路設(shè)狀態(tài)變量分別為輸出變量為電路動(dòng)態(tài)方程：線性系統(tǒng)的可控性輸入電壓同時(shí)控制電路狀態(tài)可控。當(dāng)電橋處于平衡，假設(shè)無(wú)論輸入變化，但。不可控當(dāng)電橋平衡時(shí)，動(dòng)態(tài)方程化簡(jiǎn)為從上述關(guān)系可知：不可控電橋電路的狀態(tài)不完全可控。線性系統(tǒng)的可控性可控性定義考慮線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)可控:p.469系統(tǒng)可控:p.470系統(tǒng)不完全可控:p.470線性系統(tǒng)的可控性容許控制線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)可控性與初始時(shí)刻的選取無(wú)關(guān)狀態(tài)與系統(tǒng)可達(dá)：線性定常連續(xù)系統(tǒng)：可控性和可達(dá)性是等價(jià)的離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，可控性和可達(dá)性兩者是不一定等價(jià)的．線性系統(tǒng)的可觀性2、線性系統(tǒng)的可觀測(cè)性考慮線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)方程的解輸出響應(yīng)假設(shè)，均，初始狀態(tài)未知線性系統(tǒng)的可觀性可觀測(cè)性是可由完全估計(jì)的性能．可由來(lái)估計(jì)系統(tǒng)完全可觀測(cè)：p.471系統(tǒng)不可觀測(cè)：p.471線性系統(tǒng)的可控性判據(jù)3.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)設(shè)單輸入/單輸出線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控即在線性系統(tǒng)的可控性判據(jù)令：關(guān)心的是找出能判定系統(tǒng)可控的條件，由凱勒-哈密頓定理線性系統(tǒng)的可控性判據(jù)或：可控性矩陣上述線性方程組有解〔單輸入/單輸出系統(tǒng)可控〕的充要條件：同理可以導(dǎo)出多輸入系統(tǒng)的可控的充要條件：輸入為p維上述線性方程組有解〔多輸入系統(tǒng)的可控〕的充要條件：線性系統(tǒng)的可控性判據(jù)例3：判斷以下系統(tǒng)的可控性系統(tǒng)不可控線性系統(tǒng)的可觀性判據(jù)４、線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)線性定常系統(tǒng)的輸出：局部令：由凱勒-哈密頓定理，可得線性系統(tǒng)的可觀性判據(jù)由量測(cè)值唯一地確定的充要條件〔系統(tǒng)可觀性充要條件〕：多輸出系統(tǒng)的可觀測(cè)性的充要條件：線性系統(tǒng)的可觀性判據(jù)例：判斷以下連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性〔1〕〔2〕線性系統(tǒng)的可觀性判據(jù)例：系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述判別系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性。解：可控性矩陣系統(tǒng)不可控?？捎^測(cè)矩陣系統(tǒng)不可觀測(cè)。對(duì)偶性原理5．對(duì)偶性原理可控性與可觀性在概念和判據(jù)形式上，具有一定的相似性，兩者之間存在一定的內(nèi)在關(guān)系，這種內(nèi)在關(guān)系稱為對(duì)偶性原理。設(shè)系統(tǒng)定義系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)對(duì)偶性原理系統(tǒng)：對(duì)偶系統(tǒng)：系統(tǒng)與對(duì)偶系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性之間的關(guān)系系統(tǒng)可控性充要條件：對(duì)偶性原理可觀測(cè)性充要條件：對(duì)偶系統(tǒng)可控性充要條件：可觀測(cè)性充要條件：等價(jià)對(duì)偶性原理對(duì)偶系統(tǒng)系統(tǒng)可控性充要條件可觀測(cè)性充要條件對(duì)偶系統(tǒng)系統(tǒng)可控性充要條件可觀測(cè)性充要條件對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型經(jīng)線性非奇異變換后對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論：線性非奇異變換不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)〔1〕可控性判據(jù)系數(shù)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型n個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)特征值n個(gè)維的行向量系統(tǒng)可控的充要條件：對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)由滿秩

行線性無(wú)關(guān)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)結(jié)論：系統(tǒng)可控的充要條件假設(shè)中某個(gè)行向量為零向量，所對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量是不可控的。即均不為零向量對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)例3：可以看出：系統(tǒng)是可控的，如果那么系統(tǒng)不可控，不可控分量不失一般性，討論以下系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣系統(tǒng)可控的充要條件：系數(shù)矩陣A為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)〔2〕可觀測(cè)性判據(jù)系數(shù)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型n個(gè)行向量由于對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)由滿秩

列線性無(wú)關(guān)即均不為零向量結(jié)論：系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件假設(shè)中某個(gè)列向量為零向量，所對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量是不可觀測(cè)的。對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)系數(shù)矩陣A為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型不失一般性，討論以下系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件：上述結(jié)論可推廣到n維狀態(tài)空間。對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型可控性和可觀測(cè)性判據(jù)判斷系統(tǒng)的可觀性。系統(tǒng)狀態(tài)不可觀例4：例題-判斷可控性1.2.3.例題-判斷可控性4.5.6.例題-判斷可觀性1.2.3.例題-判斷可觀性4.5.6.可控性和可觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，既可以用狀態(tài)空間模型去描述，又可以用傳遞函數(shù)去表征。這兩種描述方法所得結(jié)果是否完全相同？圖示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：存在零點(diǎn)與極點(diǎn)相消?？煽匦院涂捎^性與傳遞函數(shù)的關(guān)系狀態(tài)空間描述：可控性和可觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系定理2：?jiǎn)屋斎?單輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)假設(shè)有零、極點(diǎn)對(duì)消，根據(jù)狀態(tài)變量的不同選擇，系統(tǒng)或?yàn)椴豢煽?，或?yàn)椴豢捎^，或既不可控又不可觀。什么情況下，兩種描述等價(jià)？定理1：給定系統(tǒng)(A,B,C)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)所表示的是該系統(tǒng)可控并且可觀測(cè)的那局部子系統(tǒng)。實(shí)際系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？煽貥?biāo)準(zhǔn)型和可觀標(biāo)準(zhǔn)型線性定常系統(tǒng)的線性變換對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換的目的:便于系統(tǒng)分析與綜合設(shè)計(jì)線性變換后的典型形式:系統(tǒng)矩陣Ａ對(duì)角化系統(tǒng)矩陣Ａ約當(dāng)化{A,b}化為可控標(biāo)準(zhǔn)型{A,c}化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)描述為令P是線性非奇異變換陣非奇異變換的目的使得標(biāo)準(zhǔn)化，便于分析和計(jì)算常用的線性變換關(guān)系〔1〕化A陣為對(duì)角型1)設(shè)為任意形式的方陣，有n個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)特征值是以下特征方程的解非奇異變換陣有實(shí)數(shù)特征向量組成特征向量滿足以下方程式：常用的線性變換關(guān)系2〕假設(shè)為友矩陣，具有n個(gè)互不相同的特征值那么范德蒙特矩陣常用的線性變換關(guān)系3〕設(shè)A陣具有m重實(shí)數(shù)特征值，其余為〔n-m〕個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)特征值，在求解時(shí)仍然有m個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量常用的線性變換關(guān)系例1：將以下?tīng)顟B(tài)方程化為對(duì)角線型解：特征方程常用的線性變換關(guān)系常用的線性變換關(guān)系常用的線性變換關(guān)系〔2〕化陣為Jordan型1)設(shè)A矩陣具有m重實(shí)數(shù)特征值，其余為〔n-m〕個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)特征值，在求解時(shí)，只有一個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量只能化A為Jordan型矩陣Jordan塊常用的線性變換關(guān)系這時(shí)是廣義實(shí)特征向量，滿足是互不相同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量常用的線性變換關(guān)系2)假設(shè)A為友矩陣〔可控標(biāo)準(zhǔn)型的A矩陣〕只有一個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量常用的線性變換關(guān)系3)設(shè)A陣有五重特征值有兩個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量其余(n-5)個(gè)特征值為互異，可能化A為如下Jordan型矩陣常用的線性變換關(guān)系〔3〕化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型單輸入系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型可控性矩陣一個(gè)不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型的可控系統(tǒng)，可以通過(guò)線性變換化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。常用的線性變換關(guān)系設(shè)設(shè)變換陣常用的線性變換關(guān)系變換陣P可由以下計(jì)算獲得：(a)計(jì)算(b)計(jì)算(c)選擇(d)構(gòu)造Ｐ(e)計(jì)算對(duì)偶原理求可觀標(biāo)準(zhǔn)型求的可觀標(biāo)準(zhǔn)型寫出對(duì)偶系統(tǒng)列出對(duì)偶系統(tǒng)可控性矩陣求出對(duì)偶系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型得到原系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)型非奇異線性變換的不變性令(1)變換后的系統(tǒng)特征值不變非奇異線性變換的不變性(2)變換后的系統(tǒng)傳遞矩陣不變(3)變換后的系統(tǒng)可控性不變(4)變換后的系統(tǒng)可觀測(cè)性不變線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一個(gè)不可控系統(tǒng)，必然含有“可控〞和“不可控〞兩種狀態(tài)．一個(gè)狀態(tài)不完全可觀測(cè)的系統(tǒng)，必然含有“可觀測(cè)〞和“不可觀測(cè)〞兩局部狀態(tài)從可控性、可觀測(cè)性出發(fā)，狀態(tài)變量可以分為：可控可觀測(cè)：不可控不可觀測(cè)：可控不可觀測(cè)：不可控可觀測(cè)：假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控、不完全可觀測(cè)，那么可通過(guò)線性非奇異變換，將系統(tǒng)分解為上述四類子系統(tǒng)：系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)分解線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解〔1〕系統(tǒng)按可控性結(jié)構(gòu)分解設(shè)：不完全可控系統(tǒng)假設(shè)可控性矩陣從中選擇個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量另任意選個(gè)維的線性無(wú)關(guān)的列向量構(gòu)造一個(gè)非奇異變換陣線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解可控子系統(tǒng)：不可控子系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解特點(diǎn)：1)線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解2)若不可控子系統(tǒng)的僅含穩(wěn)定的特征值，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。3)由于的不唯一性，可控性結(jié)構(gòu)分解是不唯一的。線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解5)可控性結(jié)構(gòu)分解實(shí)際上為判斷系統(tǒng)可控性提供了一個(gè)準(zhǔn)那么。

4)可控子系統(tǒng)的穩(wěn)定性由的特征值所決定，不可控子系統(tǒng)的穩(wěn)定性由的特征值所決定線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解〔2〕系統(tǒng)按可觀測(cè)性結(jié)構(gòu)分解設(shè)：不完全可觀測(cè)控系統(tǒng)假設(shè)可觀測(cè)性矩陣線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解從中選擇個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量另任意選個(gè)維的線性無(wú)關(guān)的行向量構(gòu)造一個(gè)非奇異變換陣線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解可觀測(cè)子系統(tǒng)：不可觀測(cè)子系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解〔3〕系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)分解設(shè)：不完全可控、不完全可觀測(cè)控系統(tǒng)1〕進(jìn)行可控性分解2〕對(duì)可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解根據(jù)可控性矩陣構(gòu)造根據(jù)可控子系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣構(gòu)造線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3〕對(duì)不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測(cè)性分解根據(jù)不可控子系統(tǒng)的可觀測(cè)矩陣構(gòu)造線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解不可控不可觀測(cè)子系統(tǒng)：不可控可觀測(cè)子系統(tǒng)：可控可觀測(cè)子系統(tǒng)：可控不可觀測(cè)子系統(tǒng)：系統(tǒng)特征值：線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣：線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)輸出反響:用輸出量作為反響狀態(tài)反響:用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量作為反響基于經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)設(shè)計(jì)與綜合：輸出反響?；诂F(xiàn)代控制理論〔狀態(tài)空間法〕的系統(tǒng)設(shè)計(jì)與綜合采用：狀態(tài)反響、輸出反響狀態(tài)反響需要狀態(tài)可物理測(cè)量，實(shí)際不可能完全物理上可檢測(cè)的。狀態(tài)觀測(cè)器問(wèn)題線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)1〕狀態(tài)反響設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型設(shè)系統(tǒng)的控制量：狀態(tài)反響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)狀態(tài)反響后的傳遞函數(shù)矩陣：閉環(huán)系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)2〕輸出反響輸出反響到狀態(tài)微分的反響系統(tǒng)輸出反響兩種輸出反響：〔1〕輸出反響到狀態(tài)微分的反響系統(tǒng)〔2〕輸出反響到參考輸入的反響系統(tǒng)傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)輸出反響到參考輸入的反響系統(tǒng)傳遞函數(shù)：如果輸出反響等價(jià)與狀態(tài)反響線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)〔2〕反響結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)性能的影響狀態(tài)反響、輸出反響都會(huì)改變系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，會(huì)影響系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性、響應(yīng)特性等。1〕對(duì)系統(tǒng)可控性和可觀測(cè)性的影響定理9-1：狀態(tài)反響的引入不改變系統(tǒng)可控性，但可能改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性。狀態(tài)反響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)狀態(tài)反響可能會(huì)影響系統(tǒng)的可觀性的解釋:由輸出方程：假設(shè)輸出的量測(cè)中不含有任何系統(tǒng)狀態(tài)。線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)定理9-2：輸出反響到狀態(tài)微分的反響系統(tǒng)，不改變系統(tǒng)可觀測(cè)性，但可能改變系統(tǒng)的可控性。定理9-3：輸出反響到參考輸入的反響系統(tǒng)〔即輸出反響〕，不改變系統(tǒng)可控性和可觀測(cè)性。線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)2〕對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響狀態(tài)反響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)反響和輸出反響都會(huì)改變系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，所以其會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。假設(shè)狀態(tài)反響系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，那么要求〔A-BK〕的特征值均有負(fù)實(shí)部，那么系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反響鎮(zhèn)定假設(shè)通過(guò)狀態(tài)反響使得閉環(huán)系統(tǒng)成為穩(wěn)定系統(tǒng)，那么稱為鎮(zhèn)定．線性定常系統(tǒng)的反響結(jié)構(gòu)定理9-4：當(dāng)且僅當(dāng)線性定常系統(tǒng)的不可控局部漸近穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)是狀態(tài)可鎮(zhèn)定的。由于系統(tǒng){A,B}不完全可控，那么有可控性結(jié)構(gòu)分解引入狀態(tài)反響系統(tǒng)的極點(diǎn)配置閉環(huán)系統(tǒng)的性能與閉環(huán)極點(diǎn)〔特征值〕密切相關(guān)。在經(jīng)典控制理論中用調(diào)整開(kāi)環(huán)增益、串聯(lián)校正、并聯(lián)校正來(lái)配置閉環(huán)極點(diǎn)，改善閉環(huán)系統(tǒng)的性能。狀態(tài)空間方法：利用狀態(tài)反響或輸出反響來(lái)配置極點(diǎn)。狀態(tài)反響在形成最優(yōu)控制、克服和抑制擾動(dòng)作用、實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦控制等方面具有很多的應(yīng)用。兩個(gè)問(wèn)題：〔１〕極點(diǎn)可配置的條件；〔２〕確定極點(diǎn)配置所需要的反響增益矩陣。系統(tǒng)的極點(diǎn)配置1〕利用狀態(tài)反響的極點(diǎn)可配置條件定理9-5：用狀態(tài)反響任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件：受控系統(tǒng)可控證明：(1)極點(diǎn)可配置條件在此討論的極點(diǎn)配置條件適合于:單輸入-單輸出系統(tǒng),多輸入-多輸出系統(tǒng)。以單輸入-多輸出系統(tǒng)來(lái)證明該定理。系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)受控系統(tǒng){A,b}是狀態(tài)可控的，經(jīng)非奇異變換將矩陣A、b可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，有〔1〕充分性系統(tǒng)的極點(diǎn)配置變換后的狀態(tài)反響矩陣系統(tǒng)的極點(diǎn)配置通過(guò)選擇可以滿足方程中n個(gè)任意特征值。系統(tǒng)的極點(diǎn)配置〔２〕必要性假設(shè)系統(tǒng)不可控，必有一局部狀態(tài)與無(wú)關(guān)，不可能具有可控標(biāo)準(zhǔn)型，也就不可能得到全狀態(tài)反響，不可控局部的子系統(tǒng)的特征值不能重新配置。經(jīng)過(guò)變換后的系統(tǒng)的極點(diǎn)配置證明：

以多輸入-單輸出系統(tǒng)為例，給出定理的證明：2〕利用輸出反響的極點(diǎn)可配置條件定理9-6：1、用輸出反響到狀態(tài)微分的反響任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件：受控系統(tǒng)可觀測(cè)由對(duì)偶定理：假設(shè)受控系統(tǒng){A,B,c}可觀測(cè)，那么對(duì)偶系統(tǒng){AT,cT,BT}可控，由狀態(tài)反響極點(diǎn)配置定理知的特征值可任意配置。說(shuō)明：當(dāng)且僅當(dāng)受控系統(tǒng){A,B,c}可觀測(cè)，那么〔A-hc)的特征值可任意配置。系統(tǒng)的極點(diǎn)配置適中選擇f可實(shí)現(xiàn)特征值任意配置。2、用輸出反響到參考輸入端，反響增益矩陣為F，在單輸出情況下，F(xiàn)=f，那么另一方面，如果比例的狀態(tài)反響要用輸出反響來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題：這時(shí)要求輸出反響含有輸出量的導(dǎo)數(shù)，f不是常數(shù)矩陣；顯然，假設(shè)f是常數(shù)矩陣就不能任意配置極點(diǎn)。系統(tǒng)的極點(diǎn)配置〔2〕單輸入－單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置算法計(jì)算狀態(tài)反響增益矩陣的標(biāo)準(zhǔn)算法：給定可控系統(tǒng){A,b}和期望的閉環(huán)特征值，要確定狀態(tài)反響增益向量，使閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)矩陣的特征值為〔１〕計(jì)算Ａ的特征多項(xiàng)式〔２〕計(jì)算由所決定的希望特征多項(xiàng)式系統(tǒng)的極點(diǎn)配置(4)計(jì)算變換陣(5)求P(6)計(jì)算反響增益向量(3)計(jì)算系統(tǒng)的極點(diǎn)配置例1：受控系統(tǒng)求狀態(tài)反響矩陣使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為解：〔1〕列寫狀態(tài)空間表達(dá)式，能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)配置例2：受控系統(tǒng)求狀態(tài)反響矩陣研究使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為的可能性。解：對(duì)象傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)可控不可觀，或系統(tǒng)不可控可觀。假設(shè)按可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，那么狀態(tài)反響矩陣設(shè)計(jì)結(jié)果和例1一致?，F(xiàn)按可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反響矩陣系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)配置上述方程與方程〔1〕是矛盾的，所以無(wú)解，表示系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控，無(wú)法用狀態(tài)反響實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置。系統(tǒng)的極點(diǎn)配置例３系統(tǒng)狀態(tài)方程求狀態(tài)反響向量，使系統(tǒng)的閉環(huán)特征值為解：系統(tǒng)的可控性判別矩陣系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式希望特征多項(xiàng)式那么可求得變換陣標(biāo)準(zhǔn)算法系統(tǒng)的極點(diǎn)配置一般方法:系統(tǒng)的極點(diǎn)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)配置〔3〕狀態(tài)反響對(duì)傳遞函數(shù)零點(diǎn)的影響設(shè)受控系統(tǒng){A,b}是狀態(tài)可控的，經(jīng)非奇異變換將矩陣A、b可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，有系統(tǒng)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反響后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)狀態(tài)反響后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不改變。但這時(shí)，可能會(huì)存在閉環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)產(chǎn)生對(duì)消，并且造成被對(duì)消掉的極點(diǎn)后的系統(tǒng)狀態(tài)不可觀測(cè)。全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器、狀態(tài)估計(jì)器、狀態(tài)重構(gòu)器全維狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)=被控對(duì)象的狀態(tài)維數(shù)〔1〕全維狀態(tài)觀測(cè)器的構(gòu)成方案被控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程：上述的模擬系統(tǒng)模型：由于兩個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)可能不同，即存在狀態(tài)誤差：輸出誤差：全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)根據(jù)反響控制原理：狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)微分端狀態(tài)觀測(cè)器及其狀態(tài)反響結(jié)構(gòu)圖KABCHABC狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)〔２〕全維狀態(tài)觀測(cè)器分析與設(shè)計(jì)由狀態(tài)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣：決定了觀測(cè)器的特征值觀測(cè)器設(shè)計(jì)是要求兩個(gè)系統(tǒng)在任意的初始狀態(tài)，都能保證上述也稱為觀測(cè)器存在的條件。全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)考察狀態(tài)誤差動(dòng)態(tài)方程由狀態(tài)誤差動(dòng)態(tài)方程的解：所引入的輸出反響不起作用假設(shè)輸出反響起作用假設(shè)的特征值具有負(fù)實(shí)部，那么全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)定理9-7：假設(shè)系統(tǒng)〔A，B，C〕狀態(tài)可觀測(cè)，那么狀態(tài)可用的全維狀態(tài)觀測(cè)器給出估計(jì)值，其中H按任意配置極點(diǎn)的要求來(lái)選擇，以決定狀態(tài)誤差的衰減速率。全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)例4：設(shè)被控對(duì)象試設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，將極點(diǎn)配置到解：〔1〕列寫狀態(tài)空間模型，如考慮可控標(biāo)準(zhǔn)型全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)〔2〕設(shè)計(jì)輸出反響陣觀測(cè)器特征方程：期望觀測(cè)器特征方程：全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)4、別離特性兩個(gè)問(wèn)題：〔1〕在狀態(tài)反響系統(tǒng)中，用狀態(tài)估計(jì)值是否要重新計(jì)算狀態(tài)反響增益矩陣K？〔2〕當(dāng)觀測(cè)器被引入系統(tǒng)后，狀態(tài)反響局部會(huì)改變已經(jīng)設(shè)計(jì)好的觀測(cè)器的極點(diǎn)配置？設(shè)控制輸入：全維狀態(tài)觀測(cè)器：全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)構(gòu)造2n維復(fù)合系統(tǒng)：引入狀態(tài)誤差動(dòng)態(tài)方程：對(duì)2n維復(fù)合系統(tǒng)，引入非奇異變換：全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)注意：對(duì)2n維復(fù)合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)對(duì)2n維復(fù)合系統(tǒng)的特征值定理9-8(別離定理)：假設(shè)被控系統(tǒng)〔Ａ，Ｂ，Ｃ〕可控可觀測(cè)，用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成的狀態(tài)反響，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可以分別進(jìn)行．全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)在例4中：被控對(duì)象〔全維狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)：解：〔1〕列寫狀態(tài)空間模型，如考慮可控標(biāo)準(zhǔn)型采用例4設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器并通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反響，將經(jīng)狀態(tài)反響后的閉環(huán)系統(tǒng)滿足：全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反響系統(tǒng)的狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)反饋輸出反響與極點(diǎn)配置輸出反響與極點(diǎn)配置多輸入單輸出系統(tǒng)，輸出反響到狀態(tài)微分的反響系統(tǒng)輸出反響輸出反響與極點(diǎn)配置定理：用輸出反響到狀態(tài)微分，實(shí)現(xiàn)任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件：受控系統(tǒng)可觀測(cè)。輸出反響到狀態(tài)微分的反響系統(tǒng)的一些性質(zhì)：〔1〕輸出反響不會(huì)改變系統(tǒng)的可觀性，即經(jīng)過(guò)輸出反響后系統(tǒng)仍然可觀測(cè)，不會(huì)改變閉環(huán)零點(diǎn)；〔2〕輸出反響可能會(huì)影響系統(tǒng)的可控性輸出反響與極點(diǎn)配置輸出反響到參考輸入的反響系統(tǒng)輸出反響與極點(diǎn)配置狀態(tài)反響輸出反響到參考輸入的反響系統(tǒng)的一些性質(zhì)：〔1〕h為常數(shù)矩陣時(shí)，不能任意配置閉環(huán)極點(diǎn)?！?〕不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性李雅普諾夫穩(wěn)定性概念如果對(duì)于所有t，滿足的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)〔平衡點(diǎn)〕。1)平衡狀態(tài):平衡狀態(tài)的各分量不再隨時(shí)間變化；假設(shè)狀態(tài)方程，令所求得的解x,便是平衡狀態(tài)?！?〕只有狀態(tài)穩(wěn)定，輸出必然穩(wěn)定；〔2〕穩(wěn)定性與輸入無(wú)關(guān)。2)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義：如果對(duì)于任意小的>0，均存在一個(gè)，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足lim，那么稱該平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱是穩(wěn)定的。表示狀態(tài)空間中x0點(diǎn)至xe點(diǎn)之間的距離，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：3)一致穩(wěn)定性：通常δ與、t0都有關(guān)。如果δ與t0無(wú)關(guān)，那么稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的δ與t0無(wú)關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，那么一定是一致穩(wěn)定的。李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4〕漸近穩(wěn)定性：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普假設(shè)夫意義下的穩(wěn)定性，且有：

稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。5〕大范圍穩(wěn)定性：

當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。此時(shí)。6〕不穩(wěn)定性：不管δ取得得多么小，只要在內(nèi)有一條從x0出發(fā)的軌跡跨出，那么稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。注意：按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)那么認(rèn)為是穩(wěn)定的，同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性概念設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于平衡狀態(tài)xe為球心、半徑為δ的閉球域內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，那么狀態(tài)方程的解在的過(guò)程中，都位于以xe為球心，半徑為ε的閉球域內(nèi)?！瞐〕李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性〔b〕漸近穩(wěn)定性〔c〕不穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法李雅普諾夫第一法〔間接法〕是利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時(shí)變及可線性化的非線性系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部，即李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法李雅普諾夫第二法〔直接法〕根本原理：根據(jù)物理學(xué)原理，假設(shè)系統(tǒng)貯存的能量〔含動(dòng)能與位能〕隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會(huì)到達(dá)平衡狀態(tài)。

實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與及t有關(guān)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，記以；假設(shè)不顯含t，那么記以。

考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。

實(shí)踐說(shuō)明，對(duì)于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性正定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)有且，那么稱均在域S內(nèi)正定。如是正定的。負(fù)定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零x有且，那么稱在域S內(nèi)負(fù)定。如是負(fù)定的。如果是負(fù)定的，那么一定是正定的。負(fù)〔正〕半定性：，且在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有，而其它狀態(tài)處均有〔〕，那么稱在域S內(nèi)負(fù)〔正〕半定。設(shè)為負(fù)半定，那么為正半定。如為正半定不定性:在域S內(nèi)可正可負(fù)，那么稱不定。如是不定的。二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記其中，P為對(duì)稱矩陣，有。

標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí)，即那么正定，且稱P為正定矩陣。當(dāng)P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，即那么負(fù)定，且稱P為負(fù)定矩陣。假設(shè)主子行列式含有等于零的情況，那么為正半定或負(fù)半定。不屬以上所有情況的不定。李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性定理

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)滿足,不失一般性地把狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài),并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在對(duì)x的連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。

定理1假設(shè)〔1〕正定，〔2〕負(fù)定；那么原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。負(fù)定表示