吉林省長春市九臺(tái)區(qū)師范高中、實(shí)驗(yàn)高中2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

吉林省長春市九臺(tái)區(qū)師范高中、實(shí)驗(yàn)高中2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．若，，，則有A. B.C. D.2．已知，設(shè)函數(shù)，的最大值為A，最小值為B，那么A＋B的值為（）A.4042 B.2021C.2020 D.20243．設(shè)，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．一個(gè)球的內(nèi)接正方體的表面積為54，則球的表面積為（）A. B.C. D.6．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)白球與都是紅球 B.恰好有一個(gè)白球與都是紅球C.至少有一個(gè)白球與都是白球 D.至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球7．已知，且滿足，則值A(chǔ). B.C. D.8．設(shè)是兩個(gè)單位向量，且，那么它們的夾角等于（）A. B.C. D.9．已知是方程的兩根，且，則的值為A. B.C.或 D.10．命題“”的否定是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A. B. C. D.12．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＜0}，則?AB=___13．袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，不放回地從中依次隨機(jī)摸出2球，則2球顏色相同的概率等于________14．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是_______15．的邊的長分別為，且，，，則__________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知，求下列各式的值.（1）；（2）.17．已知的三個(gè)頂點(diǎn).求：（1）邊上高所在的直線方程；（2）邊中線所在的直線方程.18．已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的值域；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由19．已知全集，，.（1）當(dāng)時(shí)，，；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，20．（1）求值：；（2）求值：；（3）已知，求的值21．已知函數(shù)f（x）=-，若x∈R，f（x）滿足f（-x）=-f（x）（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)f（x）（x∈R）的單調(diào)性，并說明理由；（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2-4t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別將與作比較，從而得到結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題，常用方法是采用臨界值的方式，通過與臨界值的大小關(guān)系得到所求的大小關(guān)系.2、D【解析】由已知得，令，則，由的單調(diào)性可求出最大值和最小值的和為，即可求解.【詳解】函數(shù)令，∴，又∵在，時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)；∴最大值和最小值的和為，函數(shù)的最大值為，最小值為；則；故選：3、C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，且，所以.故選：C.4、C【解析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍【詳解】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵5、A【解析】球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線就是球的直徑，正方體的棱長為a，球的半徑為r，則，求出正方體棱長，再求球半徑即可【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，則，所以又因所以所以故選：A【點(diǎn)睛】考查球內(nèi)接正方體棱長和球半徑的關(guān)系以及球表面積的求法，基礎(chǔ)題.6、B【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可.【詳解】解：對(duì)于A，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件：“恰好有一個(gè)白球”與事件：“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球，所以兩個(gè)事件互斥而不對(duì)立，故B正確；對(duì)于C，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生，所以這兩個(gè)事件不是互斥的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“至少一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，即“一個(gè)白球，一個(gè)紅球”，所以這兩個(gè)事件不是互斥的，故D錯(cuò)誤.故選：B.7、C【解析】由可求得，然后將經(jīng)三角變換后用表示，于是可得所求【詳解】∵,∴,解得或∵,∴∴故選C【點(diǎn)睛】對(duì)于給值求值的問題，解答時(shí)注意將條件和所求值的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕啠缓蠛侠淼剡\(yùn)用條件達(dá)到求解的目的，解題的關(guān)鍵進(jìn)行三角恒等變換，考查變換轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力8、C【解析】由條件兩邊平方可得，代入夾角公式即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得：，又是兩個(gè)單位向量，∴∴∴它們的夾角等于故選C【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，向量夾角余弦的計(jì)算公式，以及已知三角函數(shù)求角，清楚向量夾角的范圍9、A【解析】∵是方程的兩根，∴，∴又，∴，∵，∴又，∴，∴．選A點(diǎn)睛：解決三角恒等變換中給值求角問題的注意點(diǎn)解決“給值求角”問題時(shí)，解題的關(guān)鍵也是變角，即把所求角用含已知角的式子表示，然后求出適合的一個(gè)三角函數(shù)值．再根據(jù)所給的條件確定所求角的范圍，最后結(jié)合該范圍求得角，有時(shí)為了解題需要壓縮角的取值范圍10、C【解析】全稱命題的否定是存在性命題，所以，命題“”的否定是，選C.考點(diǎn)：全稱命題與存在性命題.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、D【解析】由于函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的圖象可知該函數(shù)的半周期大于或等于，所以，所以選擇D考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)12、[1，+∞）【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，利用補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】,所以，故答案為.【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且不屬于集合的元素的集合.13、【解析】把4個(gè)球編號(hào)，用列舉法寫出所有基本事件，并得出2球顏色相同的事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】2個(gè)紅球編號(hào)為，2個(gè)白球編號(hào)為，則依次取2球的基本事件有：共6個(gè)，其中2球顏色相同的事件有共2個(gè)，所求概率為故答案為：14、【解析】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為則因此圓錐的高是考點(diǎn)：圓錐的側(cè)面展開圖15、【解析】由正弦定理、余弦定理得答案：三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）2（2）【解析】（1）依據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡后去求解即可解決；（2）轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)齊次式的值即可解決.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.17、（1）；（2）.【解析】（1）利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得高所在的直線的斜率，進(jìn)而得出點(diǎn)斜式（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得邊的中點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式即可得出【詳解】解：（1）又因?yàn)榇怪保本€的方程為，即；（2）邊中點(diǎn)E，中線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)式、一般式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求對(duì)稱軸，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出值域；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象在內(nèi)有唯一交點(diǎn)，根據(jù)中是否為零，分類討論，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為：，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；則，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?；（Ⅱ）由，令，可得，即，令，，，函?shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，而，所以函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內(nèi)有唯一交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，所以.③當(dāng)時(shí)，圖象開口向上，對(duì)稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內(nèi)有唯一交點(diǎn)，，即，解得，所以.綜上，存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了求一元二次函數(shù)的值域問題，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力.19、（1），或；（2）【解析】（1）解不等式，求出，進(jìn)而求出與；（2）利用交集結(jié)果得到集合包含關(guān)系，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，或；【小問2詳解】因?yàn)椋?，要滿足，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是20、（1）90；（2）0；（3）.【解析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求代數(shù)式的值.（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求代數(shù)式的值.（3）將給定的代數(shù)式兩邊平方后得到，再次平方后則可求的值.【詳解】（1）原式（2）原式（3）因?yàn)椋瑑蛇吰椒降眉此约从?，所?1、（1）1；（2）見解析；（3）【解析】（1）根據(jù)f（-x）=-f（x）代入求得a值；（2）f（x）是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，利用定義證明即可；（3）根據(jù)題意把不等式化為t2-4t＞k，求出f（t）=t2-4t的最小值，即可得出k的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)f（x）=-，x∈R，且f（-x）=-f（x），∴-=-+，∴a=+=+=1；（2）f（x）=-是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，證明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=-=