新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（講）解析版

專題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示新課程考試要求1.理解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡單問題.2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3．掌握平面向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）等.考向預(yù)測(cè)（1）考查平面向量基本定理、坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算；（2）以考查向量的數(shù)量積、夾角、模、垂直的條件等問題為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；（3）常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查共線、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．(4)理解坐標(biāo)表示是基礎(chǔ)，掌握坐標(biāo)運(yùn)算的方法是關(guān)鍵；(5)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時(shí)，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解題.【知識(shí)清單】1．平面向量基本定理平面向量基本定理如果是一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定，因此把叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)．(2)若，則．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若，則；(2)若，則．(3)設(shè)，則，.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示若，則?.4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則：1．a(chǎn)·b＝a1b1＋a2b2.2．a(chǎn)⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).4．cosθ＝＝.(θ為a與b的夾角)【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：平面向量基本定理及其應(yīng)用【典例1】（2020·全國高一單元測(cè)試）在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用SKIPIF1<0分別表示SKIPIF1<0.（2）如圖2，如果O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）利用平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【典例2】（2017·全國高考真題（理））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（）A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A0,1易得圓的半徑r=25，即圓C的方程是AP=x,y?1,則x=2μy?1=?λ，μ=x2設(shè)z=x2?y+1，即x2?y+1?z=0所以圓心(2,0)到直線x2?y+1?z=0的距離d≤r，即2?z1所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故選A.【典例3】（2019·山東高考模擬（文））如圖，在ΔABC中，AN=23NC，P是BN上一點(diǎn)，若【答案】1【解析】由題意及圖，AP→又AN→=23NC→，所以AN→又AP→=tAB→+13AC→，所以故答案為：16【總結(jié)提升】1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算．2.特別注意基底的不唯一性：只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個(gè)平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．【變式探究】1.（2020·煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院高一期末）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.2.（2019·江西高考模擬（理））如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選：A．3．（2021·全國高三其他模擬（理））在平行四邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】找一組基向量分別表示出SKIPIF1<0，再用待定系數(shù)法即可求得．【詳解】SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【易錯(cuò)提醒】平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例4】（2021·北京首都師大二附高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，則SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】D【解析】由坐標(biāo)知SKIPIF1<0，利用模長公式求得模長，結(jié)合三角函數(shù)兩角差的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】由A，B坐標(biāo)知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：D【典例5】（2020·天津?yàn)I海新·高三月考）如圖，，點(diǎn)由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則可知：若取，則，點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)，A正確；若取，則，點(diǎn)在直線的上方，B錯(cuò)誤；若取，則，點(diǎn)在直線的下方，C錯(cuò)誤；若取，則，點(diǎn)在射線上，D錯(cuò)誤，故選：A.【總結(jié)提升】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解．【變式探究】1．（2019·吉林高考模擬（理））已知向量a=(cosθ?2,sinθ)A．1 B．2 C．5 D．3【答案】A【解析】因?yàn)閍=(所以a=因?yàn)棣取蔙，所以?1≤cosθ≤1，故a的最小值為故選A2．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，則，則______，______．【答案】3【解析】由，可得，因?yàn)?，即，可得，解?故答案為：，.考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示【典例6】（2018·全國高考真題（文））已知向量，，．若，則________．【答案】【解析】由題可得,即故答案為【典例7】（2020·桂陽縣第二中學(xué)期中）已知、、，，.（1）求點(diǎn)、及向量的坐標(biāo)；（2）求證：.【答案】（1），，（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，即，解得：，故設(shè)點(diǎn)，即，解得，故（2），，故【規(guī)律方法】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．【變式探究】1．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高一期中）設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出SKIPIF1<0，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】向量SKIPIF1<0（1，1），SKIPIF1<0（﹣1，3），SKIPIF1<0（2，1），所以SKIPIF1<0（1+λ，1﹣3λ），又（SKIPIF1<0）∥SKIPIF1<0，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λSKIPIF1<0.故選：D2.【多選題】（2020·山東諸城·高一期中）已知，，則以下結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】BD【解析】，則.對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，或，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，，則，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，且，則，或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由向量模的三角不等式可得，D選項(xiàng)正確.故選：BD.考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【典例8】（2020·天津高考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值為_________，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0,∵又∵SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【典例9】（2021·北京高考真題）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______；SKIPIF1<0_______．【答案】03【解析】根據(jù)坐標(biāo)求出SKIPIF1<0，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：0；3.【規(guī)律方法】1.已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.2.通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算.【變式探究】1.（2019·天津高考真題（理））在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則__________.【答案】.【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)椤危?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，，所以.所以.2．（2020屆浙江紹興市柯橋區(qū)高三上期末）已知正三角形的邊長為4，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最大值是______，最小值是______.【答案】不存在【解析】設(shè)正三角形的外接圓為，則的直徑，，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，，則點(diǎn)在的優(yōu)弧上，設(shè)，又，，，，則，則的最大值不存在，最小值是.故答案為：最大值不存在，最小值是.考點(diǎn)五平面向量的夾角問題【典例10】（2019·全國高考真題（文））已知向量，則___________.【答案】【解析】．【典例11】（2021·全國高三其他模擬（文））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0利用向量的數(shù)量積公式可知SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【總結(jié)提升】向量夾角問題的解答方法：(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【變式探究】1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高一月考）已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有夾角為__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用平面向量的夾角的坐標(biāo)公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（文））如圖，已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0.（1）將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示；（2）求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）根據(jù)向量的加法運(yùn)算進(jìn)行表示即可.（2）先計(jì)算SKIPIF1<0，然后計(jì)算SKIPIF1<0，最后根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考點(diǎn)六平面向量的模的問題

【典例12】（2019·全國高考真題（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a–b|=（）A． B．2C．5 D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故選A【典例13】（2021·江西新余市·高一期末（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出夾角，然后根據(jù)平面向量的加減法作出示意圖，進(jìn)而求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)圖形得出點(diǎn)C的幾何意義，最后求出最值.【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，2為半徑的圓上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴問題轉(zhuǎn)化為求SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上哪一點(diǎn)時(shí)，使SKIPIF1<0最小，又SKIPIF1<0，∴當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小為SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關(guān)角度問題、線段長問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．【變式探究】1．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）已知，，是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，若，則的最小值（）A． B． C． D．5【答案】A【解析】設(shè)，，，則，從而，等號(hào)可取到．故選：A2.（2021·四川成都市·樹德中學(xué)高一月考）已知直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是腰SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為______.【答案】7【解析】以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸的正方向建立直角坐