2024屆廣東省廣州市三校（鐵一、廣外、廣大附中）高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat21頁2024屆廣東省廣州市三校（鐵一、廣外、廣大附中）高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出集合,按照集合的交運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，集合，所以，故選：2．設(shè)，則=（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)得，再進(jìn)行模的計(jì)算，即可得答案；【詳解】，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考考運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)某批電子手表正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】前兩次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得結(jié)果.【詳解】表明前兩次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品.故，故選：C.4．設(shè)為單位向量，在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛椋?，所以有，故選：D5．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及正切函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】，又指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即.對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.6．公元9世紀(jì)，阿拉伯計(jì)算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec（角）表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用csc（角）表示，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，利用銳角三角函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為角的正余弦，再利用二倍角公式、輔助角公式求解作答.【詳解】依題意，角可視為某直角三角形的內(nèi)角，由銳角三角函數(shù)定義及已知得，所以.故選：C7．雙曲線E：的一條漸近線與圓相交于若的面積為2，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出雙曲線的漸近線方程，由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離，進(jìn)一步求得弦長(zhǎng)，利用三角形面積公式列式求解．【詳解】雙曲線的一條漸近線：，與圓相交于兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為2，圓心到直線的距離為：，弦長(zhǎng)|可得：，整理得：，即，解得雙曲線的離心率為．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查求雙曲線離心率，關(guān)鍵在于熟練掌握雙曲線與圓的幾何性質(zhì)，構(gòu)造齊次式求解離心率.8．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，且f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上,f′(x)=?sin2x+3a(cosx?sinx)+2a?1≤0恒成立，∵設(shè)，∴當(dāng)x∈時(shí),,t∈[?1,1]，即?1≤cosx?sinx≤1，令t∈[?1,1],sin2x=1?t2∈[0,1]，原式等價(jià)于t2+3at+2a?2≤0，當(dāng)t∈[?1,1]時(shí)恒成立，令g(t)=t2+3at+2a?2，只需滿足或或，解得或或，綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的公式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用換元將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，屬于較難題.二、多選題9．下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（

）A．若，則B．命題的否定是：C．若且，則D．若，則實(shí)數(shù)【答案】AB【分析】對(duì)A，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)即可；對(duì)B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可；對(duì)C，利用作差法判斷即可；對(duì)D，舉反例判斷即可.【詳解】對(duì)A，，則，又，則，，故A正確；對(duì)B，命題的否定是：，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)榍遥?，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)，時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AB10．已知某圓錐的母線長(zhǎng)為，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中正確的有（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形D．圓錐的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據(jù)球的表面積公式可判斷D.【詳解】

由題意圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積，故A正確；圓錐的表面積，故B錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角，故C正確；

，作出圓錐內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，四邊形為正方形，所以，解得，圓錐的內(nèi)切球表面積，故D正確.故選：ACD11．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），為線段的中點(diǎn).若，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．過兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在以為直徑的圓上C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則D．若過點(diǎn)且與直線垂直的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則【答案】BD【分析】對(duì)于A：利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式解方程即可；對(duì)于B：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，然后將代入計(jì)算即可；對(duì)于C：利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式求出，，，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于D：將中的斜率換成可求得，進(jìn)而可得.【詳解】對(duì)于A：由已知設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，聯(lián)立方程，消去得，可得，又因?yàn)?，所以，則，解得,所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：拋物線，即，，易得，所以，故直線垂直，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，B正確；對(duì)于C：由A項(xiàng)知，拋物線，直線的方程為，，聯(lián)立方程，消去得，可得，，，解得，所以，所以，所以，即，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由C選項(xiàng)知，，因?yàn)橹本€垂直于直線，所以則，D正確.故選：BD.12．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義.按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹形圖：記圖乙中第行白圈的個(gè)數(shù)為，黑圈的個(gè)數(shù)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，均為等比數(shù)列 D．【答案】BCD【分析】由圖示可知，，，，即可聯(lián)立方程組判斷出當(dāng)時(shí)，，也可解出的通項(xiàng)公式，代入通項(xiàng)公式即可求得剩下的選項(xiàng).【詳解】由題意可知，，，，且有，故，所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，故C選項(xiàng)正確；由是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，則，，所以解得，故B選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)正確；，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BCD三、填空題13．今年3月23-24日東華港澳臺(tái)高三年級(jí)與外校進(jìn)行了一次聯(lián)合聯(lián)考模擬考試，這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)，且，規(guī)定這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分為優(yōu)秀.若此次聯(lián)考共有900名學(xué)生參加測(cè)試，則數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是.【答案】135【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，乘以總?cè)藬?shù)即可得出答案.【詳解】由，得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以，則數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是.故答案為：135.14．的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【答案】27【分析】先求展開式中和項(xiàng)，然后與相乘、合并可得.【詳解】的第項(xiàng)為，令，，得，，代入通項(xiàng)可得展開式中的和項(xiàng)分別為：和，分別與和相乘，得的展開式中項(xiàng)為，故的系數(shù)為27.故答案為：2715．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時(shí)間約是分鐘．（注：）【答案】15【分析】由已知條件，先解，利用正余弦定理得及為東西走向，再解，利用利用正弦定理得，進(jìn)而得到，利用路程與速度的比即可求時(shí)間.【詳解】設(shè)緝私艇最快在處追上走私船，追上走私船需t小時(shí)，則，，∴在中，已知,,，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，則，，∴為東西走向，，在中，由正弦定理得，則，且為銳角，∴，即，∴小時(shí)，即分鐘.故答案為：.16．已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，（），則的取值范圍是.【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而可畫出其圖象，即可得及范圍，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令得或，或，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，?dāng)x趨近于負(fù)無窮時(shí)，趨近于零，所以的圖象如圖所示，所以若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則，又因?yàn)?，，所以，不妨令，，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.四、解答題17．如圖，已知直線，是，之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)到，，的距離分別為和2.，分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè).

(1)寫出面積關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對(duì)應(yīng)的的值.【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，取得最小值．【分析】（1）由直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義和三角形的面積公式得函數(shù)解析式；（2）由三角函數(shù)的和差公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得所求最小值．【詳解】（1），，又，，，則，中，，中，，，；（2），，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為．18．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)三角形中位線即可得，利用線面平行的性質(zhì)定理，證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決即可；（3）結(jié)合（2）中的建系，直接根據(jù)點(diǎn)到平面的向量公式計(jì)算即可.【詳解】（1），，，分別是，，，的中點(diǎn)，所以，，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，又因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，平面，所以兩兩垂直．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則可取設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，取，得．所以，所以平面與平面所成角的余弦值為．（3）由點(diǎn)到平面的距離公式可得，點(diǎn)到平面的距離為，19．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【分析】（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，最后求得結(jié)果.【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（II），記

①則

②②①得，，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.20．根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有個(gè)孩子的概率模型為：1230概率其中，.每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨(dú)立，事件表示一個(gè)家庭有個(gè)孩子（），事件表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多（例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多.）(1)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等），是否存在的值使得，請(qǐng)說明理由；(2)若，求，并根據(jù)全概率公式，求.【答案】(1)不存在的值使得，理由見解析(2)，【分析】（1）由概率之和為1和期望公式得到方程組，聯(lián)立得到，令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值，最值情況，從而得到答案；（2）由和求出，并用全概率公式求出.【詳解】（1）不存在的值使得，理由如下：由題意得，①，且②，由②得到，將其代入①，整理得到，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，又，故無解，所以不存在的值使得；（2）若，則，解得，，，，由全概率公式可得，因?yàn)?，，所?21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.（2）利用分析法，結(jié)合構(gòu)造法、換元法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，一元二次方程的判別式為，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)正根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，分別為，當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；（2）要證只需證只需證只需證只需證設(shè)，則需證只需證，由（1）知，，所以只需，即證，令，，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，成立，因此，原不等式得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分析法、換元法、構(gòu)造新函數(shù)法進(jìn)行證明.22．