高中數(shù)學(xué)選修2-2全套知識點(diǎn)及練習(xí)答案解析

新課標(biāo)人教A高中數(shù)學(xué)選修2-2同步練習(xí)第4頁共27頁選修2-2知識點(diǎn)及習(xí)題答案解析導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一.導(dǎo)數(shù)概念的引入導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時速率。一般的，函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時，便是x的一個函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù).的導(dǎo)函數(shù)有時也記作,即二.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:1若(c為常數(shù))，則；2若,則;3若,則4若,則;5若,則6若,則7若,則8若,則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.2.3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和,稱則可以表示成為的函數(shù),即為一個復(fù)合函數(shù)三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間內(nèi)(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.推理與證明考點(diǎn)一合情推理與類比推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理,叫做類比推理.類比推理的一般步驟:找出兩類事物的相似性或一致性;用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想);一般的,事物之間的各個性質(zhì)并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或相似,那么他們在另一寫性質(zhì)上也可能相同或類似,類比的結(jié)論可能是真的.一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),那么類比得出的命題越可靠.考點(diǎn)二演繹推理(俗稱三段論)由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法.步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時命題成立；C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(shù)(或n>=,且)結(jié)論都成立。考點(diǎn)三證明反證法:2、分析法:3、綜合法:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù):形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，和分別叫它的實(shí)部和虛部.分類:復(fù)數(shù)中,當(dāng),就是實(shí)數(shù);,叫做虛數(shù);當(dāng)時,叫做純虛數(shù).復(fù)數(shù)相等:如果兩個復(fù)數(shù)實(shí)部相等且虛部相等就說這兩個復(fù)數(shù)相等.共軛復(fù)數(shù):當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)平面:建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)的部分叫做虛軸。C．② D．①[答案]B[解析]Δx＝0.3時，①y＝x在x＝1附近的平均變化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均變化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均變化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均變化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).∴k3＞k2＞k1＞k4，故應(yīng)選B.9．物體做直線運(yùn)動所經(jīng)過的路程s可以表示為時間t的函數(shù)s＝s(t)，則物體在時間間隔[t0，t0＋Δt]內(nèi)的平均速度是()A．v0 B.eq\f(Δt,s(t0＋Δt)－s(t0))C.eq\f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt) D.eq\f(s(t),t)[答案]C[解析]由平均變化率的概念知C正確，故應(yīng)選C.10．已知曲線y＝eq\f(1,4)x2和這條曲線上的一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，Q是曲線上點(diǎn)P附近的一點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,4)(Δx)2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx，\f(1,4)(Δx)2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,4)(Δx＋1)2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx，\f(1,4)(1＋Δx)2))[答案]C[解析]點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)應(yīng)為1＋Δx，所以其縱坐標(biāo)為f(1＋Δx)＝eq\f(1,4)(Δx＋1)2，故應(yīng)選C.二、填空題11．已知函數(shù)y＝x3－2，當(dāng)x＝2時，eq\f(Δy,Δx)＝________.[答案](Δx)2＋6Δx＋12[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋Δx)3－2－(23－2),Δx)＝eq\f((Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x＝2附近，Δx＝eq\f(1,4)時，函數(shù)y＝eq\f(1,x)的平均變化率為________．[答案]－eq\f(2,9)[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝－eq\f(1,4＋2Δx)＝－eq\f(2,9).13．函數(shù)y＝eq\r(x)在x＝1附近，當(dāng)Δx＝eq\f(1,2)時的平均變化率為________．[答案]eq\r(6)－2[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－\r(1),Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\r(6)－2.14．已知曲線y＝x2－1上兩點(diǎn)A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．[答案]54.1[解析]當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率k1＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋Δx)2－1－22＋1,Δx)＝eq\f((2＋1)2－22,1)＝5.當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率k2＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋0.1)2－1－22＋1,0.1)＝4.1.三、解答題15．已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分別計(jì)算在區(qū)間[－3，－1]，[0,5]上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率．[解析]函數(shù)f(x)在[－3，－1]上的平均變化率為eq\f(f(－1)－f(－3),－1－(－3))＝eq\f([2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1],2)＝2.函數(shù)f(x)在[0,5]上的平均變化率為eq\f(f(5)－f(0),5－0)＝2.函數(shù)g(x)在[－3，－1]上的平均變化率為eq\f(g(－1)－g(－3),－1－(－3))＝－2.函數(shù)g(x)在[0,5]上的平均變化率為eq\f(g(5)－g(0),5－0)＝－2.16．過曲線f(x)＝eq\f(2,x2)的圖象上兩點(diǎn)A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲線的割線AB，求出當(dāng)Δx＝eq\f(1,4)時割線的斜率．[解析]割線AB的斜率k＝eq\f((2＋Δy)－2,(1＋Δx)－1)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(2,(1＋Δx)2)－2,Δx)＝eq\f(－2(Δx＋2),(1＋Δx)2)＝－eq\f(72,25).17．求函數(shù)y＝x2在x＝1、2、3附近的平均變化率，判斷哪一點(diǎn)附近平均變化率最大？[解析]在x＝2附近的平均變化率為k1＝eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\f((1＋Δx)2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均變化率為k2＝eq\f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝eq\f((2＋Δx)2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為k3＝eq\f(f(3＋Δx)－f(3),Δx)＝eq\f((3＋Δx)2－32,Δx)＝6＋Δx.對任意Δx有，k1＜k2＜k3，∴在x＝3附近的平均變化率最大．18．路燈距地面8m，一個身高為1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點(diǎn)C處沿直線離開路燈．(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；(2)求人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率．[解析](1)如圖所示，設(shè)人從C點(diǎn)運(yùn)動到B處的路程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CD∥BE，則eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝f(x)＝eq\f(1,4)x.(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]內(nèi)自變量的增量為x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝eq\f(1,4)×14－eq\f(1,4)×0＝eq\f(7,2).所以eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(\f(7,2),14)＝eq\f(1,4).即人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率為eq\f(1,4).

練習(xí)二組一、選擇題1．函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是()A．在該點(diǎn)的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比B．一個函數(shù)C．一個常數(shù)，不是變數(shù)D．函數(shù)在這一點(diǎn)到它附近一點(diǎn)之間的平均變化率[答案]C[解析]由定義，f′(x0)是當(dāng)Δx無限趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)無限趨近的常數(shù)，故應(yīng)選C.2．如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s＝3t2運(yùn)動，則在t0＝3時的瞬時速度為()A．6 B．18C．54 D．81[答案]B[解析]∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2∴eq\f(Δs,Δt)＝18＋3Δt.當(dāng)Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→18，故應(yīng)選B.3．y＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為()A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案]B[解析]∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2∴f′(1)＝2，故應(yīng)選B.4．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s(t)＝4t2－3(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t＝5時的瞬時速度為()A．37 B．38C．39 D．40[答案]D[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4(5＋Δt)2－3－4×52＋3,Δt)＝40＋4Δt，∴s′(5)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))(40＋4Δt)＝40.故應(yīng)選D.5．已知函數(shù)y＝f(x)，那么下列說法錯誤的是()A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函數(shù)值的增量B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)叫做函數(shù)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率C．f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為y′D．f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記為f′(x0)[答案]C[解析]由導(dǎo)數(shù)的定義可知C錯誤．故應(yīng)選C.6．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為y′|x＝x0，即()A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)D．f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)[答案]D[解析]由導(dǎo)數(shù)的定義知D正確．故應(yīng)選D.7．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c為常數(shù))在x＝2時的瞬時變化率等于()A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案]D[解析]∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－c,Δx)＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故應(yīng)選D.8．如果一個函數(shù)的瞬時變化率處處為0，則這個函數(shù)的圖象是()A．圓 B．拋物線C．橢圓 D．直線[答案]D[解析]當(dāng)f(x)＝b時，f′(x)＝0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應(yīng)選D.9．一物體作直線運(yùn)動，其位移s與時間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度為()A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案]B[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3(0＋Δt)－(0＋Δt)2,Δt)＝3－Δt，∴s′(0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝3.故應(yīng)選B.10．設(shè)f(x)＝eq\f(1,x)，則lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f(x)－f(a),x－a)等于()A．－eq\f(1,a) B.eq\f(2,a)C．－eq\f(1,a2) D.eq\f(1,a2)[答案]C[解析]lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f(x)－f(a),x－a)＝lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(\f(1,x)－\f(1,a),x－a)＝lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(a－x,(x－a)·xa)＝－lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(1,ax)＝－eq\f(1,a2).二、填空題11．已知函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為11，則lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),Δx)＝________；lieq\o(m,\s\do4(x→x0))eq\f(f(x)－f(x0),2(x0－x))＝________.[答案]－11，－eq\f(11,2)[解析]lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),Δx)＝－lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),－Δx)＝－f′(x0)＝－11；lieq\o(m,\s\do4(x→x0))eq\f(f(x)－f(x0),2(x0－x))＝－eq\f(1,2)lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(11,2).12．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是________．[答案]0[解析]∵Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx＋\f(1,1＋Δx)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1))) ＝Δx－1＋eq\f(1,Δx＋1)＝eq\f((Δx)2,Δx＋1)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx,Δx＋1).∴y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx,Δx＋1)＝0.13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，則a等于______．[答案]2[解析]∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a(2＋Δx)＋4－2a－4,Δx)＝a，∴f′(1)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(x→x0))eq\f(f(x)－f(x0),x－x0)，f(3)＝2，f′(3)＝－2，則lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)的值是________．[答案]8[解析]lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)＝lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3),x－3)eq\o(＝lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(3),x－3)＋lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(3(f(3)－f(x)),x－3).由于f(3)＝2，上式可化為lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2(x－3),x－3)－3lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(f(x)－f(3),x－3)＝2－3×(－2)＝8.三、解答題15．設(shè)f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析]由導(dǎo)數(shù)定義有f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x0＋Δx)2－x\o\al(2,0),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx(2x0＋Δx),Δx)＝2x0，16．槍彈在槍筒中運(yùn)動可以看做勻加速運(yùn)動，如果它的加速度是5.0×105m/s2，槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10－3s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度．[解析]位移公式為s＝eq\f(1,2)at2∵Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2∴eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(at0＋\f(1,2)aΔt))＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.在曲線y＝f(x)＝x2＋3的圖象上取一點(diǎn)P(1,4)及附近一點(diǎn)(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)eq\f(Δy,Δx)(2)f′(1)．[解析](1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\f((1＋Δx)2＋3－12－3,Δx)＝2＋Δx.(2)f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.18．函數(shù)f(x)＝|x|(1＋x)在點(diǎn)x0＝0處是否有導(dǎo)數(shù)？若有，求出來，若沒有，說明理由．[解析]f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x2(x≥0),－x－x2(x<0)))Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δx＋(Δx)2(Δx>0),－Δx－(Δx)2(Δx<0)))∴eq\o(lim,\s\do4(x→0＋))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0＋))(1＋Δx)＝1，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0－))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0－))(－1－Δx)＝－1，∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0－))eq\f(Δy,Δx)≠eq\o(lim,\s\do4(Δx→0＋))eq\f(Δy,Δx)，∴Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)無極限．∴函數(shù)f(x)＝|x|(1＋x)在點(diǎn)x0＝0處沒有導(dǎo)數(shù)，即不可導(dǎo)．(x→0＋表示x從大于0的一邊無限趨近于0，即x＞0且x趨近于0)

練習(xí)三組1．如果曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]切線x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，即f′(x0)＝－eq\f(1,2)＜0.故應(yīng)選B.2．曲線y＝eq\f(1,2)x2－2在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))處切線的傾斜角為()A．1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(5,4)π D．－eq\f(π,4)[答案]B[解析]∵y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f([\f(1,2)(x＋Δx)2－2]－(\f(1,2)x2－2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(x＋eq\f(1,2)Δx)＝x∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1.∴切線的傾斜角為eq\f(π,4)，故應(yīng)選B.3．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為eq\f(π,4)的點(diǎn)是()A．(0,0) B．(2,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))[答案]D[解析]易求y′＝2x，設(shè)在點(diǎn)P(x0，xeq\o\al(2,0))處切線的傾斜角為eq\f(π,4)，則2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).4．曲線y＝x3－3x2＋1在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為()A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5[答案]B[解析]y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由點(diǎn)斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(1)－f(1－2x),2x)＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案]B[解析]eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(1)－f(1－2x),2x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(1－2x)－f(1),－2x)＝－1，即y′|x＝1＝－1，則y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為－1，故選B.6．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線()A．不存在 B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直 D．與x軸斜交[答案]B[解析]由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知B正確，故應(yīng)選B.7．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)及f′(5)分別為()A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案]B[解析]由題意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故應(yīng)選B.8．曲線f(x)＝x3＋x－2在P點(diǎn)處的切線平行于直線y＝4x－1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)[答案]A[解析]∵f(x)＝x3＋x－2，設(shè)xP＝x0，∴Δy＝3xeq\o\al(2,0)·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，又k＝4，∴3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，xeq\o\al(2,0)＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故應(yīng)選A.9．設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處的切線傾斜角為α，則α的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))[答案]A[解析]設(shè)P(x0，y0)，∵f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)3－\r(3)(x＋Δx)＋\f(2,3)－x3＋\r(3)x－\f(2,3),Δx)＝3x2－eq\r(3)，∴切線的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－eq\r(3)，∴tanα＝3xeq\o\al(2,0)－eq\r(3)≥－eq\r(3).∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)).故應(yīng)選A.10．設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0，eq\f(π,4)]，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A．[－1，－eq\f(1,2)] B．[－1,0]C．[0,1] D．[eq\f(1,2)，1][答案]A[解析]考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．∵y′＝2x＋2，且切線傾斜角θ∈[0，eq\f(π,4)]，∴切線的斜率k滿足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－eq\f(1,2).11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________．[答案]4x－y－1＝0[解析]∵f(x)＝x2＋3，x0＝2∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2∴eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx.∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝4.即f′(2)＝4.又切線過(2,7)點(diǎn)，所以f(x)在(2，f(2))處的切線方程為y－7＝4(x－2)即4x－y－1＝0.12．若函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為________．[答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)[解析]由f(x)＝x－eq\f(1,x)＝0得x＝±1，即與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)－\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x(x＋Δx))))＝1＋eq\f(1,x2).∴切線的斜率k＝1＋eq\f(1,1)＝2.∴切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．13．曲線C在點(diǎn)P(x0，y0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點(diǎn)有________個．[答案]至少一[解析]由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，但也可能與曲線其他部分有公共點(diǎn)，故雖然相切，但直線與曲線公共點(diǎn)至少一個．14．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為________．[答案]3x－y－11＝0[解析]設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，則過P(x0，y0)的切線斜率為，它是x0的函數(shù)，求出其最小值．設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，過點(diǎn)P的切線斜率k＝＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.當(dāng)x0＝－1時k有最小值3，此時P的坐標(biāo)為(－1，－14)，其切線方程為3x－y－11＝0.三、解答題15．求曲線y＝eq\f(1,x)－eq\r(x)上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))處的切線方程．[解析]∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x)))－(\r(x＋Δx)－\r(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(－Δx,x(x＋Δx))－\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,x(x＋Δx))－\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))))＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,2\r(x)).∴y′|x＝4＝－eq\f(1,16)－eq\f(1,4)＝－eq\f(5,16)，∴曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))處的切線方程為：y＋eq\f(7,4)＝－eq\f(5,16)(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.16．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于點(diǎn)P的直線方程y＝g(x)．[解析](1)y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3x,Δx)＝3x2－3.則過點(diǎn)P且以P(1，－2)為切點(diǎn)的直線的斜率k1＝f′(1)＝0，∴所求直線方程為y＝－2.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，∴直線l的方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)又直線l過點(diǎn)P(1，－2)，∴－2－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)，∴xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2).故所求直線斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－3＝－eq\f(9,4)，于是：y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即y＝－eq\f(9,4)x＋eq\f(1,4).17．求證：函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率小于1.[解析]y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx＋\f(1,x＋Δx)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(x·Δx(x＋Δx)－Δx,(x＋Δx)·x·Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)x－1,(x＋Δx)x)＝eq\f(x2－1,x2)＝1－eq\f(1,x2)＜1，∴y＝x＋eq\f(1,x)圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率小于1.18．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積．[解析](1)y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2),Δx)＝3，所以l1的方程為：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.設(shè)l2過曲線y＝x2＋x－2上的點(diǎn)B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2),Δx)＝2b＋1，所以l2的方程為：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因?yàn)閘1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－eq\f(2,3)，所以l2的方程為：y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)，))即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2))).又l1，l2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0)).所以所求三角形面積S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(22,3)))＝eq\f(125,12).

練習(xí)三組1．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2[答案]D2.曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))處切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．60°[答案]B[解析]y′|x＝－1＝1，∴傾斜角為45°.3.函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.4.設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是()A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案]D[解析]∵a>0，f(x)為增函數(shù)，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.

5．已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是()A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值C．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值D．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值[答案]C[解析]導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點(diǎn)，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.6.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，則f′(x)()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．以上都有可能[答案]A[解析]∵M(jìn)＝m，∴y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)∴f′(x)＝0，故應(yīng)選A.7.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D.eq\f(3,4)R[答案]C[解析]設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(R－h(huán))2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當(dāng)0<h<eq\f(4,3)R時，V′>0；當(dāng)eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當(dāng)h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．故應(yīng)選C.8.．和式eq\i\su(i＝1,5,)(yi＋1)可表示為()A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)[答案]C[解析]eq\i\su(i＝1,5,)(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故選C.9．設(shè)f(x)是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則f(x)dx－f(t)dt的值()A．小于零 B．等于零C．大于零 D．不能確定[答案]B[解析]f(x)dx和f(t)dt都表示曲線y＝f(x)與x＝a，x＝b及y＝0圍成的曲邊梯形面積，不因曲線中變量字母不同而改變曲線的形狀和位置．所以其值為0.10.．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(0≤x<1),2－x(1≤x≤2)))，則f(x)dx等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D．不存在[答案]C[解析]f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx取F1(x)＝eq\f(1,3)x3，F(xiàn)2(x)＝2x－eq\f(1,2)x2，則F′1(x)＝x2，F(xiàn)′2(x)＝2－x∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝eq\f(1,3)－0＋2×2－eq\f(1,2)×22－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1－\f(1,2)×12))＝eq\f(5,6).故應(yīng)選C.11.．如圖所示，陰影部分的面積為()A.f(x)dx B.g(x)dxC.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx[答案]C[解析]由題圖易知，當(dāng)x∈[a，b]時，f(x)>g(x)，所以陰影部分的面積為[f(x)－g(x)]dx.12已知f(x)＝x3的切線的斜率等于1，則其切線方程有()A．1個B．2個C．多于兩個D．不能確定[答案]B[解析]∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，令3x2＝1，得x＝±eq\f(\r(3),3)，即切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9))).由點(diǎn)斜式可得切線方程為y－eq\f(\r(3),9)＝x－eq\f(\r(3),3)或y＋eq\f(\r(3),9)＝x＋eq\f(\r(3),3)，即y＝x－eq\f(2\r(3),9)或y＝x＋eq\f(2\r(3),9).故應(yīng)選B.13.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1D．a(chǎn)＝－1，b＝－1[答案]A[解析]y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，將(0，b)代入切線方程得b＝1.14.關(guān)于歸納推理，下列說法正確的是()A．歸納推理是一般到一般的推理B．歸納推理是一般到個別的推理C．歸納推理的結(jié)論一定是正確的D．歸納推理的結(jié)論是或然性的[答案]D[解析]歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論的正確性不一定．故應(yīng)選D.15.下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤[答案]B[解析]由合情推理得出的結(jié)論不一定正確，A不正確；B正確；合情推理的結(jié)論本身就是一個猜想，C不正確；合情推理結(jié)論可以通過證明來判定正誤，D也不正確，故應(yīng)選B.16.“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對角線相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提是()A．正方形都是對角線相等的四邊形B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形[答案]B[解析]由大前提、小前提、結(jié)論三者