2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)應(yīng)用之拱橋問題（提優(yōu)篇）

2023中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)應(yīng)用之拱橋問題（提優(yōu)篇）

1.三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同.當(dāng)水面剛好淹沒小孔

時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單

個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）

A.48米B.5魚米C.2反米D.7米

2.如圖，隧道的截面由拋物線和長方形O4BC構(gòu)成，長方形的長04是12m,寬OC是4m.按

照如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=-*/+"+c表示.在拋物線形拱壁上

需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等.如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排

燈的水平距離最小是（）

A.2mB.4mC.4A/2mD.4A/3m

3.【測試2］如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m.水面上升1.5m,水面

寬度為（）

A.1mB.2mC.V3mD.2A/3m

4.【例4】如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂高離水面2m時，水面寬4m,水面下降2.5m,水面

寬度增加（）

5.河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)

的關(guān)系式為y=-會產(chǎn)，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨?。。?m時，這時水面寬度48為（）

A.-20mB.20mC.10mD.-10m

6.某大學(xué)的校門（如圖所示）是拋物線形水泥建筑物，大門的寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高

處各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，那么校門的高是米.

7.如圖，一個橫截面為拋物線形的隧道底部寬12米、高6米.車輛雙向通行，若規(guī)定車輛必須

在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的能圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于g米的空

隙，則通過隧道的車輛的高度限制應(yīng)為

米.

8.閔行體育公園的圓形噴水池的水柱（如圖1）,如果曲線/PB表示落點(diǎn)B離點(diǎn)。最遠(yuǎn)的一條水

流（如圖2）,其上的水珠的高度y（米）關(guān)于水平距離為（米）的函數(shù)解析式為y=-/+4%+

那么圓形水池的半徑至少為

米時，才能使噴出的水流不落在水池外.

9.中國石拱橋是我國古代人民建筑藝術(shù)上的智慧象征.如圖所示，某橋拱是拋物線形，正常

水位時，水面寬AB為20m,由于持續(xù)降雨，水位上升3m,若水面CO寬為10m,則此時

水面距橋面距離0E的長為.

10.如圖，這是一傳媒公司寓意為“大鵬展翅”的大門建筑截面圖，它是兩條關(guān)于線段的中垂

線對稱的拋物線，開口朝向左右，頂點(diǎn)是邊長為4米的正方形中心，且分別過正方形的兩

個頂點(diǎn).若入口水平寬BE為10.5米，則最高點(diǎn)尸到地面的高度FE為米.

11.一個拱形橋架可以近似看做是由等腰梯形ABDgDi和其上方的拋物線4。。8組成的.若建立

如圖所示的直角坐標(biāo)系，跨度48=44米，乙4=45。，AQ=4米，點(diǎn)的坐標(biāo)為

（-13,-1.69）,則橋架的拱高。H=米.

（實物圖）

12.有一拋物線形拱橋，其最大高度為16米，跨度為40米，現(xiàn)將它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)

系中，如圖，則拋物線的解析式是.

13.如圖，某廣場設(shè)計的一座建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)。落在水

平面上，對稱軸是水平線。C.點(diǎn)48在拋物線造型上，且點(diǎn)A到水平面的距離/C=4米,

點(diǎn)B到水平面距離為2米，OC=8米.

O

⑴請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；

⑵為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線OC上找一點(diǎn)P,用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩

根支柱PA,PB對拋物線造型進(jìn)行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支

柱與地面、造型對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點(diǎn)P?（無須證明）

⑶為了施工方便，現(xiàn)需計算出點(diǎn)0,P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時，點(diǎn)。，P之

間的距離是多少？（請寫出求解過程）

14.如圖①，地面BO上兩根等長立柱/B,CO之間懸掛一根近似成拋物線丫=5%2一+3的

繩子.

x（米）

圖①

⑴求繩子最低點(diǎn)離地面的距離.

⑵因?qū)嶋H需要，在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖②），使左邊拋物

線a的最低點(diǎn)距MN為1米，離地面1.8米，求MN的長.

圖②

⑶將立柱MN的長度提升為3米，通過調(diào)整MN的位置，使拋物線尸2對應(yīng)函數(shù)的二次項系

數(shù)始終為;,設(shè)MN離的距離為小,拋物線員的頂點(diǎn)離地面距離為k，當(dāng)2WkW2.5時,

求nt的取值范圍.

15.在籃球比賽中，東東投出的球在點(diǎn)力處反彈，反彈后球運(yùn)動的路線為拋物線的一部分（如

圖（1）所示建立直角坐標(biāo)系），拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)B.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）當(dāng)球運(yùn)動到點(diǎn)C時被東東搶到，CD，％軸于點(diǎn)D,CD=2.6m.

①求。。的長.

②東東搶到球后，因遭對方防守?zé)o法投籃，他在點(diǎn)。處垂直起跳傳球，想將球沿直線

快速傳給隊友華華，目標(biāo)為華華的接球點(diǎn)E(4,1.3),東東起跳后所持球離地面高度

陽(m)(傳球前)與東東起跳后時間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式片=一2?-0.5)2+

2.7(0<t<1)；小戴在點(diǎn)尸(1.5,0)處攔截，他比東東晚0.3s垂直起跳,其攔截高度八2(m)

與東東起跳后時間t(s)的函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示(其中兩條拋物線的形狀相同).東

東的直線傳球能否越過小戴的攔截傳到點(diǎn)E?若能，東東應(yīng)在起跳后什么時間范圍內(nèi)

傳球？若不能，請說明理由(直線傳球過程中運(yùn)動時間忽略不計).

16.如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)。處練習(xí)發(fā)球，將球從。點(diǎn)正上方2m的/處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，

其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與。點(diǎn)

的水平距離為9m,高度為2.43m,球場的邊界距。點(diǎn)的水平距離為18m.

(1)當(dāng)九=2.6時，求y與％的關(guān)系式(不要求寫出自變量》的取值范圍)；

(2)當(dāng)h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；

⑶若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求八的取值范圍.

y

17.在水平的地面BO上有兩根與地面垂直且長度相等的電線桿AB,CD,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，

直線BD為％軸建立平面直角坐標(biāo)系，得到圖1.已知電線桿之間的電線可近似地看成拋物

線y=-x2—-X+30.

71005

N（米）N（米）

圖1

（1）求電線桿AB和線段BO的長.

（2）因?qū)嶋H需要，電力公司在距離為30米處增設(shè)了一根電線桿MN（如圖2）,左邊拋物

線瓦的最低點(diǎn)離MN為10米，離地面18米，求MN的長.

⑶將電線桿MN的長度變?yōu)?0米，調(diào)整電線桿MN在線段BD上的位置，使右邊拋物線尸2的

二次項系數(shù)始終是三，設(shè)電線桿MN距離為m米，拋物線尸2的最低點(diǎn)離地面的距離為

404

k米,當(dāng)20W/CW25時，求m的取值范圍.

18.如圖，某隧道口的橫截面是拋物線形，已知路寬AB為6米，最高點(diǎn)離地面的距離0C為5米.以

最高點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為y軸，1米為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)

系.

求：

(1)以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，并寫出工的取值范圍；

⑵一輛寬2.8米，高1米的農(nóng)用貨車(貨物最高處與地面的距離)能否通過此隧道？

19.如圖①，一個橫截面為拋物線形的隧道，其底部的寬AB為8m,拱高為4m,該隧道為雙

向車道，且兩車道之間有0.4m的隔離帶,一輛寬為2m的貨車要安全通過這條隧道，需保

持其頂部與隧道間有不少于0.5m的空隙,以的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，按如圖②所示建立平面

直角坐標(biāo)系.

⑴求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵通過計算說明該貨車能安全通過的最大高度.

20.如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示

的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用丫=-；/+故+(:表示，且拋物線上的點(diǎn)C到OB的水平

6

距離為3m,到地面。4的距離為5m.

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并計算出拱頂0到地面04的距離.

一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么

這輛貨車能否安全通過？

⑶在拋物線型拱璧上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度

不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少？

21.秋風(fēng)送爽，學(xué)校組織同學(xué)們?nèi)ヮU和園秋游，昆明湖西堤六橋中的玉帶橋非常令人喜愛，如

圖所示，玉帶橋的橋拱是拋物線形，水面寬度=10m,橋拱最高點(diǎn)C到水面的距離為6m.

⑴建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；

⑵現(xiàn)有一艘游船高度是4.5m,寬度是4m,為了保證安全，船頂距離橋拱頂部至少0.5m,

通過計算說明這艘游船能否安全通過玉帶橋.

22.如圖1,某穿山隧道縱截面為半圓形，圓心。的左右兩邊各有一條寬為3.75m的機(jī)動車道

（OC,OD）和寬為1.25m的非機(jī)動車道（AC,BD）.

（備注：機(jī)動車與非機(jī)動車通行時都只能在各自車道行駛，不能越線）

⑴若有一輛寬3.3m的卡車載物從該隧道通行，則其最大高度不能超過多少米？（結(jié)果

精確到0.1m）

⑵為改善通行條件，地方政府另外修建了一條單向隧道，并打算將如圖1所示的隧道改

建成如圖2所示的拋物線形隧道，并要求：

①隧道寬度AB及最大高度均保持不變；

②只需保留一條單向機(jī)動車道（MN）；

③兩條非機(jī)動車道CAM,BN）均拓寬為2m.

問：改建后，若有一輛寬3.8m的卡車載物從該隧道通行，則其最大高度不能超過多少

米？（結(jié)果精確到0.1m）

23.某跳水運(yùn)動員進(jìn)行10米跳臺跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線是如圖所示

的坐標(biāo)系中始于原點(diǎn)。的一段拋物線，圖中數(shù)據(jù)為已知條件.在跳某個規(guī)定動作時，