5.5.1兩角和差的正弦余弦公式 第一課時(shí) 課件

5.5三角恒等變換

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦公式

一、復(fù)習(xí)回顧

前面我們學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式，利用它們對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，可以達(dá)到化簡(jiǎn)、求值或證明的目的．這種利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行的恒等變形就是三角恒等變換．二、新課引入探究：請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值，并根據(jù)這些式子的共同特征，寫(xiě)出一個(gè)猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝

＝

；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝

＝

；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝

＝

；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝

＝

．猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝

；即：

.1cos0°cos30°0cos(－90°)cos(－60°)cos(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ兩角差余弦公式的證明cos(α-β)=cosα

cosβ

+sinα

sinβ對(duì)于任意角α，β有此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α-β的余弦之間的關(guān)系，稱(chēng)為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(α-β)三、新課講解1、兩角差的余弦公式方法2：練習(xí)：cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝________.分析：注意到，結(jié)合兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式，將上式中以

代

得思考：由如何求:cos(α+β)

=cosαcosβ－sinαsinβ2、兩角和的余弦角公式：cos(α+β)

=cosαcosβ－sinαsinβ分析：用兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式推導(dǎo).兩角和的正弦公式推導(dǎo)：故兩角和的余弦公式為：分析：用兩角和的正弦公式推導(dǎo).兩角差的正弦公式推導(dǎo)：故兩角差的余弦公式為：3、兩角和與差的正弦、余弦角公式：[例3]化簡(jiǎn)求值.(1)sin(30°+α)-sin(30°-α);(2)cos(20°+x)cos(x-25°)+sin(20°+x)·sin(x-25°);(3)cos10°cos(-20°)+sin20°sin170°.方法總結(jié)(1)給角求值問(wèn)題的求解方法①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí),“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí),此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”,或者將“所求角”轉(zhuǎn)化為與“已知角”及特殊角之間的關(guān)系.(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的,因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見(jiàn)角的變換有:①α=(α-β)+β;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β)等.一、復(fù)習(xí)回顧兩角和與差的正弦、余弦角公式：(C(-))(C(+))cos(

-

)=cos

cos

+sin

sin

cos(

+

)=cos

cos

-sin

sin

(S(+))(S(-))sin(+)=sin

cos

+cos

sin

sin(

-

)=sin

cos

-cos

sin

兩角和的正切公式推導(dǎo)：分子分母同除以?xún)山遣畹恼泄酵茖?dǎo)：二、新知探究?jī)山呛筒畹恼泄?T(-))(T(+))三、例題講解(1)使用兩角和、差正切公式求解“給值求值”問(wèn)題時(shí),若已知條件中的三角函數(shù)值中的角有兩個(gè)或多個(gè)時(shí),常利用角的變換,將待求角表示為其中的“已知角”的和或差的形式后求解.方法總結(jié)例3：求下列各式的值：

(1)(2)tan17

+tan28

+tan17

tan28

解（1）原式=

（2）∵

∴tan17

+tan28

=tan(17

+28

)(1

tan17

tan28

)=1

tan17

tan28

∴原式=1

tan17

tan28

+tan17

tan28

=1

針對(duì)訓(xùn)練3:（1）計(jì)算:(1+tan17°)(1+tan28°).（2）計(jì)算:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°·tan40°.