2023年人教版高考數(shù)學總復(fù)習規(guī)范答題系列-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題

規(guī)范答題提分課

規(guī)范答題系列一一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題

[典例](12分)(2021?新高考I卷)已知函數(shù)f(x)=x(l-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù)，且bIna-aInb=a-b,證明：2VL+；〈已

ab

?導(dǎo)引助思-析考題

(1)看到f(x)的解析式，想到函數(shù)的定義域，看到單調(diào)性，想到利用導(dǎo)函數(shù)符號進行判斷；

⑵看到bIna-aInb=a—b,想到變形可同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為極值點偏移的問題，構(gòu)造對稱差

函數(shù)分別證明左右兩側(cè)的不等式即可.

【標準答案】(1)函數(shù)的定義域為(0,+8).①……1分

由已知可得f'(x)=1—Inx—1=—Inx,②...2分

所以xG(0,1),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

xG(1,4-co),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.③……4分

⑵由bIna—aInb=a—b,

11,1111

得ZFq一一In-+~In~=--，

aabbba

即:(1-lna)4G-lnb)，④……§分

由(1)知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,十8)上單調(diào)遞減，所以f(x)、=f(i)=i,且此向

=0,

令Xi=，,X2=：,則x”X2為f(x)=k的兩根，其中

ab

ke(0,1).⑤...6分

不妨令x?(0,1),X2G(1,e),則2—X|>1,

先證2<xi+x2,即證X2>2—X”

即證f(x2)=f(Xi)<f(2—Xi),

令h(x)=f(x)—f(2—x),

則h'(x)=f'(x)+f'(2—x)=—Inx—In(2—x)=—In[x(2—x)]>0,

故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,所以h(x)〈h(D=o.

所以f(x,)<f(2—X,),

所以2<%+X2,得證.⑥……9分

同理，要證Xi+x2〈e,即證f(X2)=f(xj〈f(e—X),

令小(x)=f(x)—f(e—x),xG(0,1),

則(x)=-In[x(e—x)],令6'(x())=0,

xG(0,x0),6'(x)>0,6(x)單調(diào)遞增，

xW(x(),1),“'(x)<0,6(x)單調(diào)遞減，

又x>0,f(x)>0,且f(e)=O,故x~*0,巾(0)>0,

6(l)=f(l)-f(e-l)>0,

所以<b(x)>0恒成立，Xi+x2〈e得證.⑦...11分

則2<-+；<e.⑧....12分

ab

?滿分點撥?悟考題

命題考查知識：主要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究極值點偏移問題.

探源核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理

①寫出函數(shù)的定義域，得1分.若不寫，單調(diào)區(qū)間寫對，不扣分.

②求對導(dǎo)函數(shù)，得1分.

③寫對單調(diào)區(qū)間，得2分.若忽視函數(shù)定義域，不得分.

閱卷④同構(gòu)轉(zhuǎn)化已知，得1分.

現(xiàn)場⑤轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)根的情況，得1分.

⑥證得不等式第一部分，得3分

⑦證明不等式第二部分，得2分.

⑧寫出所證不等式，得1分.不寫不得分.

1求.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵

首先要求出函數(shù)的定義域，靈活判斷導(dǎo)函數(shù)符號的變化是準確求解的關(guān)鍵.

滿分2.不等式證明的技巧

策略(1)構(gòu)造函數(shù)：利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式f(x)>

g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),直接轉(zhuǎn)化為證明

f(x)*2g(x)皿

(2)靈活轉(zhuǎn)化：若f(x)與g(x)的最值不易求出，可對h(x)=f(x)—g(x)適當變形后

進行轉(zhuǎn)化.

，跟蹤訓(xùn)練

(2022?珠海模擬)已知函數(shù)f(x)=e*—匕詈一a(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點.

(1)若a=l,求f(x)在x=l處的切線方程；

e2

(2)若f(x)的兩個零點分別為x”X2,證明：x,x>——.

20X1+X2

InV1—1nv

【解析】(1)當a=l時，f(x)=ex-——-1,f'(x)=ex-----=一.

XX

又f(l)=e—l,所以切點坐標為(1,e-1),切線的斜率為k=f'(l)=e—1,

所以切線的方程為y-(e-1)=(e-D(x-l),即y=(e-l)x.

(2)由已知得f(x)=xe'_a(5x+x)=。有兩個不等的正實根，

X

所以方程xe、-a(lnx+x)=0有兩個不等的正實根，

即xe、一aIn(xe、)=0有兩個不等的正實根,aIn(xex)=xex0.

2

X2

要證x*2〉，只需證Gie"),(x2e)>e\

e12

X|X2

即證In(x,e)+ln(x2e)>2,

X2

令ti=xie*,t2=x2e>

所以只需證Int,+lnt2>2.

由①得aInti=t”aInt2=t2>

所以a(lnt2—Intj=t2—ti，a(lnt2+lnti)=t2+ti,

^+1lln—

to-t

消去a得］.nt2+lnh=~-~~(Int2—Int,)=

t2tj奧一1

1t?

lnb

只需證>2.

t2

-1

tl

設(shè)0<匕。2，令t="，則t>l,

tl

t—1

所以只需證Int>2Ry-

A/\t-1

令h(t)=lnt—2f+[，t>l,

14(t—1)2

?

則h(t)=--(