漆安慎《力學(xué)》教案第07章-剛體力學(xué)

第七章剛體力學(xué)

注意：本PPT可能出現(xiàn)文字等重疊，這不是失誤，在播放時(shí)，這些內(nèi)容是替換顯示的。第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.1.2

剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)§7.1.1

剛體的平動(dòng)§7.1.3

角速度矢量

§7.1.4

剛體的平面運(yùn)動(dòng).

主要內(nèi)容：剛體——在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的力學(xué)研究對(duì)象.

是一種理想模型.特點(diǎn)

(1)剛體可以看成由許多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元(2)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變.

所以將剛體稱(chēng)為“不變質(zhì)點(diǎn)系”.剛體概念研究剛體的基本方法將剛體看作質(zhì)點(diǎn)系，并運(yùn)用已知的質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律去研究.§7.1.1

剛體的平動(dòng)

⑴平動(dòng)概念——?jiǎng)傮w運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)任一直線(xiàn)恒保持平行的運(yùn)動(dòng).§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述

剛體最基本的運(yùn)動(dòng)形式有：⑴平動(dòng)；⑵繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；⑶平面運(yùn)動(dòng)⑵剛體作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)的特征剛體中各質(zhì)元具有相同的速度、加速度及相同的軌跡.⑶對(duì)剛體平動(dòng)的處理方法用剛體上任一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng).Oij如圖所示:且為恒矢量轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),其上各質(zhì)元都繞同一直線(xiàn)作圓周運(yùn)動(dòng).這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)轉(zhuǎn)動(dòng).該直線(xiàn)稱(chēng)為轉(zhuǎn)軸.若轉(zhuǎn)軸不動(dòng)，稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng).§7.1.2剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

(1)剛體上各點(diǎn)都在垂直于固定軸的平面內(nèi)(轉(zhuǎn)動(dòng)平面)做圓周運(yùn)動(dòng).其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線(xiàn)(轉(zhuǎn)軸)上.

(2)剛體上各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直線(xiàn)在同樣的時(shí)間內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度都相同.因而可用角量描述剛體的運(yùn)動(dòng).1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特征

OO′轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸xOp角坐標(biāo)或角位置用

表示.規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，

為正.順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，

為負(fù)2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述

(1)角坐標(biāo)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

(2)角位移

t

時(shí)間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱(chēng)為角位移，用

表示.

=

(t)

xOp(3)角速度和角加速度

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中,只有兩個(gè)轉(zhuǎn)向角速度用每分n

轉(zhuǎn)表示時(shí)：

角速度

可正可負(fù),當(dāng)

與

同號(hào)時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)加快,異號(hào)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)減慢.

角加速度xOP(t)P(t+

t

)

+

t

時(shí)刻,角坐標(biāo)為

t+

t

時(shí)刻,角坐標(biāo)為

+

類(lèi)似地可得：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

>0；順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

<0.小結(jié)：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方程

=

(t)

對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)角速度為：角加速度為：運(yùn)動(dòng)方程

=

(t)

對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)(4)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由速度或加速度求運(yùn)動(dòng)方程勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

=常量勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

=常量

與質(zhì)點(diǎn)作勻速或勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的公式完全對(duì)應(yīng)!!!(5)

角量與線(xiàn)量的關(guān)系剛體上某質(zhì)元作(定軸)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線(xiàn)量——位置r、速度vt、加速度a

剛體上某質(zhì)元作(定軸)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角量——

位置

、角速度

、角加速度

注意:

r的原點(diǎn)必須在轉(zhuǎn)軸上.

弧長(zhǎng)

線(xiàn)速度切向加速度法向加速度r

sOxy角量與線(xiàn)量的關(guān)系角量與線(xiàn)量的矢量關(guān)系式為

OP

供擴(kuò)展了解用§7.1.3角速度矢量

角速度是矢量，其方向沿轉(zhuǎn)軸且與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右手螺旋關(guān)系.

如果剛體同時(shí)參與兩個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，則合成角速度按平行四邊形法則進(jìn)行合成.O注意：角速度總是與無(wú)限小角位移相聯(lián)系,無(wú)限小角位移是矢量,所以角速度也是矢量.而有限角位移不是矢量.O角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為

其中

當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可令轉(zhuǎn)軸與z

軸重合，

則有§7.1.4剛體的平面運(yùn)動(dòng)

概念：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與某一固定平面平行1.

剛體平面運(yùn)動(dòng)及其特征(1)每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡都是一條平面曲線(xiàn)；(3)剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線(xiàn)上的各質(zhì)元，運(yùn)動(dòng)狀況都相同.(2)轉(zhuǎn)軸總是保持平行，并與固定平面垂直；(4)可用與固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形來(lái)代表剛體.特征：——?jiǎng)傮w的平面運(yùn)動(dòng)——作為研究平面運(yùn)動(dòng)的對(duì)象xOyz剛體作平面運(yùn)動(dòng)2.剛體作平面運(yùn)動(dòng)的位置(運(yùn)動(dòng)方程)

⑴建立坐標(biāo)系Oxyz，使平面圖形(研究對(duì)象)在Oxy平面內(nèi),z軸與屏幕垂直且向外.

A⑶以基點(diǎn)B為原點(diǎn)，建立與O系坐標(biāo)軸彼此平行的動(dòng)坐標(biāo)系為了確定剛體的位置：僅用基點(diǎn)位矢還不能確定剛體的位置⑷在剛體上任選一點(diǎn)A，則A點(diǎn)的位置可用相對(duì)位置矢量與軸的夾角

唯一地確定.B⑵在平面圖形上任取一點(diǎn)B，稱(chēng)為基點(diǎn)，其位矢為；結(jié)論：要描述剛體平面運(yùn)動(dòng)，必須給出：⑴基點(diǎn)位置⑵圖形繞基點(diǎn)B

轉(zhuǎn)過(guò)的角度(注意：該角度以A點(diǎn)為參考，而A點(diǎn)可任意選擇)或用三個(gè)標(biāo)量方程來(lái)描述：刻畫(huà)任意選定的基點(diǎn)之平動(dòng)刻畫(huà)剛體繞通過(guò)基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)所以=+剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體上基點(diǎn)的平動(dòng)剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)BA用上述結(jié)論可對(duì)“大”運(yùn)動(dòng)分解：BABABA先平后轉(zhuǎn)先轉(zhuǎn)后平BABA可以判斷：大分解時(shí)，先后順序?qū)ψ罱K結(jié)果無(wú)影響但對(duì)中間過(guò)程卻不一定相同如將過(guò)程分解成一個(gè)個(gè)無(wú)限小的過(guò)程，那么對(duì)每一個(gè)小過(guò)程來(lái)說(shuō)，平和轉(zhuǎn)就和先后的順序無(wú)關(guān)了!!!要點(diǎn)：平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式，剛體更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可看作是平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成.3.作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上，任意一點(diǎn)的速度平面上A點(diǎn)相對(duì)于Oxyz系的位置矢量

如剛體繞過(guò)基點(diǎn)軸的角速度為則——平面運(yùn)動(dòng)的速度公式所以

AB(總是沿z

軸的)4.一個(gè)特例——柱體作無(wú)滑滾動(dòng)的特點(diǎn)和條件

特點(diǎn)：

圓柱體邊緣在與支承面接觸時(shí)，相對(duì)于支承面的瞬時(shí)速度為零.條件：

當(dāng)邊緣上一點(diǎn)P與支承面接觸的瞬時(shí)，車(chē)輪作無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，地面上會(huì)留下清晰的輪胎花紋，說(shuō)明在接觸地面時(shí)，瞬時(shí)速度為零例子：即在坐標(biāo)中寫(xiě)出投影式以圓柱體中心軸線(xiàn)上一點(diǎn)C為基點(diǎn),則邊緣上一點(diǎn)的速度為

yxvcC如圖即PxyOCryC2

r中心軸的速度：

圓柱作無(wú)滑滾動(dòng)時(shí)，圓柱邊緣一點(diǎn)A

的空間軌跡是擺線(xiàn)，或叫旋輪線(xiàn).當(dāng)柱體作無(wú)滑滾動(dòng)一周時(shí),其中心軸前進(jìn)的距離為中心軸加速度：

中心軸的位置：圓柱邊緣的點(diǎn),如A、Ｂ、Ｐ等的速度可表示為:APB[例題7-1]

如圖所示,初時(shí)方輪一尖角在鏈槽夾角處，經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)90°,相鄰尖角進(jìn)入相鄰尖槽。轉(zhuǎn)45°

時(shí)，方形一邊中點(diǎn)恰好在鏈座最高點(diǎn)處.方形輪到中心A至鏈座支持面SS保持等距離.取方輪1/8，中心A與方輪的邊和鏈座曲線(xiàn)之切點(diǎn)的連線(xiàn)總與SS垂直.R=AB表示輪中心至其尖角的距離.求鏈座表面的曲線(xiàn).xyOABETP

[解]

取鏈座某尖槽處為坐標(biāo)原點(diǎn)建立Oxy坐標(biāo)系.按已知條件，取A至切點(diǎn)T連線(xiàn)并延長(zhǎng)至P，它垂直于x軸.因中心A總保持同樣高度，故(2)(1)故得所求曲線(xiàn)的方程用

表示角位移,它表示鏈座曲線(xiàn)為一懸鏈連.采用，（1）式變成取方程（2）變?yōu)椴榉e分表并積分得

回到原來(lái)變量y，有第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§7.2.1

剛體的質(zhì)心

§7.2.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理這是對(duì)剛體質(zhì)心的總體描述.主要內(nèi)容:§7.2.1剛體的質(zhì)心

在O-xyz坐標(biāo)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，可將上式改寫(xiě)為：剛體是特殊質(zhì)點(diǎn)系，上述各式同樣適用于剛體.引入體密度

均質(zhì)物體——密度是常量[例題7-2]求質(zhì)量均勻，半徑為R的半球的質(zhì)心位置.[解]

設(shè)半球的密度為

，將半球分割成許多厚為dx的圓片，任取其一.由對(duì)稱(chēng)性得

xROyzy關(guān)于質(zhì)心的求法技巧，見(jiàn)P.225

中部由對(duì)稱(chēng)性知：質(zhì)心應(yīng)在x

軸上[例題7-3]

在半徑為R的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板,大小圓板相切,如圖所示.求余下部分的質(zhì)心.xyO[解]

由對(duì)稱(chēng)性知，yc=0

余下部分設(shè)平板面密度為

,大圓板小圓板故質(zhì)心一定在x

軸上§7.2.2剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理用于剛體，有同樣的表達(dá)式剛體的質(zhì)心加速度剛體的總質(zhì)量剛體所受的外力矢量和剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系(不變質(zhì)點(diǎn)系)當(dāng)然應(yīng)該服從質(zhì)點(diǎn)系的所有力學(xué)規(guī)律，如動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等，當(dāng)滿(mǎn)足動(dòng)量、機(jī)械能守恒條件時(shí)，剛體的動(dòng)量、機(jī)械能也將守恒.如動(dòng)量守恒時(shí)有：=常矢量[例題補(bǔ)]一圓盤(pán)形均質(zhì)飛輪質(zhì)量為m=5.0kg，半徑為r=0.15m,轉(zhuǎn)速為n=400r/min.飛輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng).飛輪質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸d=0.001m，求飛輪作用于軸承的壓力.計(jì)入飛輪質(zhì)量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計(jì)算由于飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重力對(duì)該壓力的影響）.[解]

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量·轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量§7.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理§7.3.4剛體的重心§7.3.5典型例子.主要內(nèi)容:§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量1.轉(zhuǎn)軸為對(duì)稱(chēng)軸

zm1m2Or1r2

如圖,對(duì)O點(diǎn)

因m1=m2=m

故總角動(dòng)量

2.轉(zhuǎn)軸為非對(duì)稱(chēng)軸

如圖,對(duì)O點(diǎn)同樣有總角動(dòng)量與轉(zhuǎn)軸成

角.

剛體繞對(duì)稱(chēng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角.詳見(jiàn)P.227倒第10-6行zm1m2O

2

1

§7.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量又有什么特殊呢？已知質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量為當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)都繞z

軸作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)

所以如將上式應(yīng)用于剛體時(shí)，每一質(zhì)元的角速度都應(yīng)相同，可用表示.于是上式變?yōu)椋阂?jiàn)P.176式5.2.6此時(shí)，剛體對(duì)Oz

軸的角動(dòng)量可表示為

可以看出，上式括號(hào)里的量?jī)H取決于剛體的質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置.把它稱(chēng)為剛體對(duì)定軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以表示.即與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量相比，質(zhì)量m

是平動(dòng)慣性的量度，那么轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義可以看出：質(zhì)量越大，質(zhì)量分布越遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸，那么轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也就越大.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位dim

I=ML2⑵質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：

式中、、

分別為質(zhì)量的線(xiàn)密度、面密度和體密度.⑵轉(zhuǎn)軸的位置;⑶質(zhì)量分布.⑴總質(zhì)量；決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小的因素：⑴質(zhì)量為分離的質(zhì)點(diǎn)系：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算線(xiàn)分布面分布體分布質(zhì)量分布[例7-4]

求均質(zhì)圓盤(pán)(m,R)繞過(guò)盤(pán)心且與盤(pán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

.

[解]xyzrdr設(shè)盤(pán)的厚度為h,且將盤(pán)視為由許多半徑為r、寬度為dr

的環(huán)組成.

則環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI為式中（求繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)2.幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圓筒

細(xì)圓環(huán)I=mR2

ωRm圓柱

細(xì)棒ωR1R2圓球

球殼

3.回轉(zhuǎn)半徑

任何轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均有I=mk2

k稱(chēng)為回轉(zhuǎn)半徑質(zhì)量相同的剛體，k

，

I

ωRωR(1)平行軸定理

ABCdxmi

i

i

i

對(duì)C軸垂直于紙面的A軸平行C

軸（質(zhì)心軸）對(duì)A軸由圖

4.反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的兩個(gè)重要定理

ICm

d2得(2)垂直軸定理（正交軸定理）mi

ixyz

yixiO(3)可疊加原理

若一個(gè)復(fù)雜形狀的物體是由許多簡(jiǎn)單形體組成，則這個(gè)復(fù)雜物體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各簡(jiǎn)單形體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和.注意:垂直軸定理只適用于薄板狀剛體.——垂直軸定理

——平行軸定理§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理角動(dòng)量定理的微分形式

角動(dòng)量定理的積分形式

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言有式中質(zhì)點(diǎn)系受到的對(duì)該軸的合外力矩對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果

Iz

=常量則由剛體的角動(dòng)量定理可得到定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理說(shuō)明：略去一切足碼⑵式中各量都是對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言的⑶若I=常量，則⑷若M=0,則α=0，ω=恒量，——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理⑴

與地位相當(dāng)§7.3.4剛體的重心重心——?jiǎng)傮w處于不同方位時(shí),重力作用線(xiàn)都要通過(guò)的那一點(diǎn).如圖被懸掛剛體處于靜止,C為重心,因C不動(dòng),故可視為轉(zhuǎn)軸.又因?yàn)閯傮w靜止,所以全體質(zhì)元的重力對(duì)C

軸的力矩之和應(yīng)為零.ABDWCCABDWxzCy則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)相同(即重心和質(zhì)心重合)，但概念不同：質(zhì)心是質(zhì)量中心，其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.重心是重力合力作用線(xiàn)通過(guò)的那一點(diǎn).若?、呸D(zhuǎn)動(dòng)定理⑵質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理⑶牛頓運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)用可以討論許多有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般采用直角坐標(biāo)系Oxyz,并令z

軸與轉(zhuǎn)軸重合且垂直紙面向外，使沿逆時(shí)針?lè)较虻牧烤≌?重心坐標(biāo)：§7.3.5典型例子[例題7-6]

如圖(a)表示半徑為R的放水弧形閘門(mén)，可繞圖中左方支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，總質(zhì)量為m,質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸2R/3處，閘門(mén)及鋼架對(duì)支點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

,可用鋼絲繩將弧形閘門(mén)提起放水，近似認(rèn)為在開(kāi)始提升時(shí)鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度a=0.1g，g為重力加速度,不計(jì)摩擦,不計(jì)水浮力.圖(a)

COR（1）求開(kāi)始提升時(shí)的瞬時(shí)，鋼絲繩對(duì)弧形閘門(mén)的拉力和支點(diǎn)對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門(mén)[圖(b)]需拉力是多少？圖(b)

xyO圖(a)

[解]（1）以弧形閘門(mén)及鋼架為隔離體，受力如圖(a)所示.建立直角坐標(biāo)系Oxy，向x及y軸投影:根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理起動(dòng)時(shí)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

x向y向即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為67/90(mg)

，支點(diǎn)O對(duì)閘門(mén)鋼架的支承力豎直向上，大小等于29/90(mg).圖(b)

(2)

用表示提升平板形閘門(mén)所用的拉力，對(duì)閘門(mén)應(yīng)用牛頓第二定律，得：比較上面結(jié)果，可見(jiàn)提升弧形閘門(mén)所用的拉力較小.解以上方程可得：[例題7-7]

如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置。待測(cè)剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上，線(xiàn)的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上，線(xiàn)與線(xiàn)軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線(xiàn)的另一端通過(guò)定滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物，已知轉(zhuǎn)動(dòng)架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0

，并測(cè)得m自靜止開(kāi)始下落h高度的時(shí)間為t

,求待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，不計(jì)兩軸承處的摩擦，不計(jì)滑輪和線(xiàn)的質(zhì)量，線(xiàn)的長(zhǎng)度不變.hII0rm[解]分別以質(zhì)點(diǎn)m

和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)I+I0

作為研究對(duì)象，受力分析和如圖（俯視圖）.xyOz解以上五個(gè)方程得：第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

§7.4.1力矩的功§7.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.4.3剛體的重力勢(shì)能主要內(nèi)容:剛體中P點(diǎn)在力的作用下位移則力做的元功

§7.4.1力矩的功

POxyr對(duì)有限角位移當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力所做的功等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩對(duì)角坐標(biāo)的積分.

由于功用力矩和角位移表達(dá)，又叫力矩做的功，但其本質(zhì)還是力做的功.積分限也可以表示為(在自然坐標(biāo)下將力分解)如果上式中力矩為恒量，則力矩做的功：即恒力矩做的功等于力矩與角位移的乘積力矩的功率：即力矩的功率等于力矩與角速度的乘積對(duì)比：恒力做的功等于力與位移的乘積(標(biāo)積)

對(duì)比：力的功率等于力與速度的乘積(標(biāo)積)§7.4.2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其動(dòng)能為所有質(zhì)元作圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之總和.任意質(zhì)元的動(dòng)能為：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

剛體的動(dòng)能

對(duì)比：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

作用于剛體的所有外力對(duì)固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)比：質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能定理

所以可得：§7.4.3

剛體的重力勢(shì)能

剛體的重力勢(shì)能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能相同.剛體的重力勢(shì)能：

應(yīng)為所有質(zhì)元對(duì)同一參考點(diǎn)的重力勢(shì)能的代數(shù)和[例題7-9]裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為R，重錘質(zhì)量為m2

，將重錘由靜止釋放下落并帶動(dòng)柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落h高度時(shí)的速率v，不計(jì)阻力，不計(jì)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng).hR[解]方法1.利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解.由質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能定理

由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

隔離物體，受力分析，建立坐標(biāo)，可得：xyz約束關(guān)系

聯(lián)立得

方法2.

利用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作質(zhì)點(diǎn)系由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理約束關(guān)系聯(lián)立得[例題7-10]均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l,一端為光滑的支點(diǎn).最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)，如圖所示.O⑴求桿在圖示的豎直位置時(shí)，其下端點(diǎn)的線(xiàn)速度v，⑵求桿在圖示的豎直位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力.CEp=0Ｏ[解](1)由機(jī)械能守恒得解得

(2)受力分析建立自然坐標(biāo)寫(xiě)出投影式法向切向根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理取質(zhì)心最低時(shí)，為重力勢(shì)能的零點(diǎn)說(shuō)說(shuō)為什么?取的什么系統(tǒng)?桿處于鉛直位置時(shí)不受力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可知，角加速度為零，從而act=0

所以方向向上.

又

CEp=0Ｏ第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

§7.5.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程§7.5.2作用于剛體上的力§7.5.3剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能§7.5.4滾動(dòng)摩擦力偶矩§7.5.5汽車(chē)輪的受力汽車(chē)的極限速度.主要內(nèi)容:§7.5.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程§7.5.2作用于剛體上的力§7.5.3剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能自學(xué)§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)

§7.5.1

剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程

平面運(yùn)動(dòng)=基點(diǎn)的平動(dòng)+繞基點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1.求質(zhì)心(基點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)

剛體作平面運(yùn)動(dòng)，其受力必在Oxy

平面內(nèi)

在Oxyz

系中,對(duì)剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得在討論動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須將基點(diǎn)取在“質(zhì)心”處其投影式為2.剛體繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

在質(zhì)心坐標(biāo)系中，剛體應(yīng)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

選質(zhì)心坐標(biāo)系,設(shè)為過(guò)質(zhì)心而垂直于固定平面的軸.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心C

的角動(dòng)量定理為將它投影于軸得(略去足碼“外”)用于剛體時(shí)，角動(dòng)量為于是得：在質(zhì)心系中，先考慮質(zhì)點(diǎn)系的情形：⑴將基點(diǎn)取在“質(zhì)心”處總結(jié)研究剛體平面動(dòng)力學(xué)的要點(diǎn)：⑵滿(mǎn)足剛體平面運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)基本動(dòng)力學(xué)方程.①質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理②對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理那么剛體受力,作平面運(yùn)動(dòng),為什么會(huì)滿(mǎn)足以上兩個(gè)動(dòng)力學(xué)方程呢?為此,就要研究作用于剛體上的力具有什么樣的特性!!§7.5.2

作用于剛體上的力

1.作用于剛體上的力之特點(diǎn)

·滑移矢量

(1)

施于剛體的力之特點(diǎn)

作用力好象只作用于質(zhì)心，作用力對(duì)質(zhì)心好象不起作用，CC效果1：效果2：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理僅使剛體產(chǎn)生平動(dòng).根據(jù)對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理而對(duì)質(zhì)心軸不產(chǎn)生力矩僅對(duì)質(zhì)心軸產(chǎn)生力矩,使剛體產(chǎn)生角加速度.——兩種效果(2)

施于剛體的力是滑移矢量作用于剛體的力的三要素是：

大小、方向和作用線(xiàn).

則其作用效果不變!!!ABC右圖中,剛體的B點(diǎn)受到力F的作用為了顯示力的作用效果,可在其延長(zhǎng)線(xiàn)上的A點(diǎn)施以大小相同,方向相反的力.表明:作用于剛體上的力可沿作用線(xiàn)滑移.所以:因而稱(chēng)滑移矢量如果用施于B點(diǎn)的力代替,2.力偶和力偶矩

力偶：力偶矩大小：

可以看出:力偶矩與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).

Om1m2d

一般情況下，作用于剛體的力可等效于一作用線(xiàn)通過(guò)質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對(duì)質(zhì)心軸的力矩.

大小相等，方向相反，彼此平行的一對(duì)力.

力偶矩：力偶對(duì)某參考點(diǎn)O的力矩之矢量和.方向:⊙

一般情況下，作用于剛體的力可等效于一個(gè)作用線(xiàn)通過(guò)質(zhì)心的力和一個(gè)力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對(duì)質(zhì)心軸的力矩.

CFM=F·d=CFd[例題7-12]如圖，固定斜面傾角為

，質(zhì)量為m

半徑為R

的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無(wú)滑滾動(dòng)，求圓柱體質(zhì)心的加速度ac及斜面作用于柱體的摩擦力F

.x

yOC[解]由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理y

軸上投影由質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理由無(wú)滑滾動(dòng)條件

P.245聯(lián)立⑴⑵⑶⑴⑵⑶得建立坐標(biāo)，受力分析[例題7-13]

質(zhì)量為m的汽車(chē)在水平路面上急剎車(chē)，前后輪均停止轉(zhuǎn)動(dòng).前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為

.汽車(chē)質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為l

.求前后車(chē)輪對(duì)地面的壓力.Oxy[解]

汽車(chē)受力分析.

y

軸投影對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理C建立坐標(biāo):hLl有關(guān)參數(shù)如圖:由上面方程根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對(duì)地面的壓力大小分別為FN1、FN2

，但方向向下.可以解出:討論:設(shè)質(zhì)心C位于前后軸的中點(diǎn),則FN1＞FN2一般轎車(chē)都是前置發(fā)動(dòng)機(jī),質(zhì)心總是偏前軸,故剎車(chē)時(shí),前輪對(duì)地面的壓力要大于后輪.關(guān)于與車(chē)靜止時(shí)的比較,請(qǐng)閱讀教材P.246§7.5.3剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能

剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)能

平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理

如果剛體不太大，若剛體在運(yùn)動(dòng)中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒.由克尼希定理知，P.154倒10行剛體作平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為：剛體質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和[例題7-14]

在例題7-12中，設(shè)圓柱體自靜止開(kāi)始滾下，求質(zhì)心下落高度h時(shí)，圓柱體質(zhì)心的速率.[解]

因?yàn)槭菬o(wú)滑滾動(dòng)，靜摩擦力F

不做功，只有重力W做功，機(jī)械能守恒.x

yOCx′

y′

末機(jī)械能初機(jī)械能將無(wú)滑滾動(dòng)條件代入上式可求得§7.5.4滾動(dòng)摩擦力偶矩滾動(dòng)摩擦發(fā)生的原因：是物體與接觸面處的非彈性形變引起.設(shè)滾輪在接觸區(qū)無(wú)形變，地面有非彈性形變.OO

OM滾如圖對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生反向力矩——滾動(dòng)摩擦力矩M滾

——摩擦因數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè).M滾

使物體角速度減小，則接觸面各點(diǎn)有向前滑動(dòng)趨勢(shì)，從而產(chǎn)生反向摩擦力（滾動(dòng)摩擦）使物體減速.r是輪半徑.滾動(dòng)阻力因數(shù)常見(jiàn)汽車(chē)輪在幾種典型路面上的值

0.010~0.030結(jié)冰路面0.100~0.250泥濘土路（雨季或解凍）0.035~0.050坑洼的卵石路面0.018~0.020一般的瀝青或混凝土路面0.010~0.018良好的瀝青或混凝土路面路面類(lèi)型滾動(dòng)摩擦<<滑動(dòng)摩擦CM滾CA設(shè)滾子勻速滾動(dòng)，則阻力和阻力矩分別為聯(lián)立得若滾子勻速平動(dòng)查閱教材表7.2與表3.2可知，§7.5.5汽車(chē)輪的受力汽車(chē)的極限速度CM滾M驅(qū)M滾驅(qū)CM滾驅(qū)動(dòng)輪被動(dòng)輪汽車(chē)牽引力[例題4]桑塔納汽車(chē)勻速行駛,汽車(chē)橫截面積為S=1.89m2,空氣阻力因數(shù)Cv=0.425.

發(fā)動(dòng)機(jī)功率為P發(fā)=60kW,設(shè)經(jīng)內(nèi)部傳動(dòng)機(jī)構(gòu)能量損失10%,空氣密度

=1.2258N·s2/m4.汽車(chē)行駛所受空氣阻力求汽車(chē)沿水平路面行駛的最高速率vmax[解]取發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒物以外的整個(gè)汽車(chē)為質(zhì)點(diǎn)系功功率

P外=P發(fā)+滾動(dòng)摩擦力偶矩功率+空氣阻力功率P阻

不計(jì)滾動(dòng)摩擦力偶矩功率估算滾動(dòng)摩擦力偶矩的功率滾動(dòng)摩擦力偶矩的功率,W為總車(chē)重取得滾動(dòng)摩擦力偶矩的功率7.0kW

影響最高速度的主要因素是空氣阻力.第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述§7.2

剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.6剛體的平衡§7.6.1剛體的平衡方程§7.6.2桿的受力特點(diǎn)主要內(nèi)容:§7.6剛體的平衡§7.6.1剛體的平衡方程

無(wú)平動(dòng)（對(duì)某定點(diǎn)如A）剛體平衡的充要條件無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)兩條件滿(mǎn)足時(shí)，外力對(duì)任何定點(diǎn)的力矩的矢量和也為零.對(duì)共面力系,在直角坐標(biāo)系O-xyz中平衡條件化為共面力系——

所有力的作用線(xiàn)位于同一平面內(nèi).是力對(duì)z軸力矩的代數(shù)和為零,其中剛體平衡方程的其它形式z軸是垂直于Oxy面的任意軸.(1)

諸力對(duì)任意軸的力矩和為零.在力的作用平面內(nèi)選O和

兩個(gè)參考點(diǎn)，

連線(xiàn)不與Ox軸正交則(2)

在力的作用平面