江蘇省泰州市口岸中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE62023—2024學(xué)年度高二年級第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角為，則y的值為（）A.0 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式及傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由于直線MN的傾斜角為，則該直線MN的斜率為，又因?yàn)椋?，所以，解?故選：B2.已知雙曲線C：的焦距為，則C的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)根據(jù)焦距求得，從而可得漸近線方程．【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，所以，則，解得，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.3.已知雙曲線C：焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，實(shí)軸長為4，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線以及實(shí)軸的概念求解.【詳解】雙曲線C的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)閷?shí)軸長為，所以，所以C的方程為，故選：D.4.已知（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的頂點(diǎn)都在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)F恰好是的重心，則的值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】確定，設(shè)，，根據(jù)重心坐標(biāo)公式計(jì)算得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，設(shè)，，則，解得或，不妨取，，則.故選：A5.已知圓：，圓：，若圓平分圓的周長，則（）A.20 B.－20 C.10 D.－10【答案】B【解析】【分析】求出兩圓的相交弦所在直線的方程，將圓的圓心坐標(biāo)代入相交弦所在直線的方程，即可判斷結(jié)果.【詳解】圓：的圓心，即圓心為，半徑為，若圓平分圓的周長，則圓的圓心在圓與圓的公共弦上，將圓：與圓：作差，得兩圓公共弦所在直線方程，代入得.故選：B6.如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀．木條中間挖一道槽，在另一活動木條的P處鉆一個小孔，可以容納筆尖，A，B各在一條槽內(nèi)移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當(dāng)A，B各在一條槽內(nèi)移動時，P處筆尖就畫出一個橢圓E．已知，且P在右頂點(diǎn)時，B恰好在O點(diǎn)，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)已知結(jié)合圖形，得出，然后求出，即可得出答案.【詳解】設(shè)，，由題，則，當(dāng)滑動到位置時，在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，則，又當(dāng)在右頂點(diǎn)時，恰好在位置，則，所以，故離心率為.故選：C.7.已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則這樣的直線l有（）A.0條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】【分析】分直線的斜率是否為兩種情況討論，直線的斜率不等于時，設(shè)方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)弦長公式結(jié)合弦長求出即可得解.【詳解】由題意，，當(dāng)直線的斜率為時，直線的方程為，在方程中，令，則，此時，符合題意，當(dāng)直線的斜率不等于時，設(shè)方程為，聯(lián)立，消得，則，解得，設(shè)，則，故，解得，綜上所述，符合題意得直線有條故選：C.8.已知F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M：上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要求的最小值，根據(jù)橢圓的定義可以轉(zhuǎn)化為（其中為橢圓的左焦點(diǎn)），即求的最小值，即為圓心與的距離減去半徑，進(jìn)而解決問題．【詳解】如圖，由題可知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，即，則，故要求的最小值，即求的最小值，所以的最小值等于，即的最小值為，故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有項(xiàng)選錯得0分．9.已知曲線C：．（）A.若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若，則C是圓，其半徑為C.若，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，則C是兩條直線【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)，將化為，結(jié)合橢圓方程判斷A；結(jié)合圓的方程判斷B；討論的正負(fù)，結(jié)合雙曲線方程以及漸近線方程可判斷C；，時，可得，即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，則即為，故表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，A錯誤；對于B，若，則即為，故C是圓，其半徑為，B錯誤；對于C，若，則不妨設(shè)，則即為，曲線C此時表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其漸近線方程為，當(dāng)，則即為，曲線C此時表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其漸近線方程為,綜上，若，則C是雙曲線，其漸近線方程為，C正確；對于D，若，，則即為，即，即則C是兩條直線，D正確，故選：CD10.已知點(diǎn)和圓O：，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則直線與圓O相交B.若點(diǎn)P在圓O上，則直線與圓O相切C.若點(diǎn)P在圓O外，則直線與圓O相離D.若直線AP與圓O相切，A為切點(diǎn)，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可結(jié)合選項(xiàng)求解ABC，根據(jù)勾股定理即可求解D.【詳解】對于A，點(diǎn)在圓內(nèi)，則，又點(diǎn)到直線的距離，直線與圓相離，故A錯誤；對于B，點(diǎn)在圓上，，又點(diǎn)到直線的距離，故與圓相切，,故B正確；對于C，點(diǎn)在圓外，則，又點(diǎn)到直線的距離，直線與圓相交，故C錯誤；若直線與圓相切，則點(diǎn)在圓外，所以，故D正確．故選：BD．11.已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.離心率B.最大值為25C.直線PA與直線PB斜率乘積為定值D.過點(diǎn)的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則的周長為20【答案】ABD【解析】【分析】由橢圓離心率的計(jì)算公式即可判斷A，由橢圓的定義以及基本不等式即可判斷B，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程代入計(jì)算即可判斷C，由橢圓的定義以及三角形的周長公式即可判斷D.【詳解】由橢圓的方程可得，則，則橢圓離心率為，故A正確；由橢圓的定義可知，，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以最大值為25，故B正確；設(shè)，，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，所以，故C錯誤；由橢圓的定義可知，，且的周長為，故D正確；故選：ABD12.若點(diǎn)在雙曲線上，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】依題意可得，，，從而可得到的取值范圍，進(jìn)而即可判斷A；根據(jù)題意整理雙曲線方程即可判斷B；根據(jù)題意即可求得雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而即可判斷C；當(dāng)時，有，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對于A，依題意得，，，所以，故A正確；對于B，依題意得，則，所以，故B正確；對于C，依題意得雙曲線的漸近線方程為，所以，故C正確；對于D，依題意得，則當(dāng)時，有，此時，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.等軸雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】用等軸雙曲線的性質(zhì)直接求出即可.【詳解】因?yàn)槭堑容S雙曲線，所以設(shè)雙曲線的方程為，所以漸近線方程為：，故答案為：14.已知圓：，圓：，如果這兩個圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍______.【答案】【解析】【分析】由題意確定兩圓的圓心和半徑，利用圓與圓的位置關(guān)系建立不等式組，解之即可.【詳解】由題意知，，則，因?yàn)閳A與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)a取值范圍是.故答案為：.15.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上的動點(diǎn)，且在第一象限．過P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為Q．若直線PF的斜率為，則是面積為______．【答案】【解析】【分析】確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)斜率得到，，再計(jì)算面積即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，，則，解得或（舍），，準(zhǔn)線方程為，則，.故答案為：.16.已知橢圓C：，，是橢圓C上兩點(diǎn)，，則弦長為______．【答案】【解析】【分析】由，可得兩點(diǎn)在直線上，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)弦長公式即可得解.【詳解】由，得，故兩點(diǎn)直線上，聯(lián)立，消得，恒成立，則，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，得出兩點(diǎn)在直線上，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.直角的斜邊中點(diǎn)為，邊所在直線的方程為，所在直線的方程為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求邊所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)中點(diǎn)的計(jì)算公式結(jié)合已知列式求解得出答案；（2）由結(jié)合邊所在直線的方程得出邊所在直線的方程的斜率，再結(jié)合（1）得出的點(diǎn)坐標(biāo)由直線的點(diǎn)斜式方程得出答案.【小問1詳解】邊所在直線的方程為，所在直線的方程為聯(lián)立，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】直角的斜邊為，,邊所在直線的方程為,斜率為，邊所在的直線方程斜率為，邊所在的直線過點(diǎn)，邊所在的直線方程為，即.18.已知半徑為4的圓C與直線：相切，圓心C在y軸的負(fù)半軸上．（1）求圓C的方程；（2）已知直線：與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線與圓相切即可求得圓的方程;（2）根據(jù)幾何法求弦長，表示出面積，借助基本不等式計(jì)算即可.【小問1詳解】結(jié)合題意：因?yàn)閳A心C在y軸的負(fù)半軸上,且半徑為4,所以可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，此時圓心為因?yàn)橹本€：與圓相切,所以圓心到直線的距離，即：，解得：（舍去），或，所以圓C的方程為：.【小問2詳解】由上問可得：的圓心C為，所以圓心到直線：的距離為：，結(jié)合圓的弦長公式：，直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，面積取到最大值8.即，解得：，所以直線的方程：或.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于原點(diǎn)）．（1）求拋物線C的方程；（2）若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線l恒過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由拋物線定義有，結(jié)合已知求參數(shù)，即可得拋物線方程；（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立拋物線消去y得到，應(yīng)用韋達(dá)定理，弦長公式求中點(diǎn)坐標(biāo)、，再由已知列方程求參數(shù)m，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由拋物線定義知：，則.【小問2詳解】由題設(shè)，直線斜率一定存在，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線可得，即，則，，，故，故中點(diǎn)坐標(biāo)為，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其半徑，而，所以，兩邊平方得，整理得，即或，當(dāng)，則，此時A，B必有一個點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)，則，此時直線必過定點(diǎn).所以直線l恒過定點(diǎn).20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E：和點(diǎn)．點(diǎn)Q在E上，且．（1）求E方程；（2）若過點(diǎn)H作兩條直線，，與E相交于A，B兩點(diǎn)，與E相交于C，D兩點(diǎn)，直線AB，CD，AD，BC的斜率分別為，，，．證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用拋物線的方程求解；（2）利用拋物線的方程以及斜率公式證明.【小問1詳解】因?yàn)?所以，因?yàn)辄c(diǎn)Q在E上，所以，所以，所以E的方程為：.【小問2詳解】設(shè)所以直線的斜率為直線的斜率為直線的斜率為直線的斜率為所以所以.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A是曲線C左支上一點(diǎn)，線段與C的另一交點(diǎn)為B．若的面積為8，求直線AB的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義確定出的值，由此可求，則的方程可求；（2）設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立思想結(jié)合韋達(dá)定理求得，再結(jié)合三角形面積公式可求結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，所以，所以，所以的方程為；【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在且不為，因?yàn)闈u近線的斜率為，所以，，聯(lián)立可得，所以，所以，又因?yàn)榈街本€的距離，所以，化簡可得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，綜上可知，直線的斜率為.22.已知橢圓過點(diǎn)和．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l：，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l，直線AB于M，N兩點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入方程求橢圓