大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程目錄以及課后習(xí)題題解筆記

第1課前言一元、多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、矢量代數(shù)、空間解析幾何、無(wú)窮級(jí)數(shù)和微分方程第一章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念一、區(qū)間、鄰域第2課第一節(jié)函數(shù)的概念二函數(shù)的概念三函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)1函數(shù)的有界性第3課三、函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)1、函數(shù)的有界性2、函數(shù)的單調(diào)性3、函數(shù)的奇偶性4、函數(shù)的周期性四、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)第4課復(fù)合函數(shù)例題2、反函數(shù)§2.初等函數(shù)一、根本初等函數(shù)二、初等函數(shù)第5課三、雙曲函數(shù)第二章、極限13：50§1.數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義第6課(接上節(jié))數(shù)列極限的定義、例題二、收斂數(shù)列的兩個(gè)性質(zhì)1、定理一〔唯一性〕第7課例題2、定理二〔有界性〕§2、函數(shù)的極限一、自變量x趨于一個(gè)定值x0的f(x)的極限〔只是談及〕第8課〔接一講：自變量x趨于一個(gè)定值x0的f(x)的極限〕分析，定義，幾何意義，例題第9課左極限和右極限的定義，極限存在的條件二、自變量x趨于無(wú)窮大的函數(shù)f(x)的極限三、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1、無(wú)窮小量2、無(wú)窮大量第10課第二章極限第二節(jié)函數(shù)的極限三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量注意2點(diǎn)例題2、無(wú)窮大3、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系四、海涅定理例題第11課第三節(jié)函數(shù)極限的性質(zhì)和極限的運(yùn)算〔本章重點(diǎn)〕一、極限值與函數(shù)值的關(guān)系1、極限值的唯一性2、極限值與函數(shù)值的同號(hào)性3、有界性第12課二、極限與無(wú)窮小的關(guān)系f(x)=A+a(x)三、無(wú)窮小的性質(zhì)1.有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小2.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小推論：常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小3.無(wú)窮小與有界函數(shù)的商仍是無(wú)窮小第13課四、極限的四那么運(yùn)算１、limf(x)+limg(x)=A+B２、lim[f(x)g(x)]=AB３、lim[f(x)\g(x)]=A\B４、f(x)>(x),A>B第14課例題第四節(jié)極限存在準(zhǔn)那么，兩個(gè)重要極限16:00一、準(zhǔn)那么1夾擠準(zhǔn)那么例1第15課例2重要極限之一二、準(zhǔn)那么2單調(diào)有界準(zhǔn)那么25：30例1重要極限之二第16課例題第五節(jié)無(wú)窮小量的比擬39：00第17課第五節(jié)無(wú)窮小量的比擬例題等價(jià)無(wú)窮小代換定理注意：加減不可替換，乘除可替換第六節(jié)連續(xù)函數(shù)34：00一、函數(shù)連續(xù)性的定義第18課一、函數(shù)連續(xù)性的定義左連續(xù)，右連續(xù)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)24：30第19課三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性1)反函數(shù)的連續(xù)性：?jiǎn)握{(diào)且連續(xù)2〕復(fù)合函數(shù)的極限第20課2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3〕復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性3、初等函數(shù)的連續(xù)性13:30初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。第21課四、連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)1、最大、最小值定理06:062、有界性定理3、零值點(diǎn)定理4、介值定理fenderdj寫(xiě)道：?jiǎn)栂铝阒刀ɡ頌槭裁匆笫情]區(qū)間要f(a),f(b)存在且異號(hào)，方便描述。假設(shè)是開(kāi)區(qū)間，就要說(shuō)明f(x)在a的右極限和b的左極限存在且異號(hào)。第22課第3章、導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念一、兩個(gè)實(shí)例二、導(dǎo)數(shù)定義第23課三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義11:48〔求曲線上某點(diǎn)的切線方程和法線方程〕四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性關(guān)系32:49第24課證明可導(dǎo)與連續(xù)性關(guān)系的逆命題不成立五、幾個(gè)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式14:451、常數(shù)2、冪函數(shù)3、正弦、余弦函數(shù)4、對(duì)數(shù)函數(shù)第25課第二節(jié)函數(shù)的微分法一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么〔只講到和、差、積〕第26課續(xù)上〔函數(shù)商的求導(dǎo)法那么〕推導(dǎo)出tanx,cotx,secx,cscx的導(dǎo)數(shù)公式二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)23:30推導(dǎo)出反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx,第27課求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5:33復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么第28課例題四、高階導(dǎo)數(shù)(7')多做練習(xí)第29課第三節(jié)、隱函數(shù)、參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)，包括冪指函數(shù)的求導(dǎo)第30課取對(duì)數(shù)微分法例2二、參量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)05:10三、*極坐標(biāo)系下曲線的切線的斜率(38')第31課例1：求心形線......某一點(diǎn)處切線的斜率四、相關(guān)變化率(5'50)兩個(gè)例子第四節(jié)、函數(shù)的微分(24')一、微分的概念第32課二、可微與可導(dǎo)的關(guān)系〔互為充要條件〕微分的幾何意義三、微分公式1、根本初等函數(shù)的微分公式2、函數(shù)的和、差、積、商的微分公式四、復(fù)合函數(shù)的微分公式微分形式不變性第33課第四章、微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)、微分中值定理一、Rolle定理(羅爾定理)6二、Lagrange定理(拉格朗日定理)分析第34課Lagrange定理的證明利用它做證明題。第35課三、Cauchy定理(柯西定理)四、Taylor定理(泰勒定理)(23'30")其證明(未證完)第36課Taylor定理繼續(xù)證明f(x)的n階Maclaurin公式－麥克勞林公式Peano型余項(xiàng)第37課第二節(jié)、羅必塔法那么一、0/0型不定式法那么I推論I第38課二、8/8型(7')法那么II(不證，超出范圍)推論II三、其它類型未定式(24'30")0.8型、8-8型、0^0型,1^8型,8^0型解決方法：化為0/0或8/8型第39課第三節(jié)、函數(shù)的增減性與極值1、函數(shù)單調(diào)增、減的必要條件2、函數(shù)單調(diào)增、減的充分條件第40課例2、3二、函數(shù)的極值、及求法(21')一、函數(shù)單調(diào)增、減的必要充分條件2、函數(shù)單調(diào)增、減的充分條件二、函數(shù)的極值及求法1、極值的必要條件第41課極值存在的充分條件第一充分條件第二充分條件(37')第42課例3第四節(jié)、函數(shù)的最大、小值(11')例〔未完〕第43課例〔續(xù)〕利用函數(shù)的最值可以證明不等式例3第五節(jié)、函數(shù)的凹凸性、拐點(diǎn)函數(shù)的凹凸性的定義函數(shù)的凹凸性的判別第44課判定拐點(diǎn)的方法第六節(jié)、函數(shù)圖形的描繪〔42'〕第45課一、曲線的漸近線二、函數(shù)圖形的描繪(34')第46課例子：作圖(續(xù))第七節(jié)、曲率(14'30")一、弧的微分光滑曲線有向光滑曲線弧長(zhǎng)的度量一、弧微分第47課二、曲率及其計(jì)算公式(3')直線的曲率為0圓的曲率為1/R第48課例1例2第五章、不定積分(21')第一節(jié)、不定積分概念25一、原函數(shù)與不定積分第49課二、不定積分的幾何意義(9')三、不定積分性質(zhì)四、不定積分的根本公式－根本積分表第50課幾個(gè)例子第二節(jié)、換元積分法(20')一、第一換元法第51課第一換元積分法的幾個(gè)例子第52課二、第二換元法(0')第53課第二換元法的例子〔5'〕第三節(jié)、分部積分法(42')第54課分部積分法的證明分部積分法的幾個(gè)例子第55課第四節(jié)、幾類函數(shù)的積分法一、有理函數(shù)的積分第56課局部分式(和)的積分第57課二、三角函數(shù)有理式的積分舉例三、兩種無(wú)理函數(shù)的積分第一類第58課第二類第六章、定積分(16')第一節(jié)、定積分概念一、實(shí)例1、曲邊梯形的面積分割作積求和取極限第59課估計(jì)是二、定積分的定義上冊(cè)59講asf音頻：第60課三、定積分的幾何意義例1、利用定積分的幾何意義來(lái)求定積分值例2、應(yīng)用定積分的定義來(lái)求定積分值第二節(jié)、定積分性質(zhì)、定積分中值定理一、定積分性質(zhì)(24')1、2、3、第61課定積分性質(zhì)456二、定積分中值定理〔38'〕1、定積分第一中值定理第62課1、定積分第一中值定理2、定積分第二中值定理第三節(jié)、定積分與原函數(shù)的關(guān)系(35')一、變上限的定積分第63課(繼)<定理>二、牛頓－萊布尼茲公式(Newton-Leibniz)<定理2>第64課舉例第四節(jié)、定積分計(jì)算法(32')一、定積分的換元積分法第65課證明(定積分的換元積分法)舉例第66課例二、定積分的分部積分法(13')第67課第六節(jié)、廣義積分、T-函數(shù)〔咖瑪函數(shù)〕(0')一、無(wú)窮限的廣義積分(4'40")二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分(41')第68課三、T－函數(shù)(咖瑪函數(shù))(21'20")第69課第七節(jié)、定積分在幾何上的應(yīng)用(6')一、定積分元素法二、平面圖形面積(29')1、直角坐標(biāo)情形第70課例子2、極坐標(biāo)的情況(15')三、求立體的體積(34')1、平行截面面積為的立體的體積第71課例子2、旋轉(zhuǎn)體的體積(12')第72課四、平面曲線的弧長(zhǎng)1、直角坐標(biāo)的情形2、極坐標(biāo)的情形(25')第73課五、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積第八節(jié)、定積分在物理上的應(yīng)用(30')一、變力做功第74課例子電荷做功抽水做功彈簧彈性力做功(19')二、引力(35')例第75課續(xù)例三、液體的側(cè)力(29'20)推出公式第76課例子四、函數(shù)值的平均值(22')算術(shù)平均值例子(37'33")=====定積分全部結(jié)束=====第77課第七章、空間解析幾何矢量代數(shù)§1.空間直角坐標(biāo)系一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)第78課二、空間中兩點(diǎn)間的距離例1例2§2.矢量代數(shù)(24')一、矢量概念二、矢量運(yùn)算1.矢量加法第79課2.矢量減法(10')3.矢量與數(shù)的乘法第80課三、矢量的坐標(biāo)表達(dá)法1.矢量在軸上的投影(6')投影定理〔32'〕第81課2.矢量的坐標(biāo)表達(dá)式第82課3.矢量的模和方向余弦(9')四、二階及三階行列式根本知識(shí)(30')1.二階行列式2.三階行列式第83課五、數(shù)量積，矢量積(19')1.兩矢量的數(shù)量積第84課2.兩個(gè)矢量的矢量積(15')第85課例1例2(35')例3第86課§3.平面及其方程一、曲面方程的概念例1例2例3二、平面的點(diǎn)法式方程(26')例1例2第87課例3三、平面的一般式方程四、平面的截距式方程(44'20")第88課五、兩平面夾角(2'30")例1六、平面外一點(diǎn)到平面的距離§4.空間直線及其方程一、空間曲線及其方程第89課二、直線的對(duì)稱式和參量式方程例1三、直線的一般式方程例2四、直線的相互關(guān)系五、直線與平面的夾角第90課例3例4習(xí)題：7-41,3,4,5,6,7,8,11,13§5.曲面與方程一、柱面(36')例1第91課二、旋轉(zhuǎn)曲面例1例2習(xí)題：7-51,3,4,6,8第92課§6.二次曲面一、橢球面二、拋曲面第93課三、雙曲面(12')1.單葉雙曲面2.雙葉雙曲面例1習(xí)題：7-61,2,3第94課§7.空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程例1例2二、空間曲線的參量方程例3第95課三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線例1例2例3=====高數(shù)上冊(cè)完=====＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝第96課第8章、多元函數(shù)微積分§1.多元函數(shù)概念一、平面點(diǎn)集的根本知識(shí)1.鄰域2.區(qū)域3.聚點(diǎn)第97課4.n維空間(5')二、多元函數(shù)的概念例1例2第98課二元函數(shù)的幾何意義例1例2習(xí)題：8-11,2,4,7,8(1)(4)(6)三、二元函數(shù)的極限第99課例1二元函數(shù)極限的四那么運(yùn)算(15')例2例3四、二元函數(shù)的連續(xù)性第100課在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)性質(zhì)1.最大、最小值存在性定理2.介值定理§2.偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)概念(25')第101課例1例2例3例4二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、高階偏導(dǎo)數(shù)(42')第102課例5例6習(xí)題：8-21(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,15§3.全微分一、全微分概念(28')第103課例全微分定義定理1可微的必要條件〔38'〕可微->偏導(dǎo)存在習(xí)題：8-31(1)(5)(7)(9)(10)第104課二、可微的充要條件例1定理2可微的充分條件(26')證明第105課〔續(xù)證〕例1總結(jié)§4.多元復(fù)合函數(shù)微分法一、多元復(fù)合函數(shù)微分法(21')定理證明第106課復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)示意圖例1例2例3例4例5第107課一、多元復(fù)合函數(shù)微分法〔續(xù)〕二、全微分形式不變性(4'15")三、多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)〔本節(jié)核心、重點(diǎn)內(nèi)容〕例1例2(40')習(xí)題：8-417,18,19,20,22,23第108課例3§5.隱函數(shù)的微分法(21')隱函數(shù)：〔定義〕一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理1例1第109課一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)〔續(xù)〕例2隱函數(shù)存在定理2(15'40")例1(30')例2(40')第110課二、方程組所確定的隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理3例1(22')例2(34'30")習(xí)題：8-417,18,19,20,22,238-51,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21第111課§6.方向?qū)?shù)，梯度一、方向?qū)?shù)定理證例1第112課二、梯度＜梯度定義＞例1例2(32')§7.偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線和法平面(43')第113課〔續(xù)前節(jié)〕例1例2(22'30")習(xí)題：8-62,3,4,5,7,98-72,3,4,6,8二、曲面的切平面和法線(35')證明第114課結(jié)論＜定義＞切平面曲面的法線法線的方程例1例2第115課例3(1')證明：§8.多元函數(shù)的極值和求法(15')一、二元函數(shù)的極值和求法＜二元函數(shù)極值定義＞1、＜極值存在的必要條件＞2、＜極值存在的充分條件＞(39')第116課求二元函數(shù)極值的步驟例1(8')二、求二元函數(shù)的最大值、最小值(19')例2(26')習(xí)題：8-711,13,14,18,20,22,23第117課§8.多元函數(shù)的極值和求法(續(xù))例三、條件極值(22'30")----Lagrange系數(shù)法解決條件極值的方法，有兩種：第118課解決條件極值的方法〔續(xù)〕例1(20')習(xí)題：8-81(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18第9章、重積分(37')§1、二重積分的概念、性質(zhì)一、實(shí)例1、曲頂柱體體積第119課§1.二重積分的概念、性質(zhì)〔續(xù)〕2、平面薄板質(zhì)量二、二重積分定義(29')第120課三、二重積分性質(zhì)(3'40")1、2、3、4、5、估值定理〔介值定理〕(14')6、中值定理§2.二重積分的計(jì)算(22')--化為兩次單積分的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系下第121課〔續(xù)〕計(jì)算二重積分步驟例1例2第122課〔續(xù)〕例3例4例5(36')習(xí)題：9-12(1)(4),3(2)(3)9-21(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)第123課二、在極坐標(biāo)下1、二重積分由直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式2、極坐標(biāo)下的累次積分(34')第124課例1(4')例2例3(25'18")例4(40')習(xí)題：9-25(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7)第125課例5(2'20")§3.三重積分(20'30")一、三重積分定義二、三重積分性質(zhì)(38'30")1、2、3、第126課4、(4'30")5、6、例1§4.三重積分的計(jì)算(21')一、直角坐標(biāo)系下(23')第127課例1例2例3(36')習(xí)題9-41〔1〕(2)(4)2(1)(2)(3)(4)第128課二、在柱面坐標(biāo)系下例1(27'11")例2第129課續(xù)例2三、球面坐標(biāo)系下例142'習(xí)題：9-43(1)(2)(3)(5)第130課在球面坐標(biāo)系下，三重積分化為三次積分例14'例220'習(xí)題：9-44(1)(2)(3)(5)5(3)(5)第131課第五節(jié)重積分的應(yīng)用一、重積分在幾何上的應(yīng)用1、封閉曲面所圍立體的體積例1例22、曲面的面積(34'31")第132課例104'14''例213'08''二、重積分在物理上的應(yīng)用(29')1、物體的質(zhì)量2、物體的重心(35')習(xí)題9-51(1)(2)(3)2(1)(2)(5)第133課〔〕1平面薄板的重心2空間立體的重心例128'26''第134課續(xù)例1例23'20''3物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量25'第135課例1例217'習(xí)題9-56,7,8,10,12,14第十章曲線積分與曲面積分(27')例1第一節(jié)第一類曲線積分第136課一、第一類曲線積分的概念和性質(zhì)二、第一類曲線積分的計(jì)算(13')1、設(shè)空間曲線L由參量方程給出證明第137課例1例28'30''例318'50''習(xí)題10-12,3,5,7,10,11,15第二節(jié)第二類曲線積分24'50''一、矢量場(chǎng)的概念矢量場(chǎng)、曲線方向的規(guī)定二、第二類曲線積分概念、性質(zhì)〔43'30"〕例第138課概念19'56''性質(zhì)1，2，3第139課三、第二類曲線積分的計(jì)算9'30''第140課例1例211'30''例328'24''第141課四、兩類曲線積分的關(guān)系兩類曲線積分可以互相轉(zhuǎn)化第三節(jié)格林〔Green〕公式(19')一、格林公式證明(36')第142課證明續(xù)例1(37')第143課例2例3(21')二、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(44')第144課證明第145課證明續(xù)注意(20')例1(28')第146課例2例3(30')第四節(jié)第一類曲面積分(41')一、第一類曲面積分的概念、性質(zhì)第147課性質(zhì)1、2、3二、第一類曲面積分計(jì)算〔本節(jié)重點(diǎn)問(wèn)題〕(20')例1(38')第148課例2第五節(jié)第二類曲面積分(21')〔和曲面的方向有關(guān)〕一、有向曲面的概念第149課二、第二類曲面積分的定義兩類曲面積分的關(guān)系(38')第150課三、第二類曲面積分計(jì)算法例1(28')第151課例2第六節(jié)高斯公式曲面積分與曲面積分無(wú)關(guān)的條件(33')一、高斯公式第152課證明例1(20')例2(29')第153課二、曲面積分與路徑無(wú)關(guān)的條件〔不考〕定理：證明〔略〕第七節(jié)斯托克斯公式、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件一、斯托克斯公式(9')證明〔略〕例1(21')二、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(40')〔不考〕第154課第11章級(jí)數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、級(jí)數(shù)根本概念級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)的局部和、級(jí)數(shù)收斂例1、討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性(21')例2、(32')例3、(35'39")二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)(40')性質(zhì)1、推論第155課性質(zhì)2、性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)5(一個(gè)必要條件，可用來(lái)證發(fā)散)第156課三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：定義、收斂的充要條件1、比擬判別法(11')例1討論P(yáng)級(jí)數(shù)的斂散性例2根號(hào)里有平方第157課例3例4定理：比擬判別法的極限形式例1例2例3第158課2、比值判別法例1、例2、例3很不錯(cuò)，是比值與比擬兩個(gè)判別法的綜合第159課3、根值判別法例1(14')例2(17')4、積分判別法(20')例1例2小結(jié)(38')四、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法(42')1、交錯(cuò)級(jí)數(shù)第160課萊布尼茲定理例1(21')2、絕對(duì)收斂，條件收斂第161課例13、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(23')第二節(jié)冪級(jí)數(shù)(31')函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)根本概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域，發(fā)散域第162課一、冪級(jí)數(shù)及其收斂域阿貝爾定理收斂域第163課收斂半徑的求法定理例1(22')例2(30')例3(32')例4(35')缺項(xiàng)那么用比值判別法第164課例題5二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(10')四那么運(yùn)算性質(zhì)分析運(yùn)算性質(zhì)例1(34')例2(42')第165課第三節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式〔冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式〕定理1n階導(dǎo)數(shù)存在是展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的必要條件定理2余項(xiàng)極限為0是冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的充要條件(31')第166課二、函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)1、直接展開(kāi)法例1(10')例2(23')2、間接展開(kāi)法(35')〔1〕逐項(xiàng)求導(dǎo)法例1〔2〕逐項(xiàng)積分法(40')例2第167課〔3〕變量代換法(6')例3例4〔4〕四那么運(yùn)算法例5(17')〔5〕求和函數(shù)法例6(29')第168課例6續(xù)三、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)(10'34")記住幾個(gè)重要的根本和函數(shù)例1(17')例2例3求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和例4第169課四、歐拉公式五、冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的應(yīng)用第170課第五節(jié)付里葉級(jí)數(shù)(35')一、三角函數(shù)系的正交性(41')第171課二、傅立葉級(jí)數(shù)(16')Dirichlet定理(39')---收斂條件例1(43')第172課例1續(xù)例2(28')第173課三、正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)1、奇、偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)證明例1(22')例2(28')2、把函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)(41')第174課例1(6'30")四、以2l為周期的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)(13')第175課第12章微分方程第一節(jié)微分方程根本概念例1(6')例2(10')第176課第二節(jié)一階微分方程一、可別離變量的微分方程二、齊次方程(38’)第177課可化為齊次的方程(20')三、一階線性方程(33')第178課例1例2四、伯努利方程(14')五、全微分方程(27')第179課1、用曲線積分法2、用不定積分法例1(19')六、一階微分方程應(yīng)用舉例(29')例1〔冷卻問(wèn)題〕例2〔44'〕第180課例2續(xù)〔1〕瞬態(tài)法〔2〕微量法第181課第三節(jié)可降階的高階方程一、y'n'=f(x)型的方程二、y"=f(x,y')型的方程三、y"=f(y,y')型的方程第182課第四節(jié)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理(37')第183課定理3第五節(jié)常系數(shù)線性微分方程(12')一、常系數(shù)線性齊次方程(16')第184課例題1、2、3〔三種情況一樣一個(gè)〕、4〔多重〕二、常系數(shù)線性非齊次方程(35')第185課求解兩種情況例1(34')第186課例2、3、4第二種情況(含有sincos的情形)(30')例1(36')第187課例2、3小結(jié)(34')第188課三、常系數(shù)線性微分方程應(yīng)用舉例(21')第189課四、歐拉方程(14'30")蔡高廳高等數(shù)學(xué)教材配套課后習(xí)題題解(版本一高等數(shù)學(xué)題解天津大學(xué)數(shù)學(xué)系2005年4月第一章習(xí)題1—1x22．設(shè)f(sin)=cosx+1，求f(x)及f(cos)解得x2xxf(sin)=cosx+1=2(1sin2).22f(x)=2(1x2),x∈[1,1].〔或1cosx〕xxxf(cos)=2(1cos2)=2sin2.2223．假設(shè)f(x)=1+x,x2,當(dāng)-∞<x≤0，當(dāng)0<x<+∞.求f(2),f(0),f(5)及f(x1).解令f(2)=1,f(0)=1,f(5)=25當(dāng)-∞<t≤0,當(dāng)0<t<+∞那么1+t,t=x1.由于f(t)=t2,1+(x1),f(x1)=x12,x,=x12,2當(dāng)-∞<x1≤0當(dāng)0<x1<+∞當(dāng)-∞<x≤1，當(dāng)1<x<+∞.24．設(shè)單值函數(shù)f(u)滿足關(guān)系式：f(lgu)2uf(lgu)+ulgu=0,u∈[1,10]且f(0)=0,求f(x)解由f2(lgu)2uf(lgu)+u2lgu=0,得f(lgu)=u(1±1lgu)=10lgu(1±1lgu).故f(x)=10(11x)，x∈[0,1].〔由f(0)=0,舍去f(x)=10(1+1x).〕xx5．設(shè)y=11xf(tx),且當(dāng)x=1時(shí)，y=t2t+.求f(x)2221121解當(dāng)x=1時(shí)，y=f(t1)=tt+,于是f(t1)=(t1)2.故222f(x)=x2.111的奇偶性+6．判定函數(shù)f(x)=232+31解由于f(x)=2+3xxxx1+23xx=(23)x+(2+3)x11=f(x)+=232+3故f(x)為偶函數(shù).7．求函數(shù)f(x)=sin2x的周期.2解設(shè)f(x)的周期為T(mén)，f(x)=那么π2，可知函數(shù)f(x)的周期是T=π211cos4x1.由于是常數(shù)，cos4x的周期為222.8．證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有界的充分必要條件是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)既有上界，又有下界.證明“必要性〞設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有界，即存在M>0使得對(duì)每一個(gè)x∈(a,b)皆有f(x)≤M，M≤f(x)≤M,因此M和M分別是函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的下界和上界.即對(duì)每一個(gè)x∈(a,b)皆有“充分性〞f(x)在(a,b)內(nèi)有上界M1和下界m1，設(shè)f(x)≤M1，f(x)≥m1.令M=max{M1,m1}那么對(duì)每一個(gè)x∈(a,b)有M≤m1≤f(x)≤M1≤M,于是f(x)≤M,故f(x)在(a,b)內(nèi)有界.1+x2,,9．求函數(shù)y=f(x)=01x2,解由于函數(shù)當(dāng)x>0,當(dāng)x=0,當(dāng)x<0的反函數(shù)y=1+x2(x>0)的值域?yàn)?1,+∞)，故它的反函數(shù)為y=x1(x>1)，又函數(shù)y=1x2(x<0)的值域?yàn)?∞,1)，故它的反函數(shù)為y=x1(x<1).因此所求函數(shù)的反函數(shù)為2x1,y=0,x1,當(dāng)x>1,當(dāng)x=0,當(dāng)x<1.10．設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式af(u)+bf()=且a≠b，求f(x).1uc,(u≠0)其中a,b,c為常數(shù)，u解由1caf(u)+bf()=…………〔1〕uu1〔1〕式中將u換為得到u1af()+bf(u)=cu………〔2〕u由(1)和(2)解出f(u)=c(abu2)c(abx2),(u≠0).從而f(x)=2,(x≠0).(a2b2)u(ab2)x1所確定的復(fù)合函數(shù)f[f(x)]的定義域1+x11．求由函數(shù)f(x)=解由f(x)=1，(x≠1)，有1+x1=1+f(x)11)1+(1+x=1+x,2+xf[f(x)]=(x≠1,2)3習(xí)3．證明以下等式成立〔1〕sh2x=2shxchx；題1—2e2xe2xexexex+ex=2=2shxchx.222x〔2〕shx+chx=e；exexex+ex證明shx+chx=+=ex.22x〔3〕chxshx=e；ex+exexex證明chxshx==ex.2222〔4〕chxshx=1.(ex+ex)2(exex)2證明ch2xsh2x==1.44114．對(duì)函數(shù)f(x),x∈[l,l],證明等式f(x)=[f(x)+f(x)]+[f(x)f(x)]2211成立.指出[f(x)+f(x)]與[f(x)f(x)]的奇偶性.2211證明[f(x)+f(x)]+[f(x)f(x)]221111=f(x)+f(x)+f(x)f(x)=f(x).2222證明sh2x=令(x)=[f(x)+f(x)]，ψ(x)=[f(x)f(x)]，那么(x)={f(x)+f[(x)]}=[f(x)+f(x)]=(x)12121212故1[f(x)+f(x)]，(x∈[l,l])為偶函數(shù).而211ψ(x)={f(x)f[(x)]}=[f(x)f(x)]221=[f(x)f(x)]=ψ(x)21故[f(x)f(x)]，(x∈[l,l])為奇函數(shù).25．設(shè)(x)=x2，ψ(x)=2x，求[ψ(x)],ψ[(x)],[(x)]和ψ[ψ(x)]2解[ψ(x)]=(2x)2=22x；ψ[(x)]=2x；[(x)]=(22)2=x4；ψ[ψ(x)]=22.x46．設(shè)f(x)=證明1x(a+ax),〔a>0〕證明：f(x+t)+f(xt)=2f(x)f(t).2112f(x)f(t)=2(ax+ax)(at+at)221=(ax+t+atx+axt+axt)211=[ax+t+a(x+t)]+[axt+a(xt)]22=f(x+t)+f(xt).7．在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接圓柱體，求此圓柱體的體積V與它的高h(yuǎn)之間的函數(shù)關(guān)系.h解設(shè)圓柱截面圓的半徑為r，那么r=R2.于是2V=πr2h=π(R2h2)h.4328．有一倒圓錐體的容器，上口半徑r=7cm，高H=14cm，如果以每分鐘5cm的速度向此容器內(nèi)注入液體，求容器內(nèi)液體深度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)在圓錐容器內(nèi)液體的液面半徑為R(0≤R≤r=7cm)，液面的高為h(0≤h≤H=14cm)，那么V=π3R2h=π1Rr1==，或R=h.于是圓錐內(nèi)液體的體積為：2hH2h3(0≤h≤14cm)12在t分鐘內(nèi)，流入容器內(nèi)液體的體積為5t，故5t=π12h3h與t的函數(shù)關(guān)系為h=360πt，t∈[0,686π].155復(fù)習(xí)題11．填空題〔1〕設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，那么f(sinx)的定義域?yàn)閇2kπ,(2k+1)π],k∈Z.〔2〕設(shè)f(x)=1x，那么f(x≠0,1)的表達(dá)式為1x,(x≠0,1).x1f(x)x,x<0,1(x+x)，g(x)=2那么f[g(x)]2x,x≥0.〔3〕設(shè)f(x)=2．選擇題〔1〕假設(shè)f(x+20,x<0,=2.x,x≥0.111)=x2+2,那么f(x)的值為xxx111222；〔B〕x2；〔C〕x+24；〔D〕x+2+4.2xxx答〔C〕〔A〕x+〔2〕假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y有f(x)f(y)=xy，且f(0)=0，那么f(x)f(y)等于〔A〕x+y；〔B〕xy；〔C〕xy；〔D〕0.答〔〔3〕以下函數(shù)為周期函數(shù)的是〔A〕f(x)=sinB〕x；3〔B〕f(x)=sinx；2〔C〕f(x)=[x]3x；〔D〕f(x)=xcosx.答〔C〕3．設(shè)f()=x(1+1xx2+1)，(x>0).求f(x).11+1+xx1x22解1121因?yàn)閒()=x+1+=xxx2所以x+1+x2,f(x)=x24．求函數(shù)y=loga(x+解因?yàn)?x>0).x21)，(a>0,a≠1)的反函數(shù).6ay=x+x21，ay=x+x21.所以x=知反函數(shù)為ay+ay2ax+ax.2y=5．設(shè)y=解11f(tx)，且當(dāng)x=1時(shí)，y=t2t+5，求f(x).2x211f(t1)=t2t+5.故22當(dāng)x=1時(shí)，y=f(t1)=t22t+10=(t1)2+9，知f(x)=x2+9.6．假設(shè)f(x)=a+bx，設(shè)fn(x)=f{f[Lf(x)]}，驗(yàn)證fn(x)=a1424344n個(gè)bn1+bnx.b1解用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=a+bx.設(shè)n=k時(shí)，有fk(x)=abk1+bkx.b1那么當(dāng)n=k+1時(shí)，bk1bk+11fk+1(x)=f[fk(x)]=a+bfk(x)=a+ba+bkx=a+bk+1xb1b1故有fn(x)=abn1+bnx.b17第二章習(xí)3．根據(jù)數(shù)列極限定義證明：〔1〕lim題2—13n+53=n→∞2n+22因?yàn)樽C明3n+53111=<,所以，對(duì)ε>0,取N=，當(dāng)n>N時(shí)，2n+22n+1nε恒有3n+53<ε成立.由定義2n+22n→∞lim3n+53=.2n+22〔2〕lim1+(1)n=0n→∞n由于證明1+(1)n220<，故對(duì)ε>0,取N=，那么當(dāng)n>N時(shí)，恒有nnε1+(1)n0<ε成立，由定義n1+(1)nlim=0。n→∞n〔3〕lim1=0n→∞2n1ln1110=n，對(duì)ε>0,要使<ε，只需n>ε，故nnln2222證明由于1lnε10<ε<1，取N=,當(dāng)n>N時(shí)，恒有n0<ε成立.由定義2ln21=0n→∞2nnπcos2=0〔4〕limn→∞nlim8cos證明因?yàn)閚π20<1,所以對(duì)ε>0,取N=1，那么當(dāng)n>N時(shí)εnncosnπ20<ε.n由定義cosn→∞limnπ2=0.nn→∞n→∞n→∞4．證明：如果limun=a，那么limun=a，并舉例說(shuō)明假設(shè)limun=a，那么n→∞limun=a未必成立.證明由limun=a，知對(duì)ε>0,N>0，使對(duì)一切n>N，恒有una<ε.n→∞又由于舉例una≤una<ε，知limun=a.n→∞設(shè)un=(1)，有nlimun=1，n→∞而limun=lim(1)n→∞n→∞n不存在.5．設(shè)limxn=a，且a>b，證明一定存在一個(gè)整數(shù)N，使當(dāng)n>N時(shí)，xn>b恒成n→∞立.證明恒有因?yàn)閘imxn=a，且a>b，所以對(duì)n→∞ε=ab>0,必N>0，當(dāng)n>N時(shí)，xna<ab,即ba<xna.故當(dāng)n>N時(shí)，xn>b恒成立.6．設(shè)數(shù)列證明{xn}有界，又limyn=0，證明limxnyn=0.n→∞n→∞由于{xn}有界，必M>0，使對(duì)一切n，均有xn<M.又因limyn=0，n→∞9故對(duì)ε>0,必N1>0，當(dāng)n>N1時(shí)，恒有yn0=yn<εM.于是對(duì)上述ε>0，取N=N1，當(dāng)n>N時(shí)，恒有xnyn0=xnyn<M成立，即n→∞εM=εlimxnyn=0.10習(xí)1．用函數(shù)極限定義證明〔1〕lim(3x1)=2x→1題2—2證明對(duì)ε>0,欲使3x12=3x1<ε，只需x1<ε3.于是對(duì)ε>0,取δ=ε3，當(dāng)0<x1<δ時(shí)，恒有3x12<ε.由定義lim(3x1)=2.x→1〔2〕limx→2x24=4x+2x24(4)=x2+4=x+2<ε，所以取δ=ε，當(dāng)x+2證明對(duì)ε>0,由于0<x+2<δ時(shí)，恒有x24(4)<ε成立.x+2由定義x→2limx24=4x+2〔3〕limx→∞1=0x3證明對(duì)ε>0,欲使111130=3<ε.只需x>.即x>3即可.取3εεxxN=31ε,那么當(dāng)x>N時(shí),恒有10<ε成立.x3由定義limx→∞1=0.x311〔4〕limx→1x1x1=2x1x1x1x+1證明對(duì)ε>0,由于2=x+12=<x1，取δ=ε，當(dāng)0<x1<δ時(shí)，恒有x1x1由定義2<ε成立limx→1x1x1=21+x=∞.x→0x4．用無(wú)窮大定義證明lim證明時(shí)，恒有因?yàn)?1+x11=1+>所以對(duì)M>0,取δ=，當(dāng)0<x0<δMxxx1+x>M成立.x由無(wú)窮大定義lim1+x=∞.x→0x8．用海涅定理證明以下極限不存在.〔1〕limcosxx→+∞證明〔1〕假設(shè)取xn=nπ+π，當(dāng)n→∞時(shí)，xn→+∞，而2πl(wèi)imcosxn=limcos(nπ+)=0.n→∞n→∞2〔2〕假設(shè)取xn=2nπ，當(dāng)n→∞時(shí)，xn→+∞，而n→∞limcosxn=limcos2nπ=1.n→∞由海涅定理知x→+∞limcosx不存在.〔2〕limsinx→01x12證明〔1〕假設(shè)取xn=1，當(dāng)n→∞時(shí)，xn→0，而nπn→∞limsin1=limsinnπ=0.xnn→∞12nπ+〔2〕假設(shè)取xn=π2，當(dāng)n→∞時(shí)，xn→0，而limsinn→∞π1=limsin2nπ+=1.2xnn→∞由海涅定理知limsinx→01不存在.x13習(xí)3．求以下各極限〔5〕limx→3題2—31+x2x31+x211+x4=.=limx→3x34(x3)1+x+2解limx→3()〔6〕lim1+x11+x1=limx→0x→03解lim3x→01+x11+x1(1+x1)(1+x+1)(3(1+x)2+31+x+1)(31+x1)(3(1+x)2+31+x+1)(1+x+1)(1+x1)(3(1+x)2+31+x+1)(1+x1)(1+x+1)=limx→0=〔7〕limx2x→∞3.211x+1x1解x2(x1x1)11limx2=2.=limx→∞x21x+1x1x→∞3x2+2x〔8〕limx→∞4x22x+13x2+2xlim2=limx→∞4x2x+1x→∞(2x3)2(3x+1)3x→∞(2x+1)52313+223327xx=.=582512+x233+4解2x21+xx2=3.4〔9〕lim解lim(2x3)2(3x+1)3=limx→∞x→∞(2x+1)5〔10〕limx→2x24x2+x3x2114解limx→2x24x2+x3x21=lim(x2)(x+2)x2+x3+x21x→2x2+x3x2+1()=4(3+3)=83.4．用變量代換求以下極限3〔1〕limx→1x1x1當(dāng)x→1時(shí)，t→1.解令t=6x.3limx→1x1x1=limt→12t21t+1=.=lim23t1t→1t+t+134〔2〕limx2x4當(dāng)x→16時(shí)，t→2.x→16解令t=4x.4x→16limx2x4=limt→21t2=.2t443〔3〕limx→1x223x+1(x1)2當(dāng)x→1時(shí)，t→1.解令t=3x.3limx→14t22t+11x223x+1=lim=.2t→19(x1)2t31()〔4〕lim1+x11+x1當(dāng)x→0時(shí)，t→1.x→03解令t=121+x.4t313=.lim3=lim4x→01+x1t→1t145．求極限〔1〕limx→∞1+x1xsinxx+sinx15sinxxsinxx=1.解lim=limx→∞x+sinxx→∞sinx1+x1〔2〕limxcosx→0x1解因?yàn)閏os是有界函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)x為無(wú)窮小量，所以原式=0.x1〔3〕limex→+∞xcosx=0x解因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，e3為無(wú)窮小量，cosx是有界函數(shù)，所以原式=0.n2+n〔4〕limn→∞n+23解原式=limn→∞n2n+33nn=0.21+n〔5〕limn→∞(n+1n)=0.解原式=limn+1nn+1+nn→∞〔6〕limn→∞nsinn!n2+1nsinn!=0.〔無(wú)窮小與有界函數(shù)乘積仍為無(wú)窮小〕n→∞n+12解原式=lim〔7〕lim1x+n→∞n2an1aa+x++L+x+nnn解原式=limn→∞11+2+3+L+(n1)a(n1)x+nnn(n1)1a=lim(n1)x+2n→∞nn=limaan1x+=x+n→∞22n16〔8〕lim1n→∞11112L12223n1111111+11+L11+2233nn解原式=lim1n→∞n1n+11324=limLn→∞2233nn1n+11=lim=.n→∞2n2〔9〕lim111++L+n→∞1335(2n1)(2n+1)1211111++L+3352n12n+1解原式=lim1n→∞111=lim1=.n→∞22n+12〔10〕lim(x+h)nxnh→0hxn+nxn1h+n(n1)n22xh+L+hnxn2!h解原式=limh→0n(n1)n2=limnxn1+xh+L+hn1=nxn1h→02!7．lim解因?yàn)閤2+1αxβ=0，確定α,β.x→∞x+1x2+1αxβlimx→∞x+122x+1αxαxβxβ=limx→∞x+12(1α)x(α+β)x+(1β)=limx→∞x+1=0只有當(dāng)分子中x項(xiàng)及x項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)才能成立.所以2171α=0α+β=0解得α=1,β=1.18習(xí)1．求以下各極限〔1〕limx→0題2—4tan2xsinxx→0解原式=limtan2x2x=2.2xsinx〔2〕limx→0sin5xsin2xsin5x2x55解原式=lim=.x→05xsin2x22arcsinx〔3〕limx→0x令y=arcsinx.那么當(dāng)x→0時(shí)y→0.原式=lim解y=1.y→0sinysinxsinaxaxax+a2sincos22=cosa.解原式=limx→axatan(πx)〔5〕limx→2x+2tan[π(x+2)2π]tan(x+2)π解原式=lim=lim=π.x→2x→2x+2x+2另一解法令t=x+2，那么當(dāng)x→2時(shí)t→0.tan(π(t2))tanπt原式=lim=lim=π.t→0t→0tttanxsinx〔6〕limx→0x3x2sin2sinx11cosx2=1.=lim解原式=lim22x→0x→0xcosx2xxxsinx〔7〕limx→0x+sin3x〔4〕limx→asinxx1x=0.解原式=limx→0sin3xx1+x1x2〔8〕limx→1sinπx19解令t=x1,那么當(dāng)x→1時(shí)，t→0.原式=limt→01(t+1)2t(t+2)2=lim=.sin(π(t+1))t→0sinπtπ〔9〕lim1cosxx→0x21cosx解原式=limx→0x(1+cosx)2x=1.4〔10〕limxx→∞1+x1解原式=lim1+x→∞x2+x〔11〕limx→∞x3xx=e1.5x3+5解原式=lim=lim1+x→∞x3x3x→∞xx35+35=e5.xx〔12〕lim1+x→02xx2解原式=lim1+=e2.x→021211x〔13〕lim1n→∞nnx解原式=lim1n→∞n1n(x)x=ex.〔14〕limx1xx→1解原式=lim(1(1x))1x=e.11x→11〔15〕lim(cos2x)x→0sin2x201解原式=lim(12sinx)2x→0nsin2x=e2.n+x〔16〕limn→∞n1x+1解原式=lim1+n→∞n1n1+1(x+1)x+1n1x+1x+11+=limn→∞n1x+1x+11+n1=ex+1.2〔17〕lim(13x)sinxx→012(3x)3xsinx解原式=lim(13x)x→0=e6.2．lim解因?yàn)閤+2a=8，求a=?x→∞x2ax即e4a4ax+2alim=lim1+x→∞x2ax→∞x2a3=8，所以a=ln2.4x(x2a)4a4a4a1+x2a2a=e4a.12+exsinx+4．計(jì)算lim4x→0x1+ex解因?yàn)?12+exsinx2+exsinx+lim+=21=1.=lim44x→0xx→0x1+exx1+e又2112ex14+4exexsinx2+exsinx++lim=0+1=1.=lim4x→0+xxx→0+11+ex+14xe所以原式=1.x1xt8．設(shè)f(x)=lim，其中(x1)(t1)>0，試求f(x)的表達(dá)式.t→xt1解設(shè)y=xt,當(dāng)t→x時(shí)，y→01x1y=lim1f(x)=limy→0y→0x1yx11y1y=e1x1(x≠1).22習(xí)4．用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限題2—5arcsin〔1〕limx→0x1x2xx解原式=limx→01x2=1.xlnxx→11x解令t=x1ln(1+t)原式=lim=1.t→0tcosxcos2x〔3〕limx→01cosx〔2〕lim(1cosx)(1+2cosx)cosx+12cos2x解原式=lim=lim=3.x→0x→01cosx1cosx〔4〕lime2x1x→0ln(1+x)解原式=lim2x=2.x→0xx2tanx〔5〕limx→01x21x2x解原式=lim=0.x→012x2〔6〕limx→01cosx(e1)ln(1+x)x12x1解原式=lim2=.x→0xx2lncosax〔7〕limx→0lncosbx1解原式=limx→0ln(1sin2ax)21=limln(1sin2bx)2sin2axa2=2.x→0sin2bxb23〔8〕limx→01+xsinx1ex121xsinx12=.解原式=lim2x→02x〔9〕limn1cos2n→∞πn2π21π解原式=limn=.n→∞2n22〔10〕limexesinxx→0xsinxesinx(exsinx1)xsinx=lim=1.x→0xsinxx→0xsinx解原式=lim〔11〕lim1+sinxcosxx→01+sinpxcospx2sin2xxx+2sincos222解原式=limx→0pxpxpx+2sin2sin2cos222xxxsin+cos2sin22=1.2=limx→0pxpxpxp+cossin2sin222〔12〕lim(x1)ex1x→+∞1解原式=lim(x1)x→+∞1=1.x6．證明無(wú)窮小的等價(jià)關(guān)系具有以下性質(zhì)〔1〕α~α證明因?yàn)閘imα=1，所以α~α.α〔2〕假設(shè)α~β，那么β~αβ，所以lim1αβ=1.而lim=lim=1，所以β~α.αβαβ證明因?yàn)棣羱24〔3假設(shè)α~證明因?yàn)棣?，β~γ，那么α~γ.lim所以α~ααβαβ=lim=limlim=1γβγβγγ.25習(xí)題2—61．證明：假設(shè)f(x)在x=x0處連續(xù)，那么f(x)在x=x0處也一定連續(xù).反之假設(shè)f(x)在x=x0處不連續(xù)，能否得出f(x)在x=x0處一定不連續(xù)？試舉例說(shuō)明。證明由，有l(wèi)imf(x)=f(x0)，即對(duì)ε>0，δ>0，使當(dāng)xx0<δ時(shí)x→x0恒有f(x)f(x0)<ε成立。由于f(x)f(x0)<f(x)f(x0)<ε所以limf(x)=f(x0)，即f(x)在x=x0處連續(xù).x→x0反之不一定成立。例設(shè)f(x)=11當(dāng)x<0當(dāng)x≥0.那么f(x)在x=0處不連續(xù)，而f(x)=1(x∈(∞,+∞))在x=0處連續(xù)。6．設(shè)f(x)=limx2n1x，指出其間斷點(diǎn)及其類型。n→∞x2n+1當(dāng)x<1當(dāng)x=1當(dāng)x>1所以x=±1為間斷點(diǎn)。x解由于f(x)=0x由于在x=±1處f(x)的左、右極限存在，所以x=±1都屬于第一類間斷點(diǎn)。7．試確定a,b的值，使得f(x)=exb有無(wú)窮間斷點(diǎn)x=0，有可去間斷點(diǎn)(xa)(x1)x=1。解因?yàn)閘imexb1b=x→0(xa)(x1)a假設(shè)x=0為f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，那么必須a=0。b≠1假設(shè)limexbx存在，首先必須limeb=0,即b=e。x→1x→1(xa)(x1)()其次lim(xa)≠0,即a≠1。x→126這樣有l(wèi)im補(bǔ)充定義f(1)=綜上，當(dāng)exee=x→1(xa)(x1)1a〔a≠1〕。e,那么f(x)在x=1處連續(xù)。1aa=0a≠1時(shí)，x=0為無(wú)窮間斷點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，x=1為可去間斷點(diǎn)。b≠1b=e9．求以下各題的極限〔1〕limln(x+a)lnax→0x1ln1+x→0xxa1解原式=limxx1=limln1+=.x→0aa〔2〕limx→011+xlnx1x11+x2x解原式=limlnx→01x2x2x=limln1+x→01x2x2x=lnlim1+x→01x1x1+21=1.sinx+4x2cos〔3〕limx→01xtanxsinx1解原式=lim+4xcos=1+0=1.x→0xx3ex2exx→+∞2ex+3exex(3e2x2)3=.x→+∞ex(2e2x+3)2〔4〕lim解原式=lim〔5〕limx[ln(x+2)2ln(x+1)+lnx]x→+∞27xx11解原式=limln1+ln1+=11=0.x→+∞x+1x〔6〕limx→01+tanx1tanxsinxsinx1+tanx+1tanxn解原式=limx→0(2tanx)=1.11〔7〕lim1++2n→∞nn解原式=lim1+n→∞n+1n2n2n+1n+1n=e.10．f(x)∈C[a,b],且f(a)<a，f(b)>b.試證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，設(shè)使f(ξ)=ξ.證明設(shè)F(x)=f(x)x，(x∈[a,b]).那么F(x)∈C[a,b],且F(a)=f(a)a<0,F(b)=f(b)b>0.由連續(xù)函數(shù)根的存在定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F(ξ)=f(ξ)ξ=0，即ξ∈(a,b)，使f(ξ)=ξ.12．證明方程x=asinx+b，其中a>0,b>0，至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)(a+b).證明設(shè)f(x)=x(asinx+b)，那么f(x)∈C[0,a+b],且有f(0)=b<0,f(a+b)=a+basin(a+b)b=a(1sin(a+b))(1)假設(shè)sin(a+b)<1，那么f(a+b)>0，