高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十五單元 計(jì)數(shù)原理雙基過關(guān)檢測(cè) 理試題

“計(jì)數(shù)原理”雙基過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,5) B．25C．52 D．Aeq\o\al(2,5)解析：選B不妨設(shè)5名同學(xué)分別是A，B，C，D，E,對(duì)于A同學(xué)來說，第二天可能出現(xiàn)的不同情況有去和不去2種，同樣對(duì)于B，C，D，E都是2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為2×2×2×2×2＝25(種).2.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種 B．30種C．36種 D．48種解析：選D按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(種)．3．(2018·云南師大附中適應(yīng)性考試)在(a＋x)7展開式中x4的系數(shù)為280，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1 B．±1C．2 D．±2解析：選C由題知，Ceq\o\al(4,7)a3＝280，解得a＝2.4.如圖，∠MON的邊OM上有四點(diǎn)A1，A2，A3，A4，ON上有三點(diǎn)B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為()A．30 B．42C．54 D．56解析：選B用間接法．先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，最多構(gòu)成三角形Ceq\o\al(3,8)個(gè)，再減去三點(diǎn)共線的情形即可．共有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42(個(gè))．5．張、王兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購票后排隊(duì)依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，則這六人入園順序的排法種數(shù)為()A．12 B．24C．36 D．48解析：選B將兩位爸爸排在兩端，有2種排法；將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上，有2Aeq\o\al(3,3)種排法，故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：選D展開式中含x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＋aCeq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1.7．(2018·成都一中摸底)設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選A令等式中令x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2.8．從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是()A．9 B．10C．18 D．20解析：選Clga－lgb＝lgeq\f(a,b)，從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，共有Aeq\o\al(2,5)＝20個(gè)結(jié)果，其中l(wèi)geq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故共可得到不同值的個(gè)數(shù)為20－2＝18.二、填空題9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(2x)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)·(－1)r·25－r·x5－2r.令5－2r＝1，得r＝2.因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)是Ceq\o\al(2,5)·(－1)2·25－2＝80.答案：8010．若n＝eq\i\in(e,e2018,)eq\f(1,x)dx，則二項(xiàng)式(1－eq\r(2)x)n的展開式中第1009項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為________．(用符號(hào)作答)解析：由題意知，n＝eq\i\in(e,e2018,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(e2018,e))＝2017，二項(xiàng)式(1－eq\r(2)x)2017的展開式中第1009項(xiàng)為T1008＋1＝Ceq\o\al(1008,2017)(－eq\r(2)x)1008，其二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(1008,2017).答案：Ceq\o\al(1008,2017)11．(2017·天津高考)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)解析：一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)、三個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960(個(gè))，四個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有Aeq\o\al(4,5)＝120(個(gè))，則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個(gè))．答案：108012．有一個(gè)五邊形ABCDE，若把頂點(diǎn)A，B，C，D，E涂上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰的頂點(diǎn)所涂的顏色不同，則共有________種不同的涂色方法．解析：首先A選取一種顏色，有3種情況.如果A的兩個(gè)相鄰點(diǎn)B，E顏色相同，有2種情況，則最后兩個(gè)點(diǎn)C，D也有2種情況；如果A的兩個(gè)相鄰點(diǎn)B，E顏色不同，有2種情況；則最后兩個(gè)點(diǎn)C，D有3種情況.所以共有3×(2×2＋2×3)＝30種不同的涂色方法.答案：30三、解答題13．已知(a2＋1)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2＋1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求正數(shù)a的值．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))5－rx.令20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項(xiàng)T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16，又(a2＋1)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，由題意得2n＝16，∴n＝4.∴(a2＋1)4展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，從而Ceq\o\al(2,4)(a2)2＝54，∴a＝eq\r(3).14．已知袋中裝有大小相同的4個(gè)紅球和6個(gè)白球，現(xiàn)從中取出4個(gè)．(1)取出的4個(gè)球必須是兩種顏色的取法有多少種？(2)取出的4個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)的取法有多少種？解：(1)根據(jù)題意，袋中裝有大小相同的4個(gè)紅球和6個(gè)白球，從中取出4個(gè)，有Ceq\o\al(4,10)＝210種取法，其中顏色相同的情況有2種：4個(gè)紅球或4個(gè)白球，若4個(gè)紅球，有Ceq\o\al(4,4)＝1種取法，若4個(gè)白球，有Ceq\o\al(4,6)＝15種取法，則取出球必須是兩種顏色的取法有210－(1＋15)＝194種.(2)若取出的紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)，