專(zhuān)題12 定義問(wèn)題（復(fù)習(xí)講義）（解析版）-二輪要點(diǎn)歸納與典例解析

專(zhuān)題12定義問(wèn)題復(fù)習(xí)講義【要點(diǎn)歸納|典例解析】類(lèi)型一：新定義“新定義”型問(wèn)題，指的是命題老師用下定義的方式，給出一個(gè)新的運(yùn)算、符號(hào)、概念、圖形或性質(zhì)等，要求同學(xué)們“化生為熟”、“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，能結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型，這類(lèi)題型往往是教材中一些數(shù)學(xué)概念的拓展、變式，是近幾年中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)?！靶露x”型試題主要考查同學(xué)們學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，具體而言，就是考查大家的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)規(guī)則的選擇與運(yùn)用能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象，旨在引導(dǎo)、培養(yǎng)大家在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，能養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式?！岸x新運(yùn)算”是指用一個(gè)符號(hào)和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算規(guī)定的規(guī)則，明白其中的算理算法．運(yùn)算時(shí)，要嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的運(yùn)算形式，然后按正確的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算．“定義新符號(hào)”試題是定義了一個(gè)新的數(shù)學(xué)符號(hào)，要求同學(xué)們要讀懂符號(hào)，了解新符號(hào)所代表的意義，理解試題對(duì)新符號(hào)的規(guī)定，并將新符號(hào)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，將它轉(zhuǎn)化成熟悉的知識(shí)，而后利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題．1．（2020·棗莊）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【答案】B【解析】根據(jù)新定義運(yùn)算，把方程轉(zhuǎn)化為分式方程．因?yàn)?，所以原方程可轉(zhuǎn)化為，解得x＝5．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解．2．（2020·河南）定義運(yùn)算:☆=.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.則1☆=0方程的根的情況為()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】由定義新運(yùn)算可得，∴△==5＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此本題選A．3．（2020·隨州）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱(chēng)為“降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：，且x＞0，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】本題考查了降次法、整體代入法、整式的化簡(jiǎn)求值，一元二次方程的解法.解答過(guò)程如下：∵，∴，∴======2x，∵，且x＞0，∴x=，∴原式=2×=.因此本題選C．4．（2020·恩施）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”：，例如：．如果，則的值是（）．A. B.1 C.0 D.2【答案】C【解析】根據(jù)題目中給出的新定義運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算：，又，∴，∴．故選：C．5.（2019·岳陽(yáng)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取a時(shí)，函數(shù)值y也等于a，我們稱(chēng)a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．如果二次函數(shù)y=x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1、x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是（）A．c＜－3B．c＜－2C．D．c＜1【答案】B【解析】當(dāng)y=x時(shí)，x=x2+2x+c，即為x2+x+c=0，由題意可知：x1，x2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，∴c－(－1)＋1＜0，∴c＜－2.又知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故Δ＞0，即12－4c＞0，解得：c＜.∴c的取值范圍為c＜－2.6.（2019·濟(jì)寧）已知有理數(shù)a≠1，我們把稱(chēng)為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是＝?1，－1的差倒數(shù)是．如果a1＝－2，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，依此類(lèi)推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（）A．－7.5B．7.5C．5.5D．－5.5【答案】A【解析】由題意知：a2＝＝；a3＝＝，a4＝＝－2；a5＝＝；…；可知經(jīng)過(guò)3次開(kāi)始循環(huán)，所以a1＋a2＋…＋a100＝－2＋＋－2＋＋＋…－2＝＝－7.5．7.（2018浙江金華麗水，14，4分）對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，定義一種新的運(yùn)算：．若，則的值是．【答案】－1．【解析】∵，==a－b=2，∴===－1．故答案為－1．【知識(shí)點(diǎn)】分式的加法；閱讀理解8.（2018湖南益陽(yáng)，17，4分）規(guī)定，如：，若，則x=．【答案】－3或1【思路分析】根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算順序，把化為熟悉的一元二次方程，然后再解方程即可．【解析】解：∵，∴，，解得：x1=－3，x2=1．【知識(shí)點(diǎn)】新定義型，一元二次方程9.（2018四川雅安，15題，3分）若規(guī)定運(yùn)算：ab=2ab，ab=，ab=a-b2，則（12）（63）=________【答案】【解析】原式=(2×1×2)()=4=4-=【知識(shí)點(diǎn)】新定義運(yùn)算10.（2018湖南省永州市，17，4）對(duì)于任意大于0的實(shí)數(shù)x、y，滿(mǎn)足：log2(x·y)=log2x+log2y，若log22=1，則log216=．【答案】4【解析】根據(jù)條件中的新定義，可將log216化為log2(2×2×2×2)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．因此，本題填：4．11．（2019·常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么四邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標(biāo)分別為(0，1)，(0，－1)，P是二次函數(shù)y＝x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y＝－1于點(diǎn)Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①④【解析】正方形和菱形滿(mǎn)足一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，故都是廣義菱形，故①正確；平行四邊形雖然滿(mǎn)足一組對(duì)邊平行，但是鄰邊不一定相等，因此不是廣義菱形，故②錯(cuò)誤；對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形的對(duì)邊不一定平行，鄰邊也不一定相等，因此不是廣義菱形，故③錯(cuò)誤；④中的四邊形PMNQ滿(mǎn)足MN∥PQ，設(shè)P(m，0)（m＞0），∵PM＝＝＋1，PQ＝－(－1)＝＋1，∴PM＝PQ，故四邊形PMNQ是廣義菱形．綜上所述正確的是①④．12．（2019·隴南）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱(chēng)為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則它的特征值k＝．【答案】或．【解析】當(dāng)∠A是頂角時(shí)，底角是50°，則k=；當(dāng)∠A是底角時(shí)，則底角是20°，k=，故答案為：或．13．（2020·衢州）定義，例如，則的結(jié)果為．【答案】【解析】解析：根據(jù)題中的新定義得：＝＝．14．(2020·青海)對(duì)于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“”如下：ab＝，如：32＝＝，那么124＝______．【答案】【解析】依題意可知124＝＝＝．15．（2020·宜賓）定義：分?jǐn)?shù)（m，n為正整數(shù)且互為質(zhì)數(shù)）的連分?jǐn)?shù)（其中a1，a2，a3，…，為整數(shù)，且等式右邊的每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都為1），記作+++…，例如：＝＝＝＝＝＝，的連分?jǐn)?shù)為，記作+++，則++．【答案】【解析】根據(jù)連分?jǐn)?shù)的定義列式計(jì)算即可解答．++＝＝＝＝．16．（2020·黔西南州）規(guī)定:在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱(chēng)這個(gè)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，轉(zhuǎn)動(dòng)的這個(gè)角度α稱(chēng)為這個(gè)圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角．例如:正方形繞著兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，且有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)以上規(guī)定，回答問(wèn)題:（1）下列圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是________；A．矩形B．正五邊形 C．菱形D．正六邊形（2）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，且有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是60度的有:________（填序號(hào)）；（3）下列三個(gè)命題:①中心對(duì)稱(chēng)圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形；②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形；③圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，其中真命題的個(gè)數(shù)有（）個(gè)；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如圖2的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)角有45°，90°，135°，180°，將圖形補(bǔ)充完整．【解析】本題考查了新定義“旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形”．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行判斷；（2）先分別求每一個(gè)圖形中的旋轉(zhuǎn)角，然后再進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行判斷；（4）利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行設(shè)計(jì)．【答案】解:（1）B（2）（1）（3）（5）（3）C（4）如答圖:17．（2020·北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫(xiě)出的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可；（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，分別求出OE、OF的長(zhǎng)，由得到的最小值；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O上都存在兩條對(duì)應(yīng)線段A′B′和A′′B′′,滿(mǎn)足它們平行且相等，由平移距離可知，AA′的長(zhǎng)度的最小值即為平移距離，因此當(dāng)且僅當(dāng)AA′＝AA′′時(shí)，平移距離最大（否則誰(shuí)小取誰(shuí)）【答案】解：（1）平行；P3；（2）如圖，線段AB在直線上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交弦CD于點(diǎn)F，OF⊥CD，令，直線與x軸交點(diǎn)為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴．由垂徑定理得：，∴；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長(zhǎng)度為1的弦即可；點(diǎn)A到O的距離為．如圖，平移距離的最小值即點(diǎn)A到⊙O的最小值：；如圖，由平移距離可知，AA′的長(zhǎng)度的最小值即為平移距離，因此當(dāng)且僅當(dāng)AA′＝AA′′時(shí)，平移距離最大，如圖所示：由題意可知：△AA′O≌△AA′′O，可得∠AOA′′＝120°，在Rt△A′OC中，A′C＝，所以AA′＝．∴．18．（2020·懷化）定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）下面四邊形是垂等四邊形的是；（填序號(hào)）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形（2）圖形判定：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作BD垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠DBC＝45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形．（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半．應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半徑．【答案】解：（1）①平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四邊形；②矩形對(duì)角線相等但不垂直，故不是垂等四邊形；③菱形的對(duì)角線互相垂直但不相等，故不是垂等四邊形；④正方形的對(duì)角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；故選：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD是垂等四邊形；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD，∵四邊形ABCD是垂等四邊形，∴AC＝BD，又∵垂等四邊形的面積是24，∴AC?BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，設(shè)半徑為r，根據(jù)