考研數(shù)學(xué)模擬試卷(數(shù)學(xué)二)(附答案詳解)

考研數(shù)學(xué)模擬試卷〔數(shù)學(xué)二〕〔附答案，詳解〕一、選擇題〔此題共8小題，每題4分，總分值32分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕1.設(shè)在內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則以下函數(shù)中是奇函數(shù)的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.設(shè)則是的〔〕.〔A〕可去間斷點(diǎn)〔B〕跳躍間斷點(diǎn)〔C〕第二類間斷點(diǎn)〔D〕連續(xù)點(diǎn)3.假設(shè)函數(shù)與在內(nèi)可導(dǎo)，且，則必有〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是〔〕.〔A〕連續(xù)的奇函數(shù)〔B〕連續(xù)的偶函數(shù)〔C〕在間斷的奇函數(shù)〔D〕在間斷的偶函數(shù).5.函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)有〔〕.〔A〕3個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕1個(gè)〔D〕0個(gè).6.假設(shè)，在內(nèi)，，則在內(nèi)有〔〕.〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，7.設(shè)為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且.假設(shè)的秩為3，則相似于〔〕.(A)(B)(C)(D)8.設(shè)3階方陣的特征值是，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，令，則〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分，把答案填在題中橫線上〕9.設(shè)二階可導(dǎo)，，則.10.微分方程的通解為.11.曲線的水平漸近線為.12.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.13.假設(shè)，則，.14.設(shè)為階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1，則齊次方程組的通解為.三、解答題〔此題共9小題，總分值94分。解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟〕15.〔此題總分值10分〕求極限.16.〔此題總分值10分〕設(shè)在上連續(xù)，且.求.17.〔此題總分值10分〕設(shè)，證明：.18.〔此題總分值10分〕求微分方程的通解.19.〔此題總分值10分〕設(shè)區(qū)域，計(jì)算二重積分.20.〔此題總分值11分〕設(shè)，計(jì)算.21.〔此題總分值11分〕求由曲線和直線所圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.22.〔此題總分值11分〕非齊次線性方程組有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.〔1〕證明：方程組系數(shù)矩陣的秩；〔2〕求的值以及方程組的通解.23.〔此題總分值11分〕設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，即，且．(I)求的特征值與特征向量；(II)求矩陣．?dāng)?shù)學(xué)根底階段測(cè)試答案解析〔數(shù)學(xué)二〕一、選擇題〔此題共8小題，每題4分，總分值32分，每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕1.設(shè)在內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則以下函數(shù)中是奇函數(shù)的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：選擇〔B〕.與都為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，由積分的性質(zhì)可得為奇函數(shù).舉例可得〔A〕為偶函數(shù)，〔C〕為偶函數(shù)，〔D〕為偶函數(shù).故〔A〕〔C〕〔D〕錯(cuò)誤.2.設(shè)則是的〔〕.〔A〕可去間斷點(diǎn)〔B〕跳躍間斷點(diǎn)〔C〕第二類間斷點(diǎn)〔D〕連續(xù)點(diǎn)解析：選擇〔B〕.，.因此是的跳躍間斷點(diǎn).3.假設(shè)函數(shù)與在內(nèi)可導(dǎo)，且，則必有〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：選擇〔C〕.函數(shù)與在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)與在內(nèi)連續(xù)，因此，，而，故.4.設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是〔〕.〔A〕連續(xù)的奇函數(shù)〔B〕連續(xù)的偶函數(shù)〔C〕在間斷的奇函數(shù)〔D〕在間斷的偶函數(shù)解析：選擇〔B〕.只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，因此可積，由變上限積分函數(shù)的性質(zhì)可知，假設(shè)可積，則連續(xù).是奇函數(shù)可得是偶函數(shù).因此是連續(xù)的偶函數(shù).5.函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)有〔〕.〔A〕3個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕1個(gè)〔D〕0個(gè).解析：選擇〔B〕.由按照定義求導(dǎo)法則可知，在不可導(dǎo)，在一階可導(dǎo).因此，的不可導(dǎo)點(diǎn)，關(guān)鍵在于因子分解并考察的點(diǎn)，.于是可知，在處不可導(dǎo)，而在處是可導(dǎo)的.故不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.應(yīng)選〔B〕.6.假設(shè)〔〕，在內(nèi)，，則在內(nèi)有〔〕.〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕，解析：選擇〔C〕.由得在上為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，為偶函數(shù).根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可得〔C〕正確.7.設(shè)為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且.假設(shè)的秩為3，則相似于〔〕.(A)(B)(C)(D)解析：選擇〔D〕.由可得矩陣的特征值滿足，從而或.由為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，得可以相似對(duì)角化，的秩為3得有三個(gè)非零特征值，即的特征值為,,,.8.設(shè)3階方陣的特征值是，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，令，則〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：選擇〔B〕.由題意可得.于是.二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分，把答案填在題中橫線上〕9.設(shè)二階可導(dǎo)，，則.解析：應(yīng)填1..解析：應(yīng)填.此方程為一階線性非齊次微分方程.于是得.11.曲線的水平漸近線為.解析：應(yīng)填.，故曲線的水平漸近線為.12.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.解析：應(yīng)填.設(shè).在兩邊積分得，即，得.于是.13.假設(shè)，則，.解析：應(yīng)填1，-4.，分子趨于零得分母也趨于零，于是可知.，得.14.設(shè)為階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1，則齊次方程組的通解為.解析：應(yīng)填.由的伴隨矩陣的元素全為1得，的秩為1，可得的秩為，于是的根底解系中只有一個(gè)向量.由的秩為可得，，于是.可得的每一列即為方程組的解，因此方程組有非零解，故的通解為.三、解答題〔此題共9小題，總分值94分。解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟〕15.〔此題總分值10分〕求極限.解：原式.令，則原式.16.〔此題總分值10分〕設(shè)在上連續(xù)，且.求.解：設(shè)，則.于是.等式兩邊對(duì)求導(dǎo)可得，.即為.17.〔此題總分值10分〕設(shè)，證明：.證明：設(shè)，.，即在上為偶函數(shù)，因此只需要證明在時(shí)，..當(dāng)時(shí)，，，因此有，得.得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此當(dāng)時(shí)，，即.18.〔此題總分值10分〕求微分方程的通解.解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為,解得特征根,所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為．設(shè)原方程的一個(gè)特解為,則,,代入原方程,解得,故特解為．故方程的通解為．19.〔此題總分值10分〕設(shè)區(qū)域，計(jì)算二重積分.解：積分區(qū)域?qū)ΨQ于軸，為的奇函數(shù)，從而知所以.20.〔此題總分值11分〕設(shè)，計(jì)算.解：累次積分交換積分次序.21.〔此題總分值11分〕求由曲線和直線所圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.解：22.〔此題總分值11分〕非齊次線性方程組有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.〔1〕證明：方程組系數(shù)矩陣的秩；〔2〕求的值以及方程組的通解.解：〔1〕系數(shù)矩陣未知量的個(gè)數(shù)為，且又有三個(gè)線性無(wú)關(guān)解，設(shè)是方程組的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,則是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)又是齊次方程的解，于是的根底解系中解的個(gè)數(shù)不少于2,得,從而.又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€性無(wú)關(guān)的,所以.所以.〔2〕由〔1〕得，因此中所有三階子式全為零，可得，，分別計(jì)算出，.所以作初等行變換后化為，它的同解方程組令求出的一個(gè)特解；的同解方程組是，取代入得；取代入得.所以的根底解系為，.所以方程組的通解為：，為任意常數(shù).23.〔此題總分值11分〕設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，即，且．(I)求的