2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過-一元二次方程

2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過-----元二次方程

一、單選題(每題3分，共30分)

1.若x=-1是方程x2+x+m=O的一個根，則此方程的另一個根是()

A.-1B.0C.1D.2

2.李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若從1月到3月，每月盈利的平均增

長率都相同，則這個平均增長率是()

A.10.5%B.10%C.20%D.21%

3.受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢.某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，

五月底是8.9元/升.設(shè)該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為％,根據(jù)題意列出方程，正

確的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(14-%)2=6.2

C.6.2(1+/)=8.9D.6.2(1+x)+6.2(14-%)2=8.9

4.關(guān)于x的一元二次方程fcx2+2%-1=0有兩個相等的實數(shù)根，則k=()

A.-2B.-1C.0D.1

5.用配方法解一元二次方程3/+6x—1=0時，將它化為(x+a)2=b的形式，則a+b的值為

()

A?學(xué)B-|C.2D.|

6.若％=-2是一元二次方程/+2%+巾=0的一個根，則方程的另一個根及m的值分別是

()

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

7.一元二次方程/+4x-8=0的解是(

A.X1=2+2次，不=2—2V3B.%1=2+2A/2,%2=2-2\[2

C.%1=一2+2\/2>%2=-2—2\/2D.打=—2+2V3,%2=-2—2V3

8.若關(guān)于x的一元二次方程/—+徵2-4m—1=0有兩個實數(shù)根不，x2＜且(%]+2)(冷+

2)-=17,則m=()

A.2或6B.2或8C.2D.6

9.已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-3=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m>|B.m<|C.m〉|且m,lD.mz|且m?4

10.已知％i，%2是方程/-x-2022=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式滔-2022xi的值是()

A.4045B.4044C.2022D.1

二、填空題（每題3分，共28分）

11.方程2X?+1=3X的解為.

12.一元二次方程（%-2）（%+7）=0的根是.

13.若一元二次方程/-4%+3=0的兩個根是久1，Xi,則5?打的值是.

14.一元二次方程x2-4%+3=0配方為（久一2猿=k，則k的值是.

15.設(shè)方程X2-2021X-1=0的兩個根分別為XI、X2,則Xl+X2-XIX2的值是.

16.a、￡是關(guān)于x的方程/一x+k-1=0的兩個實數(shù)根，且a2-2a-/?=4,則k的值

為.

17.將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示.利用容積列出圖中x（cm）滿足的一

元二次方程：（不必化簡）.

18.若一元二次方程x2+x—c=0沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是.

19.關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根X”x2,且好+腐=帶，貝U

m=?

20.已知XI、X2是關(guān)于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實數(shù)根，且募+,=xp+2x2-1,則k的值

為.

三、解答題（共7題，共62分）

21.解方程：（2x+3/=（3x+2產(chǎn)

22.如圖，在長為50m,寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使

草坪的面積為1260m2,道路的寬應(yīng)為多少？

50m

23.閱讀材料，解答問題:

材料1

為了解方程(7)2—13好+36=0,如果我們把/看作一個整體，然后設(shè)＞=/，則原方程可化

23

為V-13y4-36=0,經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，，2=±-%3,4=±.我們把以上這種解決問題

的方法通常叫做換元法.

材料2

2

己知實數(shù)m,n滿足血2一7n-1=o,n—n—1=0,且m力n,顯然m,n是方程%2一%一1=

0的兩個不相等的實數(shù)根，由書達(dá)定理可知zn+n=1,mn=-1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程,-5x2+6=0的解為；

(2)間接應(yīng)用:

已知實數(shù)a,b滿足：2a4-7。2+1=0,2b,一7爐+1=。且。手匕，求。，十//的值；

(3)拓展應(yīng)用：

111

已知實數(shù)m,n滿足：一+f=7,"一相=7且?guī)祝?,求=+層的值.

m*TYT

24.(Da,b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示.

III?

a0b

用“v，,或“＞,，填空：ab,ab0；

(2)在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分

解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程.

(l)x2+2x-l=0；(2)X2-3X=0；(3)X2-4X=4；(4)X2-4=0.

25.如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD,鐵絲恰好全部用完.

(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？

(2)矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

26.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為a,￡,且a+20=5,求小的值.

27.某造紙廠為節(jié)約木材，實現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項目的生產(chǎn)規(guī)模

不斷擴(kuò)大.該廠3,4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸.

(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；

(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加m%.5月份每噸再生

紙的利潤比上月增加號％,則5月份再生紙項目月利潤達(dá)到66萬元.求m的值；

(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份

再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%.求6月份每噸

再生紙的利潤是多少元？

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：：x=-1是方程x2+x+m=0的一個根，設(shè)另一個根為a,

-l+a=-l

解之:a=0,

???方程的另一個根為0.

故答案為：B.

【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為xi,X2,則xi+x2=-p,據(jù)此設(shè)另一個根為a,可得

到關(guān)于a的方程，解方程求出a的值.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)這個平均增長率是x,根據(jù)題意得

3000（1+x）2=3630

解之:xi=0.1=10%,X2=-2.1（舍去）.

故答案為：B.

【分析】此題的等量關(guān)系為：今年1月盈利x（1+增長率）2=今年3月盈利，設(shè)未知數(shù)，列方程，然

后求出符合題意的方程的解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：依題意，得6.2（l+x）2=8.9.

故答案為：A.

【分析】此題的等量關(guān)系為：92號汽油價格三月底的單價x（1+增長率）2=五月底的單價，列方程即

可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：???原方程有兩個相等的實數(shù)根，

/.A=b2-4ac=4-4x（-k）=0,且k#0；

解得k=-l.

故答案為：B.

【分析】對于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且/0）“中，當(dāng)b2-4ac>0時方程有兩個

不相等的實數(shù)根，當(dāng)bJ4ac=0時方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)b2-4ac<0時方程沒有實數(shù)根，據(jù)此結(jié)

合題意得20且4=b2-4ac=0,代入求解可得k的值.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：???3/+6%-1=0,

?，?3x2+6%=1,，+2%=5

則/+2%+1=^+1,即(X+1)2=*

??CL=1,b=可,

.,L7

??(24~0=可

故答案為：B.

【分析】利用配方法的計算方法將原方程變形為(x+1)2=g,再利用待定系數(shù)法可得a、b的值，最

后將a、b的值代入計算即可。

6.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，

V%=-2是一元二次方程必+2%+m=0的一個根，

把％=—2代入%2+2%+m=0,貝lj

(-2)24~2x(—2)+??1=0,

解得：m=0；

Ax2+2%=0,

+2)=0,

?=-21x=0r

二方程的另一個根是％=0；

故答案為：B.

【分析】將x=-2代入方程中可得m的值，則方程可化為x2+2x=0,利用因式分解法可得方程的解，

據(jù)此解答.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：?.“2+4%-8=0,

x2+4%=8,

：.X2+4X+4=12,

???(％+=12,

???％+2=±2存

解得％1=-2+2后冷=-2一2百，

故答案為：D.

【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。

8.【答案】A

【解析】【解答】解：：關(guān)于*的一元二次方程/-2皿+/-癡-1=0有兩個實數(shù)根，

.'>21=(-2m)2—4(m2-4m—1)>0,

.、1

??巾2_］，

2

VX1,%2是方程%2-2mx+m-4m-1=0的兩個實數(shù)根，

2

".,%1+%2=2m,xx-x2=m-47n—1,

又(％i4-2)(X+2)-17

22XXX2=

+x2)~%i%2-13=0

2

把Xi+%2=2m,Xi-x2=m--4m—1代入整理得，

m2—8m+12=0

解得，mi=2,m2=6

故答案為：A.

【分析】根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可得△K),代入求解可得m的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得

Xi+X2=2m,xiX2=m2-4m-l,然后結(jié)合已知條件可得m的值.

9.【答案】D

【解析】【解答】解???關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-3=0有實數(shù)根，

...1△=22-4(m-1)X(-3)>0

Im-1H0

解得：m>^E.m^l.

故答案為：D.

【分析】對于一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，且a/))”中，當(dāng)b2-4ac>0時方程有兩個

不相等的實數(shù)根，當(dāng)bJ4ac=0時方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)b2-4ac<0時方程沒有實數(shù)根，據(jù)此可

得m-1并且△出,代入求解可得m的范圍.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：解：..”i，型是方程/一%-2022=0的兩個實數(shù)根，

=

?'.久/-2022=%i，%i%2-2022,+x2=1

2222

斕—2022%1+x2=%i(xi—2022)+x2=x/+%2=(/+%2)—2x1X2=1—2X(—2022)

=4045

故答案為：A

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得％/—2022=/，5工2=-2022,勺+肛=1，則

2x2x2

xl-2022%1+%2=—2022)+x2=i+2=(%i+'2)?-2%62=1—2x(—2022)=

4045o

11.【答案】勺=1，％2=；

【解析】【解答】解：2x2+析3x

2x2-3x+l=0

(2x-l)(x-l)=0,

.41

??％i=1，x2=2-

故答案為：不=1,%2=今

【分析】先把原方程化為一元二次方程的一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.

12.【答案】打=2或％2=-7

【解析】【解答】解：由題意可知：％—2=0或％+7=0,

/.%1=2或％2=—7，

故答案為：打=2或％2=一7.

【分析】由兩個因式的積等于0,則至少有一個因式等于0,得x?2=0或x+7=0,求解即可.

13.【答案】3

【解析】【解答】解：久2是一元二次方程%之一4%+3=0的兩個根，

:.?%2=3.

故答案為：3.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x-X2=*據(jù)此解答.

14.【答案】1

［解析］［解答］解：%2—4%+3=0

%2—4%+4=-3+4

X2—4x4-4=1

(x—2)2=1

：.k=1

故答案為：1.

【分析】先將常數(shù)項移到方程的右邊，再在方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方“4”，將左邊

寫成完全平方式，即可求出k值.

15.【答案】2022

【解析】【解答】解：?.?方程x2-2021x-l=0的兩個根分別為xi、X2,

.,.XI+X2=2021,X1X2—1,

/.x1+X2-X1X2=2021+1=2022.

故答案為：2022.

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出XI+X2=2021,Xlx2=-1,再代入原式進(jìn)行計算，即可

得出答案.

16.【答案】-4

【解析】【解答】解：：a、0是方程x+k-1=0的根

.,.a2—a+k—1—0,a+0=l

a?-2a—6=a?—a—(a+?)=—k+1—1=—k=4

.?.k=-4

故答案為：-4.

【分析】根據(jù)方程解的概念可得aJa+k-l=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+p=l,根據(jù)a2-2a-P=a2-a-

(a+p)=4可得k的值.

17.【答案】^2^.%.15=360

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得長方體的長為小產(chǎn)cm,寬為xcm,高為1.5cm,列方程為：

20-2x-X-15=360.

故答案為：20-2x-x-15=360.

【分析】觀察長方體的展開圖可知此長方體的長，寬，高，再利用長方體的容積為360cm3,可得到

關(guān)于x的方程.

18.【答案】c<-4

4

【解析】【解答】解：：一元二次方程X2+X—C=0沒有實數(shù)根，

=I2-4x1x(―c)<0,

解得c<_J

4

故答案為：c<—4

4

【分析】對于一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，且a/))”中,當(dāng)b2-4ac>0時方程有兩個

不相等的實數(shù)根，當(dāng)b2-4ac=0時方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)b2-4ac<0時方程沒有實數(shù)根，據(jù)此結(jié)

合題意，列出不等式，求解即可.

19.【答案】一］

O

【解析】【解答】解:根據(jù)題意得x1+X2=-2m,X1X2=J,

VX12+X22=^,

Q

（X|+X2）2-2X[X2=B

3

/.4m2-m=

169

?13

..mi=-g,m2=g,

A=16m2-8m>0,

或m<0,

不合題意,

o

故答案為：—1

【分析】先求出m」，m2=|,再求出m>插m<0,最后求解即可。

20.【答案】2

【解析】【解答】解：；xi、X2是關(guān)于x的方程x2-2x+k-1=0的兩實數(shù)根，

.?.XI+X2=2,xi?X2=k-1,xi2-2xi+k-1=0,

Axi2=2xi-k+1,

x9X-i-

VTT-+—=XI2+2X2~1,

X1x2

2

...(叼+%2)-24四=2(x,+x2)-k,

xlx2

2

/.2-2(fc-l)=4-k,

k-1

解得k=2或k=5,

當(dāng)k=2時，關(guān)于x的方程為x2-2x+l=0,A>0,符合題意；

當(dāng)k=5時，關(guān)于x的方程為x2-2x+4=0,A<0,方程無實數(shù)解，不符合題意;

.\k=2.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得Xl+X2=2,X1-X2=k-1,根據(jù)方程解的概念可得X|2=2x-k+1,對

2

已知中的等式進(jìn)行變形可得支墳二藥及=2(Xl+X2)-k,代入求解可得k的值，然后代入原方程中

xlx2

可得關(guān)于X的一元二次方程，求出判別式的值，進(jìn)而可得k的值.

21.【答案】解：?.?(2%+3)2=(3%+2)2

：.2x4-3=-3%-2或2x+3=3%+2

解得=—1,%2=1.

【解析】【分析】利用直接開平方法求解一元二次方程即可。

22.【答案】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得

(50-2x)x(38-2x)=1260

解得：xi=4,X2=4O(不符合題意，舍去)

答：道路的寬應(yīng)為4米.

【解析】【分析】設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，則草坪的長為(50-2x)m,寬為(38-2x)m,然后根據(jù)草坪的面

積為1260m2可列出關(guān)于x的方程，求解即可.

23.【答案】(1)X\=A/2>%2=—V2,冷=x4=—V3

(2)解：'：aHb,

a2。廬或(^2=屬色=—h)

①當(dāng)a?豐廬時，號&-m,b2=n>

2

Am片n則27n2-77n+1=0,2n-7n+1=0,

：.m,ri是方程2/-7x+1=0的兩個不相等的實數(shù)根，

Jm+n=W

,，)］，

Vmn=2

此時a4+b4—m2+n2=(m+n)2-2mn=竽；

②當(dāng)a?=h2(a=—b)時，a2=b2=Zigl,

422

此時a，+b=2a4=2(?)=2(左尹：=生尋畫；

綜上：。4+64=竽或45±產(chǎn)

44

(3)解：令當(dāng)=a,-n=bf則次+a—7=0,房+力一7=0，

Vn>0,

-7。一九即QHb,

.,.a,b是方程/+%_7=0的兩個不相等的實數(shù)根,

?fa+b=—1

??(ab=-7'

故與+層=。2+廬=但+b)2—2ab=15.

【解析】【解答］(1)解：令y=x2,貝I」有y2?5y+6=0,

(y-2)(y-3)=0,

/.yi=2,y2=3,

，x2=2或3，

=V2，%2=—魚，％3=V3，X4=-75，

故答案為：打=V2,x2=一四，%3=V3，%4=—V3；

【分析】（1）觀察方程特點(diǎn)：含未知數(shù)的部分存在平方關(guān)系，因此設(shè)y=x2,將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y

的一元二次方程，利用換元法解方程求出y的值，再回代，可求出x的值；

（2）設(shè)a2=m,b2=n,可知m,n是方程2x2-7x+l=0的解,分情況討論:當(dāng)時,利用一元二

次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求出m+n和mn的值，然后利用配方法可求出a，+b4的值；當(dāng)a24?時,

利用求根公式法，可求出a?、b2的值，從而可求出a，+b4的值;

1

⑶設(shè)厘=處—n=b,可得到a2+a-7=0,b2+b-7=0,可推出a,b是方程x2+x-7=0的兩個根,

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求出a+b和ab的值；由此可求出々+層的值.

24.【答案】（1）<；<

(2)解：①x2+2x-l=0；

移項得x2+2x=l,

配方得X2+2X+1=1+I,即(x+l)2=2,

則x+l=±V2,

???Xi=-1+V2,X2=-1-V2；

@x2-3x=0；

因式分解得x(x-3)=0,

則x=0或x-3=0,

解得x尸0,X2=3；

(3)x2-4x=4；

酉己方得x2?4x+4=4+4,BP(x-2)2=8,

則x-2=±2V2.

，XI=2+2曰X2=2-25/2;

④x2-=40.

因式分解得（x+2）（x-2）=0,

則x+2=0或x-2=0,

解得xi=-2,X2=2.

【解析】【解答］解：（1）由題意可知：a<（）,b>0,

.\a<b,ab<0；

故答案為：<,<;

【分析】（1）根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置可得a<0,b>0,據(jù)此解答；

（2）①將常數(shù)項移到方程的右邊，在方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方“1”，左邊利用完全

平方公式分解因式，右邊合并同類項，然后利用直接開平方法進(jìn)行計算；

②此方程是一元二次方程的一般形式，且缺常數(shù)項，故左邊易于利用提取公因式法分解因式，從而

即可利用因式分解法求解即可；

③將常數(shù)項移到方程的右邊，在方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方“4”，左邊利用完全平方公

式分解因式，右邊合并同類項，然后利用直接開平方法進(jìn)行計算；

④此方程是一元二次方程的一般形式，且缺一次項，左邊易于利用平方差公式法分解因式，從而即

可利用因式分解法求解即可.

25.【答案】（1）解：設(shè)AB的長為x厘米，則有人。=吟囪厘米，

由題意得：咤當(dāng)?x=144,整理得：x2-20X+96=0,

解得：=8,%2=12，

v60-3x>0；/.0<x<20,

?'?打=8,x2=12都正確,

答：AB的長為8厘米或12厘米.

（2）150

【解析】【解答】（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S平方厘米，則有：s=竺券?

x=—+30%=—^（x-10）2+150>|<0,且0<久<20,.,.當(dāng)％=10時，S有最大值，

即為S=150；故答案為：150.

【分析】(1)先求出如#.=144，再解方程求解即可;

(2)先