中考數學幾何模型重點突破講練：專題19 三角形內接矩形相似模型（學生版）

專題19三角形內接矩形相似模型【模型】如圖，四邊形DEFG是△ABC的內接矩形，EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，則△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.【例1】如圖，在中，AD是BC邊上的高，在的內部，作一個正方形PQRS，若，，則正方形PQRS的邊長為（

）A． B． C．1 D．【例2】如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長________．【例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點B運動．過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點D，以PD為邊在PD右側做正方形PDEF．設正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒（0＜t＜4）．（1）當點D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為（用含t的代數式表示）．（2）當點E落在邊BC上時，求t的值．（3）當點D在邊AC上時，求S與t之間的函數關系式．（4）作射線PE交邊BC于點G，連結DF．當DF＝4EG時，直接寫出t的值．一、單選題1．如圖，矩形內接于，且邊落在上，若，那么的長為(

)A． B． C． D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置邊長分別為3，4，x的三個正方形，則x的值為（

）A．12 B．7 C．6 D．53．如圖，將一張面積為50的大三角形紙片沿著虛線剪成三張小三角形紙片與一張矩形紙片．根據圖中標示的長度，則矩形紙片的面積為（

）A．12 B．18 C．24 D．304．如圖，在△ABC中，AB邊上取一點P，畫正方形PQMN，使Q，M在邊BC上，N在邊AC上，連接BN，在BN上截取NE=NM，連接EQ，EM，當時，則∠QEM度數為（

）A．60° B．70° C．75° D．90°5．如圖，在中，，，，若內接正方形的邊長是x，則h、c、x的數量關系為（

）A． B． C． D．6．我國古代數學著作《九章算法比類大全》有題如下：“方種芝麻斜種黍，勾股之田十畝無零數．九十股差方為界，勾差十步分明許．借問賢家如何取，多少黍田多少芝麻畝．算的二田無誤處，智能才華算中舉．”大意是：正方形田種芝麻，斜形（三角形）種黍，有一塊直角三角形是10畝整．股差步，勾差步．請問黍田、芝麻各多少畝？（1畝平方步）答：（

）A．藝麻田3.75畝，黍田6.25畝 B．芝麻田3.25畝，黍田6.75畝C．芝麻田3.70畝，黍田6.30畝 D．芝麻田3.30畝，黍田6.70畝二、填空題7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．在其內并排放入（不重疊）n個相同的小正方形紙片，使這些紙片的一邊都在AB上，首尾兩個正方形各有一個頂點D，E分別在AC，BC上，則小正方形的邊長為_____（用含n的代數式表示）．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，在三角形內挖掉正方形CDEF，則正方形CDEF的邊長為________．9．如圖的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直線AG分別交DE、BC于M、N兩點．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，則BN的長度為_____．10．如圖，矩形內接于，且邊落在上．若，，，，那么的長為__．11．如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．12．在中，，點在線段上，過點作于點，于點，使得四邊形為正方形，此時，，則陰影部分面積為_________．三、解答題13．如圖，己知直角三角形的鐵片ABC的兩直角邊BC、AC的長分別為3cm和4cm，分別采用（1）、（2）兩種剪法，剪出一塊正方形鐵片，為使所得的正方形面積最大，問哪一種剪法好？為什么？14．如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．(1)求證：△BDE∽△EFC；(2)設，△EFC的面積是20，求△ABC的面積．15．如圖，在中，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，，．(1)求證：．(2)若，，求線段BE的長．16．一塊三角形的余料，底邊BC長1.8米，高AD＝1米，如圖．要利用它裁剪一個長寬比是3∶2的長方形，使長方形的長在BC上，另兩個頂點在AB、AC上，求長方形的長EH和寬EF的長．17．我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例：已知x可取任何實數，試求二次三項式的最值．解：∵無論x取何實數，總有．∴，即無論x取何實數，有最小值，是．(1)問題：已知，試求y的最值．(2)【知識遷移】在中，是邊上的高，矩形的頂點P、N分別在邊上，頂點Q、M在邊上，探究一：，求出矩形的最大面積的值；（提示：由矩形我們很容易證明，可以設，經過推導，用含有x的代數式表示出該矩形的面積，從而求得答案．）(3)探究二：，則矩形面積S的最大值___________．（用含a，h的代數式表示）18．如圖，為一塊鐵板余料，，，，要把它加工成正方形小鐵板，有如圖所示的兩種加工方案，請你分別計算這兩種加工方案的正方形的邊長．19．在△ABC中，BC＝2，BC邊上的高AD＝1，P是BC上任一點，PEAB交AC于E，PFAC交AB于F．(1)設BP＝x，將S△PEF用x表示；(2)當P在BC邊上什么位置時，S值最大．20．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝12m，高線AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少米？小穎解得此題的答案為4.8m．(1)你知道小穎是怎么做的嗎？請你寫出解答過程？(2)善于反思，她又提出了如下的問題，如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的