2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第2章 第6節(jié) 第2課時　函數(shù)模型的應(yīng)用

第2課時函數(shù)模型的應(yīng)用

［考試要求］

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解”指數(shù)爆

炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.

2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會選擇合適的函數(shù)

模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.

［走進(jìn)教材:宅基礎(chǔ)］回顧知識?激活技能

◎梳理?必備知識

1.指數(shù)、對數(shù)、募函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)

產(chǎn)優(yōu)伍>1)y=10gaX（?>l）丁=爐（〃>0）

性

在(0,+°°)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨〃值變化而各有

圖象的變化

現(xiàn)為與y軸平行為與X軸平行不同

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f^x）=ax+b（a,為常數(shù)，a#0）

:1

二次函數(shù)模型J（x）=ax+bx+c（a9b,c為常數(shù)，”W0）

與指數(shù)函數(shù)

fix）=bax+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

相關(guān)的模型

與對數(shù)函數(shù)

j{x}=b\ogax+c{a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,Z?WO）

相關(guān)的模型

與幕函數(shù)相

八%)=以"十伙a,b,〃為常數(shù)，aWO)

關(guān)的模型

［常用結(jié)論］

“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其

增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量

越來越小.

?激活?基本技能

一、易錯易誤辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)y=2'的函數(shù)值比的函數(shù)值大.()

(2)不存在xo,使oxo<xo<log?xo.()

(3)在(0,+8)上，隨著》的增大，y="(a>l)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大

于y=d(a>l)的增長速度.()

(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=o〃+c(aW0,8>0,且bWl)增長速度越

來越快的形象比喻.()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

二'教材習(xí)題衍生

1.已知g(九)=2，，/7(X)=log2X,當(dāng)光W(4,+8)時，對三個函數(shù)的

增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()

A.fix)>g(x)>h(x)B.g(x)>/(x)>〃(x)

C.g(x)>%(x)>>Ax)D.J(x}>h(x)>g(x)

B［當(dāng)x￡(4,+8)時，易知增長速度由大到小依次為g(x)>/(x)>/z(x).故

選B.］

2.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原

來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前

的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14

用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是()

A.8B.9C.10D.11

C［設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過〃(〃GN)個“半衰

期”后的含量為(；)，由七)(丁嬴，得〃21°.

所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需

要經(jīng)過10個“半衰期”.］

3.某城市客運(yùn)公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100km,票價

是0.5元/km,如果超過100km,超過100km的部分按0.4元/km定價，則客運(yùn)

2

票價六元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是

0.5x,OaWlOOO.5x,O4W1OO,

［由題意可得y=<]

0.4x+10,x>10010.4x4-10,x>100.

4.里氏震級M的計(jì)算公式為：M=lgA-lgAo,其中A是測震儀記錄的地

震曲線的最大振幅，Ao是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測震儀

記錄的最大振幅是1000,此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為

級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍.

610000[M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.

設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為Ai,A2,則9=lgAi

AyA.

TgAo=lg方則瓦=1H

5=lgA2-lgAo=lg/,則親=1()5,所以光=104

即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍.］

［細(xì)研考慮?突破題型］重難解惑■直擊高考

考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題悔組通關(guān)

1.已知正方形ABCD的邊長為4,動點(diǎn)P從3點(diǎn)開始沿折線BCD4向A點(diǎn)

運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為龍，的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象是()

ABCD

D［依題意知，當(dāng)0WxW4時，/(x)=2x;

當(dāng)4aW8時，./)=8；

當(dāng)8<rW12時，/(x)=24—2x,觀察四個選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.］

2.為研究西南高寒山區(qū)一種常見樹的生長周期中前10年的生長規(guī)律，統(tǒng)計(jì)

顯示，生長4年的樹高為;米，如圖所示的散點(diǎn)圖，記錄了樣本樹的生長時間/(年)

與樹高M(jìn)米)之間的關(guān)系.請你據(jù)此判斷，在下列函數(shù)模型：?y=2'-a；②y=a

+log2/；③尸5+a；④中(其中a為正的常實(shí)數(shù))，擬合生長年數(shù)與樹

高的關(guān)系最好的是(填寫序號)，估計(jì)該樹生長8年后的樹高為

3

米.

4

.?

2.一

10

0|i234567<

②y［由散點(diǎn)圖的走勢，知模型①不合適.

曲線過點(diǎn)（4,（），則后三個模型的解析式分別為②y=；+log2f;金>=1+；;

④y=3+；,

4

當(dāng)r=1時，代入④中，得y=g，與圖不符，易知擬合最好的是②.

將t=8代入②式，得y=g+log28=學(xué)米）.］

3.（2020.北京高考）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)

加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間r

的關(guān)系為卬=m），用的大小評價在口,切這段時間內(nèi)企業(yè)污水

治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖

所示.

給出下列四個結(jié)論：

①在［九，0這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在/2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在△時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,3，口1,勿，上2,旬這三段時間中,在［0,川的污水治理能

力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

①②③［由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在力時刻高于乙企業(yè)，而在￡2時

刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在m，⑵這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理

4

能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；由題圖知在f2時刻，甲企業(yè)對應(yīng)的關(guān)系圖象斜率的

絕對值大于乙企業(yè)的，故②正確；在73時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于

污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，③正確；甲企業(yè)在［0,川，［A,及］，［及，⑸這三

段時間中，在［0,九］的污水治理能力明顯低于上1,勿時的，故④錯誤.］

畬反思領(lǐng)悟

判斷實(shí)際問題中兩變量變化過程的方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再

結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的

變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，

選擇出符合實(shí)際情況的答案.

考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題枷生共研

［典例1］(1)(2020.全國III卷)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流

行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)/⑺”

K

的單位：天)的Logistic模型：/?)=1+e「'廠53,，其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)

")=0.95K時,標(biāo)志著已初步遏制疫情，則r*約為(參考數(shù)據(jù)：In19心3)()

A.60B.63C.66D.69

(2)對于某種類型的口服藥，口服x小時后，由消化系統(tǒng)進(jìn)入血液中藥物濃

度M單位：個單位)與時間M單位：小時)的關(guān)系為y=Ke~l"-e~hl),其中Q0,

/?>a>0為常數(shù)，對于某一種藥物％=4,<2=1,b=2.

①口服藥物后多少小時血液中藥物濃度最高；

②這種藥物服藥〃(〃WN*)小時后血液中藥物濃度如下表,

n12345678

0.95450.93040.69320.46800.30100.18920.11630.072

一個病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個

單位以上，求第三次服藥時間.(時間以整點(diǎn)為準(zhǔn))

K1

(1)C［由題意可知，當(dāng)/(/*)=0.95K時，［5e—023(7二537=0.95乂即即

=l+e-0.23(f-53),e-0.23(/一53)=4,e0.23(f-53)=19,0.23(——53)

5

=ln19^3,.*“*'66.故選C.]

（2）［解］①將％=4,a=l,Z?=2代入可得y=4（ei—廣2，）=—4售一J=一

4（W）+1,所以當(dāng)W,即r=ln2時y取得最大值.

②病人上午8:00第一次服藥3小時后血液中藥物濃度將低于0.5個單位，

則第二次服藥時間在11:00;第一次服藥后7個小時后藥物殘留為0.1163,第

二次服藥后4小時的藥物殘留為0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.

第一次服藥后8小時的藥物殘留為0.072,第二次服藥后5小時的藥物殘留

為0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.

綜上可知，第三次服藥時間為第一次服藥后的7小時，即為15:00.

令反思領(lǐng)悟求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（1）（2021.山東濟(jì)南模擬）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分

類儲存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱.分類

的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)價值，力爭物盡其用.進(jìn)行垃圾分類收集可

以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、

經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效益.已知某種垃圾的分解率。與時間《月）滿足函數(shù)關(guān)

系式飲其中a,h為非零常數(shù)）.若經(jīng)過12個月,這種垃圾的分解率為10%,

經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為20%,那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）

至少需要經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)1g2Q0.3）（）

A.120個月B,64個月

C.52個月D.48個月

（2）對于一個聲強(qiáng)為/（單位：W/n?）的聲波，其聲強(qiáng)級L（單位：dB）可由如下

公式計(jì)算：L=101g3其中/o是能引起聽覺的最弱聲強(qiáng)）.設(shè)聲強(qiáng)為力時的聲強(qiáng)級

為70dB,聲強(qiáng)為h時的聲強(qiáng)級為60dB,則1\是h的倍.

6

V(12)=6(ZJI2=0.1,—

(1)C(2)10[⑴依題設(shè)有j/、”解得。=212,。=0.05,故00)

[°(24)=加4=0.2,

=0.05X(2=)：

令0(f)=1,得=20,

故一叫六2。=號=#。這筆@=52.故選C.

1g21212lg2

(2)依題意，可知70=101g￡,60=101g

所以70—60=101g101g5則l=lg￡所以￡=10.]

n考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題，多維探究

考向1二次函數(shù)模型

[典例2—1]某公司研發(fā)的A、B兩種芯片都已獲得成功.該公司研發(fā)芯片

已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)，經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)

A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得毛收入

0.25千萬元；生產(chǎn)B芯片的毛收入y(千萬元)與投入的資金x(千萬元)的函數(shù)關(guān)系

為y=3(x〉0)伏與a都為常數(shù))，其圖象如圖所示.

w千萬元

0'4”千萬元

(1)試分別求出生產(chǎn)A、8兩種芯片的毛收入y(千萬元)與投入資金x(千萬元)

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時生產(chǎn)A、3兩種芯片，設(shè)投入x千萬元

生產(chǎn)8芯片，用火x)表示公司所獲利潤，當(dāng)尤為多少時，可以獲得最大利潤？并

求最大利潤.(利潤=A芯片毛收入+3芯片毛收入一研發(fā)耗費(fèi)資金)

[解](1)由題意可知，生產(chǎn)A種芯片的毛收入y(千萬元)與投入資金x(千萬

元)函數(shù)關(guān)系式為y=%(x>0),將點(diǎn)(1，1),(4,2)的坐標(biāo)代入函數(shù)y=*(x>0)的

k=\,

k=l,

解析式，得，，C解得

[k?4。=2,a=7，

7

因此，生產(chǎn)8種芯片的毛收入y(千萬元)與投入資金x(千萬元)函數(shù)關(guān)系式為

y=5(x>0).

⑵由題意可得加)=一廠+,-2=—a+,+8=一式512)+9,

,.,0<x<40,

，當(dāng)5=2時，即當(dāng)x=4時，函數(shù)y=/(x)取得最大值，即式X)max=/(4)=9.

因此，當(dāng)x=4時，利澗最大，且最大利潤為9千萬元.

考向2分段函數(shù)模型

［典例2—2］已知某條地鐵線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔為《單位：

分鐘)，并且2W/W15.經(jīng)市場調(diào)研測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔/相關(guān)，當(dāng)

10UW15時，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為450人；當(dāng)2W/W10時，載客量會減

少，減少的人數(shù)與10一/的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為

258人，記地鐵載客量為p⑺(單位：人).

(1)求〃⑺的解析式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量；

(2)若該線路每分鐘的利潤為。⑺6"⑺—4"95+0230(單位：元)，問當(dāng)發(fā)

車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的利潤最大？

‘450—%(10-r)2,2W/W10,

［解］(1)由題意知「")=，<,、“、-為常數(shù)).

因?yàn)樽?)=450—%(10—2)2=258,得k=3,

一3產(chǎn)+60—150,2WW10,

所以p(/)=<-

”［450,10<W15,

所以p(5)=-3X52+60X5+150=375,

即當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量為375人.

,6P(t)—4950

(2)由。⑺=上-----------+230可得。⑺=

［-18。+爺+590,2WW10,

［一^^+230,10UW15,

當(dāng)2W/W10時，。⑺=-18&+掌)+590,

8

任取t\,短6[2,10],且力<12,則Q（t2）-Q（h）=-18^24—^-J+590+

18&i+筌）—59°

18（，一力）（225一加包）

—tlt2,

因?yàn)榱Γ?2e[2,10],所以225—t”2>0,

所以。。2）一°（力）>0,

所以。⑺在[2,10]上為增函數(shù)，最大值為。（10）=5.

22502250

當(dāng)10<rW15時，。⑺=一1一+230W-飛一+230=80,

當(dāng)r=15時等號成立，所以當(dāng)發(fā)車時間間隔為15分鐘時，該線路每分鐘的

利潤最大，最大值為80元.

考向3指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

[典例2—3]用有機(jī)溶劑萃取水溶液中的溶質(zhì)是化學(xué)中進(jìn)行物質(zhì)分離與提

純的一種重要方法.根據(jù)能斯特分配定律，一次萃取后，溶質(zhì)在有機(jī)溶劑和水中

的物質(zhì)的量濃度（單位：mol/L）之比為常數(shù)K,并稱K為該溶質(zhì)在水和有機(jī)溶劑

中的分配常數(shù).現(xiàn)用一定體積的有機(jī)溶劑進(jìn)行"次萃取，每次萃取后溶質(zhì)在水溶

液中的殘留量為原物質(zhì)的量的倍，溶質(zhì)在水溶液中原始的物質(zhì)的量濃度為

lUiA

1.0mol/L,該溶質(zhì)在水和有機(jī)溶劑中的分配常數(shù)為20,則至少經(jīng)過幾次萃取，

溶質(zhì)在水溶液中的物質(zhì)的量濃度低于LOXlOfmoi/L?（假設(shè)萃取過程中水溶液

的體積不變.參考數(shù)據(jù)：In3=1.099,43~2.303）（）

A.9次B.10次C.11次D.12次

C[由題意知，K=20,則?

1UiA3

設(shè)經(jīng)過〃次萃取，溶質(zhì)在水溶液中的物質(zhì)的量濃度低于1.0X10-5moi/L,則

d<10-5,解得心log11（）-5,

3

-5

L-…yIn1051n105X2.303

由換底公式仔l(wèi)og,10*=j-=—j一丁=[co。-210.48.

—,1in31.uyy

3ln3

則至少經(jīng)過11次萃取,溶質(zhì)在水溶液中的物質(zhì)的量濃度低于1.0X10-5

9

mol/L.故選C.］

合反思領(lǐng)悟

構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題時需注意以下四個步驟

r——］痹清蔽羞:芬清秦漳而以至：至版藪香弟

J:系，初步選擇函數(shù)模型：

兩百竦靜音秦彳F%-藪孽語音:蔣交里寤.矍

六］一:轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng):

:的函數(shù)模型:

曲一碌一函羲稹道蓍由藪摹其南............：

I...............................................

國圉一語藪學(xué)婷記虛原為莢晾番艾而恂頻：

［跟進(jìn)加練］

2.(1)長征五號遙五運(yùn)載火箭創(chuàng)下了我國運(yùn)載火箭的最快速度，2020年11

月24日，它成功將嫦娥五號探測器送入預(yù)定軌道，在不考慮空氣阻力的條件下,

火箭的最大速度0(單位：km/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)

量m(單位：kg)的函數(shù)關(guān)系是0=2OOOln。十卻若火箭的最大速度為11.2km/s,

則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量(除燃料外)的比值約為(參考數(shù)據(jù)：e00056^1.0056)()

A.1.0056B.0.5028

C.0.0056D.0.0028

(2)為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表

kt,0<r<^

(如圖所示).

{訛弓，

實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放量y<O.75(mg/m3)時對人體無害.

①人；

②為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消

毒后至少經(jīng)過________分鐘人方可進(jìn)入房間.

(1)C(2)①2②40［(1)由0=2OOOln1+而=11.2,可得In1+/=

10

0.0056,A—=e00056-1-.0056.

200()m

I?

(2)①由題圖可知，當(dāng)時，y=l,所以7=1,所以％=2.

乙K

2n0<r<I，

{五‘與‘

112

當(dāng)I22時，y=「,令y<0.75,得%,

2

所以在消毒后至少經(jīng)過］小時，即40分鐘人方可進(jìn)入房間.］

命題新視角

3.STSE中的函數(shù)建模問題

近幾年，以STSE(科學(xué)、技術(shù)、社會、環(huán)境)為載體的數(shù)學(xué)高考題比比皆是，

該類問題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模