中專-技校-職高單招-對(duì)口升學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章-函數(shù)VIP

高職高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)123456789集合與邏輯用語不等式函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)列三角函數(shù)平面向量平面解析幾何概率與統(tǒng)計(jì)初步目錄第三章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示

第二節(jié)基本性質(zhì)

第三節(jié)二次函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)考綱要求知識(shí)內(nèi)容考試層次要求了解理解掌握函數(shù)的概念、定義及記號(hào)?函數(shù)的三種表示法?增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念?判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性?函數(shù)的奇偶性?判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性?二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用?第一節(jié)函數(shù)及其表示

知識(shí)清單考點(diǎn)一函數(shù)的定義考點(diǎn)二函數(shù)的定義域考點(diǎn)三函數(shù)的值域考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法考點(diǎn)一函數(shù)的定義如果在某變化過程中有兩個(gè)變量x,y,并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則,都有唯一確定的y值和它對(duì)應(yīng),那么y就是x的函數(shù),x稱為自變量,x的取值范圍稱為函數(shù)的定義域,各x的值對(duì)應(yīng)的y值稱為函數(shù)值,函數(shù)值的集合稱為值域(我們稱用變量敘述的定義為函數(shù)的傳統(tǒng)定義).函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A,B上的映射,此時(shí)稱數(shù)集A為定義域,數(shù)集B={f(x)|x∈A}為值域.定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素.知識(shí)清單考點(diǎn)一函數(shù)的定義考點(diǎn)二函數(shù)的定義域考點(diǎn)三函數(shù)的值域考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法考點(diǎn)二

函數(shù)的定義域

(1)如無特別說明,函數(shù)的定義域是指使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍.(2)函數(shù)定義域的求法.已知函數(shù)解析式,求定義域:①分式形式的函數(shù),分母不等于零;偶次根式被開方式非負(fù);x0中的底數(shù)x不等于零.②分段函數(shù)的定義域是各段中x取值的并集;若f(x)是由多個(gè)部分的式子構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使各部分有意義的集合的交集.③若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b解出.知識(shí)清單考點(diǎn)一函數(shù)的定義考點(diǎn)二函數(shù)的定義域考點(diǎn)三函數(shù)的值域考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法考點(diǎn)三函數(shù)的值域函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采用什么方法求函數(shù)的值域均應(yīng)考慮其定義域.1一次函數(shù)

的值域?yàn)镽.2二次函數(shù)當(dāng)a>0時(shí)的值域?yàn)楫?dāng)a<0時(shí)的值域?yàn)?反比例函數(shù)的值域?yàn)槌Ｒ姾瘮?shù)的值域知識(shí)清單考點(diǎn)一函數(shù)的定義考點(diǎn)二函數(shù)的定義域考點(diǎn)三函數(shù)的值域考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法列表法圖像法解析法通過列出自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的表來表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法叫作列表法.如果圖形F是函數(shù)y=f(x)的圖像,則圖像上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)的關(guān)系式,反之滿足函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)都在圖像上.這種由圖形表示函數(shù)的方法叫作圖像法.如果在函數(shù)y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代數(shù)式來表達(dá)的,這種方法叫作解析式法.典例精解例1

與y=x表示相同函數(shù)的是().典例精解判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,要看函數(shù)的三要素:定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.其中對(duì)應(yīng)法則不能僅僅從解析式上考慮,要分析其對(duì)應(yīng)法則的本質(zhì).解析技巧點(diǎn)撥因?yàn)榕cy=x對(duì)應(yīng)法則不同,排除A;與y=x的定義域不同,排除B；實(shí)質(zhì)是y=|x|,與y=x的對(duì)應(yīng)法則、值域不同,排除C;而與y=x定義域相同、對(duì)應(yīng)法則相同、值域相同,故選D典例精解例2

求下列函數(shù)的定義域:典例精解解析

故定義域?yàn)?/p>

故定義域?yàn)?/p>

故定義域?yàn)?/p>

故定義域?yàn)榈淅饧记牲c(diǎn)撥1234567求函數(shù)的定義域時(shí),應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:函數(shù)式是整式時(shí),定義域?yàn)镽.函數(shù)式含分式時(shí),分母不等于零.函數(shù)式含偶次根式時(shí),被開方數(shù)大于等于零.函數(shù)式含對(duì)數(shù)式時(shí),真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1.函數(shù)式含零指數(shù)式時(shí),底數(shù)不等于零,如，則x-1≠0,即x≠1.函數(shù)式含正切型函數(shù)時(shí),如y=tanx,則x≠π2+kπ,k∈Z.實(shí)際應(yīng)用題中函數(shù)的定義域還要受實(shí)際條件的限制.典例精解例3

求下列函數(shù)的值域:解析(1)因?yàn)閒(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,所以x=2時(shí)，時(shí)所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1,0].(2)因?yàn)?/p>

所以函數(shù)的值域?yàn)?-1,1).典例精解技巧點(diǎn)撥直接觀察法反函數(shù)法配方法換元法不等式法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),根據(jù)函數(shù)的定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域.直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一,即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù),然后通過求函數(shù)的值域,間接地求解原函數(shù)的值域利用幾個(gè)重要不等式及推論來求得最值,進(jìn)而求得值域.求函數(shù)的值域,應(yīng)根據(jù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?常見的有:典例精解例4解析此題y=f(x)表達(dá)式滿足直接代入求值的條件,將x分別替換為2,-3,a即可求出相應(yīng)值.技巧點(diǎn)撥第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)清單考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)單調(diào)性的概念如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量當(dāng)時(shí),有，那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上是單調(diào)遞增(增函數(shù));當(dāng)時(shí),有

,那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞減(減函數(shù)).如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫作單調(diào)區(qū)間.2.單調(diào)函數(shù)的圖像增函數(shù)的圖像從左往右呈上升趨勢(shì),減函數(shù)的圖像從左往右呈下降趨勢(shì).3.函數(shù)單調(diào)性證明的一般過程考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性1在指定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量的值2作差，通過因式分解、配方或有理化等手段對(duì)差進(jìn)行變形.3判斷的符號(hào),由定義得出單調(diào)性.若y=f(u),u=g(x),對(duì)一切x∈區(qū)間D,有對(duì)應(yīng)的u∈區(qū)間E,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性見表3-1.考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性u(píng)=g(x)在D上y=f(u)在E上y=f[g(x)]在D上遞增遞增遞增遞減遞減遞增遞增遞減遞減遞減遞增遞減這些結(jié)論可概括為“同增異減”表3-1知識(shí)清單考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性1.軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的圖形一般地,設(shè)點(diǎn)P(a,b)為平面上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b),點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b),點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b).結(jié)論:關(guān)于誰,誰不變;關(guān)于原點(diǎn)都改變.對(duì)于函數(shù)圖像,我們有如下的結(jié)論:(1)如果函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P'也在函數(shù)的圖像上,那么,函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,原點(diǎn)O稱為這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱中心.(2)如果函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'也在函數(shù)的圖像上,那么,函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,y軸稱為這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸.考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性2.函數(shù)奇偶性的定義奇函數(shù)偶函數(shù)奇偶性如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).如果f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),我們就說f(x)具有奇偶性.考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)y=f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;y=f(x)是偶函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.若f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.奇函數(shù)在其對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在其對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.123考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性4.奇偶函數(shù)的判定y=f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;y=f(x)是偶函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.奇函數(shù)在其對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在其對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.（1）檢查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則一定是非奇非偶函數(shù);

若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再考察函數(shù)值的關(guān)系.（2）判斷函數(shù)奇偶性的方法定義法若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)為奇函數(shù);若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)為偶函數(shù).圖像法根據(jù)y=f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;y=f(x)是偶函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱來判定考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性5.待定系數(shù)法一般地,在求一個(gè)函數(shù)時(shí),如果知道這個(gè)函數(shù)的一般形式,可先把所求函數(shù)寫成一般的形式,其中系數(shù)待定,然后根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù),這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間的關(guān)系式的方法稱為待定系數(shù)法.定義首先確定所求問題含待定系數(shù)的函數(shù)解析式;其次根據(jù)恒等條件,列出一組含待定系數(shù)的方程(組);最后解方程(組)或消去待定系數(shù).一般過程正比例函數(shù)表達(dá)式反比例函數(shù)表達(dá)式一次函數(shù)表達(dá)式二次函數(shù)表達(dá)式一般式頂點(diǎn)式兩根式常見函數(shù)的表達(dá)式考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性其中(m,n)為拋物線頂點(diǎn).其中,為二次方程的兩根或函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例1

判斷下列函數(shù)的增減性典例精解(1)函數(shù)y=2x-3在R上是________函數(shù);(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________,單調(diào)遞減區(qū)間是________;(3)函數(shù)在(0,+∞)上是___________函數(shù)典例精解解析這些初等函數(shù):一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)(實(shí)際上還包括三角函數(shù)),可畫出所給函數(shù)的圖像進(jìn)行判斷.(1)增;(2)[1,+∞),(-∞,1];(3)減.技巧點(diǎn)播熟記常見函數(shù)的單調(diào)性對(duì)解題有很大的好處,上述各函數(shù)的圖像如圖3-1所示.圖3-1典例精解例2討論函數(shù)上的單調(diào)性.解析在(1,+∞)上任取兩數(shù)因?yàn)?/p>

，所以

故函數(shù)

上是增函數(shù).技巧點(diǎn)撥函數(shù)單調(diào)性的證明或者判斷的步驟是:取值作差判斷符號(hào)做結(jié)論典例精解例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析由題意知此函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)稱軸為開口向上.因此,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[6,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1].

技巧點(diǎn)撥先判斷函數(shù)定義域,再判斷函數(shù)的單調(diào)性.典例精解例4判斷下列函數(shù)的奇偶性:解析判斷函數(shù)的奇偶性,首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,若關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的大小關(guān)系,結(jié)合奇偶性定義給出結(jié)論;若函數(shù)的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).因?yàn)閒(x)的定義域是R,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,又因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)=x(x+1)是非奇非偶函數(shù).典例精解例4判斷下列函數(shù)的奇偶性:解析(2)因?yàn)閒(x)的定義域是R,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,又因?yàn)樗院瘮?shù)是奇函數(shù).(3)所以函數(shù)f(x)的定義域是[-1,0)∪(0,1],關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)樗院瘮?shù)是偶函數(shù).典例精解例4判斷下列函數(shù)的奇偶性:技巧點(diǎn)撥判斷一個(gè)函數(shù)是否具有奇偶性的基本步驟如下:(1)先求出函數(shù)的定義域D,如果對(duì)于任意的x∈D都有-x∈D(關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱),則可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性;如果存在某個(gè)，但是，即函數(shù)的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(-x)與f(x)的大小關(guān)系,若f(-x)=f(x),則函數(shù)為偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則函數(shù)為奇函數(shù).對(duì)于用圖像法表示的函數(shù),可以通過對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱性的觀察來判斷函數(shù)是否具有奇偶性.典例精解例5

已知y=f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)時(shí)，

求當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式.典例精解解析當(dāng)x<0時(shí),-x>0.因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí),

所以又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).所以技巧點(diǎn)播本題中f(x)為奇函數(shù),且f(0)有意義,f(0)=0,即圖像過原點(diǎn).利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可作答.典例精解例6已知分段函數(shù)

求函數(shù)f(x)的定義域,計(jì)算f(3)-f(-2)+f(1)的值,并作出函數(shù)f(x)的圖像.解析分段函數(shù)的定義域是自變量的各不同取值范圍的并集.求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),應(yīng)該首先判斷

所屬的取值范圍,再把代入相應(yīng)的解析式中進(jìn)行計(jì)算.函數(shù)f(x)的定義域是因?yàn)?∈[2,+∞),所以f(3)=2×3=6.因?yàn)?2∈(-∞,-1],所以因?yàn)?∈(-1,2),所以f(1)=1+2=3.所以f(3)-f(-2)+f(1)=6-4+3=5.作出

的圖像,取x≤-1的部分.作出f(x)=x+2的圖像,取-1<x<2的部分.作出f(x)=2x的圖像,取x≥2的部分.由此得到函數(shù)f(x)的圖像(見圖3-2).圖3-2典例精解例6已知分段函數(shù)

求函數(shù)f(x)的定義域,計(jì)算f(3)-f(-2)+f(1)的值,并作出函數(shù)f(x)的圖像.因?yàn)榉侄魏瘮?shù)是一個(gè)函數(shù),所以作分段函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)將不同取值范圍內(nèi)的圖像作在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中.技巧點(diǎn)撥第三節(jié)一元二次函數(shù)知識(shí)清單考點(diǎn)一二次函數(shù)的概念及其定義域考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)考點(diǎn)一二次函數(shù)的概念及其定義域二次函數(shù)的概念形如

的函數(shù)叫作二次函數(shù)二次函數(shù)的定義域二次函數(shù)的定義域是R.知識(shí)清單考點(diǎn)一二次函數(shù)的概念及其定義域考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)

的圖像是一條拋物線。具體圖像和性質(zhì)如表3-2所示?？键c(diǎn)二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)a＞0a＜0圖像開口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸單調(diào)性最值典例精解例1函數(shù)f(x)=ax2+bx+c

圖像的一部分如圖3-3所示,圖像過點(diǎn)A(-3,0),對(duì)稱軸方程為x=-1,給出下面四個(gè)結(jié)論:

b2>4ac

2a-b=1

a-b+c=0

5a<b

其中正確的是().

圖3-3典例精解解析由函數(shù)f（x）的圖像可知a<0，最大值由于a<0，所以4a<0，4ac-b2<0，故b2>4ac，①正確對(duì)稱軸方程為x=-1，即，故2a=b，②錯(cuò)誤圖像在-1點(diǎn)的函數(shù)值大于0，所以3a-b+c＞0，③錯(cuò)誤因?yàn)?a=b，a<0，故5a<b，④正確選擇B.技巧點(diǎn)撥解決一元二次函數(shù)的圖像問題有兩種方法：①排除法，抓住函數(shù)的特殊性質(zhì)或特殊點(diǎn)；②討論函數(shù)圖像，依據(jù)圖像特征得