2023年上海市高中自主招生數(shù)學全真模擬試卷(二)

自主招生數(shù)學全真模擬試卷（二）

填空題

1.方程3'+4'+5'=6'有個解.

2.將一個棱長為正整數(shù)的正方體分割為99個小正方體，其中98個小正方體為單位正方體，則原正方體的

表面積為.

3.方程abc=2（a+8+c）的正整數(shù)解共有組.

4.在^ABC中，已知一H=―^-―,且b=4,則a+c-____.

AC￡>

tan—tan—tan—

222

5.已知二次函數(shù)/（x）滿足/（一2）=1,/（2）=2且%4/。）4,（1+4）對于一切實數(shù)》均成立，則/（4）

6.設整數(shù)小仇C,滿足〃+/+,6?百，則（_2）"+（—2）〃+（-2）'=

7.已知面積為3厲的△ABC的兩條中線AD、BE的長分別為3和6,則第三條中線CF的長為

8.一只猴子爬一個8級的梯子，每次可爬一級或上躍二級，最多上躍三級，從地面上到最上一級，一共有

種不同的爬躍方法.

解答題

9.設M=（a—2份2+2戶—58+24+3（乂、b均為整數(shù)，）在〃、人變動下變動，當M最小時，求/一〃

42

的值.

10.已知十個互不相等的有理數(shù)，其中，每九個的和都是分母為22的既約真分數(shù)（分子分母沒有公約數(shù)的真

分數(shù)），那么這十個有理數(shù)的和S為多少？

abC

11.在AABC中，AB=c,BC=6Z,CA=b,已知BC邊上的高為一，求一+一的最大值.

3cb

12.如圖，已知。Oi過梯形ABCD的兩頂點A、B,并切腰CD于點N,OO2過點C、D并切腰AB于點M,

求證：AMMB=CN-ND

參考答案

1.解：易知x=3,為原方程的一個解.(通過嘗試可得)，下證解的唯一性.當x>3時，有

故原方程有且僅有43—個解.

2.設原正方體的邊長為x,99個小正方體的邊長為1和y(x>y>l),則V-y3=98,即有

(x-y)[(x—y)2+3孫]=98所以(x-y)|98,所以x-產(chǎn)1,2,7,14,49,98,由(x-y),<V-y3=98,得尤_),=]2；當

x-y=l時，有3冷》=97,矛盾；當尸2時，有孫=15,解得(x,y)=(5,3),故原正方體表面積為150.

3.注意到原方程關于。力,c對稱，不妨設則a+Z?<2c,代入原方程得2<"W6

當“6=3時，得(a,6,c)=(l,3,8)；當浦=4時，得(a,6,c)=(l,4,5),(2,2,4);當ab=5時,得(a,b,c)=(l,5,4)當時=6

時，c不為正整數(shù)，綜上，aWb<c時，原方程有三組正整數(shù)解(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4),故原方程的正整數(shù)的解

共有15組.

A,

4.如圖，(為了證明tan—=---)，設△ABC內(nèi)切圓為01,半徑為r,01與邊BC、CA分別切于點D、E、

2p-a

F,連接IA、IB、IC、ID、IE、IF,由切線長定理得AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c,其中p=g(a+b+c),在RsAIF

TpAt*B尸Cf

中，tan/IAF=——,BPtan-=-----；同理可得，tan-=-----,tan—二-----，代入已知等式得

AF2p-a2p-b2p-c

p-ap-c_4(p-b)3b

--------------1-----------------------------------,a-rC--------O

rrr2

iQ1

5.設f(x)=ax2+bx+c(a聲0)由已知可得｛名J需覆得b=-,c=|-4?,Xx</(x)<-(x2+4)對

一切實數(shù)x均成立，則ax?+(b-l)x+c20,

(a--)x2+bx+(c-1)40對一切實數(shù)x均成立，易知aw工,故a>0,3-Ip—4acV0,

44

]1133313

a一一<0,〃_4(a--)(c-l)<0,而b=—,c=二一4a得a=3,/(x)=+-％+巳，

4442161644

八4)=彳19

4

6.由題設得/+/+=0,1,2,當/+/+=0,時，"=6=。=。,此時(-2)"+(—2)”+(—2)，=3；

〃+/+。6=1,a"、c?中有一個1或-1,兩個0,此時(—2)“+(—2)〃+(—2)0=0或二；當。2+/+,6=2

2

時，a.從c中有一個是0,另兩個取1或-1,當a=0,b=c=l時，(一2)〃+(-2)’+(-2)。=—3；當

3

a=0/=c=—l時，(―2)"+(—2)〃+(—2)'=0；當a=0/=l,c=-I時，(-2)°+(-2/+(-2/=--；

2

故(一2)"+(-2)"+(-2)『=±3或0或±±

2

7.如圖所示，設△ABC的重心為點G,CF=3x,延長GF到P,使得FP=GF,則四邊形APBG為平行四邊

形，且;SAPBG=SAABG==A，^SAPBG=SAAPG=J(S-4)(S-g)(S-p)其中g、p為AGP的邊

長，且2s=Q+〃+g由已知條件得a=PG=2x,g=AP=4,

p=AG=2,S=x+3代入得J(x+3)(3—x)(尤一l)(x+1)=疥,x=l或"，故CF=6或3"

8.81種；

9.注意到M=a2—4"+Ub2+2a-5O+3=(a—2b+l)2+(2—i)2+J.>o,M為整數(shù)，故M最小值為

4222

1,即有(2a-+2)2+屹-2>=2,b為整數(shù)，則(b-2)2為完全平方數(shù)，故(2a-4b+2>=1,3-2)2=1

1Q

或(2a—46+2)2=2,S—2)2=0解方程組，且滿足僅有a=-,b=\,a1-b1=--

24

10.分母為22的既約真分數(shù)為」其中i=l,3,5....21,由題設各大，十個互不相等的有理數(shù)q,4…?…4)，

每一次取九個的和S-q(i=l,2...10),應為上面十個既約真分數(shù)中的一個，故

“13321105

9S——+—+—+....—=5,S=—

222222229

[2

11.由面積公式得：一Z?csinA=幺，即初csinAu。？，由余弦定理得：2bccosA=b2+c2-a2

26

機、

所以2+￡=忙土￡1=3sin.+2bccosA=3sin4+2cosA=屈sin(A+6),故最大值為舊

cbhebe

12.如圖，延長BA、CD相交于點0,若0A=mOD=6,——=t2,t>0,因為AD||BC,所