2023年教師資格《初中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與能力》模擬真題一

2023年教師資格《初中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與能力》模擬真題一

1［單選題］與向量a=(2,3,1)垂直的平面是()。

A.x-2y+z=3

B.2x+y+3z=3

C.2x+3y+z=3

D.x—y+z=3

正確答案：C

參考解析：本題考查空間解析幾何中平面的法向量的相關(guān)知識(shí)。平面的法向量

是垂直于平面的非零向量。在空間直角坐標(biāo)系中，平面Ax+By+Cz+D=0(A,B,C

不同時(shí)為零)的一個(gè)法向量為n=(A,B,C)o本題中，向量a=(2,3,1)為平面

2x+3y+z=3的法向量，故垂直于平面2x+3y+z=3。故本題選C。

「A#),

lini—；-=2

2［單選題］設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且，…x2則()。

A.f(0)=l且f'(0)=2

B.f(0)=0且f'(0)=2

C.f(0)=1且f'+(x)=2

D.f(0)=0>f\(0)=2

正確答案：D

參考解析：

根據(jù)題意首先得f(0)=0,由導(dǎo)數(shù)的定義,!i!彩2=吧必乎”=/'.(0)=2(其中

t=X2)O

V(-1)nl1-COS-I

3［單選題］常數(shù)a>0,則級(jí)數(shù)\的斂散性為()。

A.發(fā)散

B.條件收斂

C.絕對(duì)收斂

D.收斂性與a的取值有關(guān)

正確答案：C

參考解析：

?2

3.【笞案】卻解析:當(dāng)“T8時(shí)，色一Q根據(jù)"x-?0時(shí),l-cosx-7『"知，當(dāng)"T8時(shí),1-cos—~*0因

n2n2n

為為p級(jí)數(shù),P=2>1,級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)，看收氮級(jí)數(shù)’(1-cos：)也收氮進(jìn)而可知級(jí)數(shù)

￡(-1)［|-須：)絕對(duì)收斂。故本題選C。

則『dxdy=()o

4［單選題］設(shè)區(qū)域D={(X,Y)|X2+y2W4}以

A.8n

B.2n

C.16Ji

D.4n

正確答案：D

參考解析：根據(jù)二重積分的意義，被積函數(shù)為1時(shí)表示積分區(qū)域的面積，所以

=4TTO

5［單選題］已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線為，mx-y=0,

若m在集合｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任意取一個(gè)值，使得雙曲線的離心

率大于3的概率是()

2

A.5

5

B.V

7

c.5

8

D.5

正確答案：c

參考解析：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為叫虛半軸長(zhǎng)為6.

由題意知小=—,e-\/1+m2，當(dāng)m=1或2

a

時(shí).1<e<3,m在集合11,2,3,4,5,6,7,8,91中任

意取一個(gè)值的結(jié)果有9種.記“使得雙曲線的離心

率大于3”為事件4,則由古典概型的概率計(jì)算公

式可得P(A)=1-52=看7。

6［單選題］設(shè)A是3階不可逆矩陣，E是3階單位矩陣。若齊次線性方程組(A

一3E)x=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成，則行列式|A+E|=()

A.16

B.8

C.4

D.2

正確答案：A

參考解析：因?yàn)锳為3階不可逆矩陣，所以|A|=0,且0必是A的特征值。又

齊次線性方程組(A—3E)x=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成，則矩陣

A-3E有兩個(gè)相同的特征值0,即A有二重特征值3。故3階矩陣A的三個(gè)特征值

分別為0,3和3,矩陣A+E的三個(gè)特征值分別為1,4和4,從而行列式

|A+E|=1?4?4=16。

7［單選題］依據(jù)22-1=3,2-1=7,2-1=31,2-1=127,得出結(jié)論：當(dāng)P為素?cái)?shù)(質(zhì)

數(shù))時(shí)，2。-1也是素?cái)?shù)。這里運(yùn)用的是()。

A.歸納推理

B.類比推理

C.演繹推理

D.合情推理同時(shí)也是演繹推理

正確答案：A

參考解析：推理分為合情推理和演繹推理，演繹推理是思維進(jìn)程中從一般到特

殊的推理，這種推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，有三段論、關(guān)系推理等推理

模式；合情推理是一種合乎情理的、似以為真的推理，合情推理包括歸納推理和

類比推理，歸納推理是由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，是由部分到整體、個(gè)

別到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理。本題中，是通過(guò)歸納推理得

出結(jié)論，沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，故該推理過(guò)程運(yùn)用了合情推理中的歸納推理，沒(méi)

有運(yùn)用演繹推理。故本題選A。

8［單選題］”對(duì)知識(shí)的含義有感性的、初步的認(rèn)識(shí)，能夠說(shuō)出這一知識(shí)是什么,

能夠在有關(guān)問(wèn)題中識(shí)別它”，這個(gè)教學(xué)要求所屬的層次是()

A.了解

B.理解

C.掌握

D.靈活運(yùn)用

正確答案：A

參考解析：了解的同類詞有“知道”“初步認(rèn)識(shí)”等。

9［簡(jiǎn)答題］

求由曲面z=x2+2y2及z=6—2x2-y2所圍成的立體的體積。

參考解析：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x-y2所圍成的立體的體積。

曲面Q是由z=+2y及2x+y=6-z圍成，消掉z得x2+2y2=6-2x-y2,所以可得投影

區(qū)域D：x2+y2W2,則圍成的立體圖形

的體積為：

小廣"6-2x2(?+2y2)My

-/)打,利用極坐標(biāo)運(yùn)

算,閉區(qū)域?？梢员硎緸?WJW中刀WrW

則】2廣加廣(2-r2)rdr=12?努?廣(2r-

JoJo/

10［簡(jiǎn)答題］

2r

A=212

21」求正交矩陣Q,使得Q'AQ為對(duì)角矩陣。

設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣L2

參考解析：

A-I-2-2?

IA￡-4I=-2A-l-2=(15)。+1產(chǎn)=0,實(shí)對(duì)稱矩陣4的特征值為-1,5。當(dāng)人=-1時(shí),

-2-2A-1

--2-2I'

(-E-A)=-2-2-2-000，可得實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值-I對(duì)應(yīng)的特征向量旬=(-l,l,0)T,q=(-l,

.-2-2-2JL000.

■4-21rio-r

0,1)\當(dāng)人=5時(shí),(5E-A)=-241T,可得實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值5對(duì)應(yīng)的特征向量

.-2-24JL000.

a,=(l,l,l)To

施密特正交化，令4加產(chǎn)0)%盧a廣黑%=(；-；1)即為=(1,1,1幾單位化,

aIa樞\(zhòng)

，龍

0實(shí)對(duì)稱矩陣A經(jīng)正交變

-JJ叵

2~67

?-100'

和而。

換。％Q可以得到對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣為0-10，其中公■_——?—.—1,一，-

263

.005.

0跖M

L33」

11［簡(jiǎn)答題］

一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的

點(diǎn)數(shù)之和大于2n,則算過(guò)關(guān)。(假設(shè)骰子是各面上分別標(biāo)有1，2,3,4,5,6

的均勻正方體，拋擲骰子落地靜止后，向上的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù))

(1)某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)？(3分)

(2)連過(guò)前三關(guān)的概率是多少？(4分)

參考解析:

P⑷-*汽-研明-）=2孑4巡20弋100

362>>4?

由于骰子是均勻的昉我所以蝌后各點(diǎn)數(shù)出購(gòu)可能ft群等的.⑴因骰子出購(gòu)點(diǎn)數(shù)耿施而6：■>2{6x<<2\因此，當(dāng)

*5時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于y已不可能.即這是Y不可能事件，過(guò)關(guān)的概率為0,所以最多只能連過(guò)4關(guān).

….5分（口）設(shè)事件&為"第n關(guān)過(guò)關(guān)失敗’，則對(duì)立事件&為"第n關(guān)過(guò)關(guān)成功”.第n關(guān)游戲申，基本事件總數(shù)為6個(gè),第1關(guān)：事件4所含

基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為闞2這兩種情況），;過(guò)此關(guān)的微率為：P（j?）=l-P（4）=l--=^.第2關(guān)：事件/淅合基本事件數(shù)為方程

,163

工一六弓當(dāng)盼別取2,3,堿證螺麒峻機(jī)即有c；+*c；*2+3=6（個(gè)）,二越關(guān)的廨為：

PR）=1-P（r=>￡上.......1吩第3關(guān):事件4所含墓本事件防gy”z=4象分別取3,4,5,6,7,8時(shí)的建媾鋤

’6"6

°C、、、，一4620

之和,即有C/G"：匕+G+O1-3+6+10+154=56（個(gè)）.二幽關(guān)的廨為：及幻=>P⑶=i-,=?.

6,2/

一——2420100

…“15分故連過(guò)前三關(guān)的慨率為：尸（㈤xP（.xP（&尸白；x^=T....20分（說(shuō)眥第2,3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來(lái)）

4'*362724?

12［簡(jiǎn)答題］

求曲面2-e%+2xy=3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面及法線方程。

參考解析：令F(%,y.z)=z-e*+2xy-3,則有

I(I,2,O)=1(1.2.0)=4,"，i(|,2,O)=2X|＜［.2,0)=2,

￡1(10)=1-e,lg.0)=0,切平面方程為4(一

1)+2(y-2)+0-(z-O)=0,化簡(jiǎn)得2x+y-

4=0,法線方程為寧?=彳=守。

13［簡(jiǎn)答題］

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）提出的課程總目標(biāo)是從哪幾個(gè)方面進(jìn)行

闡述的？說(shuō)說(shuō)這幾方面的關(guān)系。

參考解析：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）提出的課程總目標(biāo)是從三

個(gè)方面具體闡述的，即：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼

光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）。學(xué)生能：（1）獲得適應(yīng)未來(lái)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

⑵體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索

真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與

方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

⑶對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問(wèn)難、自我反思

和勇于探索的科學(xué)精神。

14［簡(jiǎn)答題］

設(shè)R2為二維歐氏平面，F(xiàn)是V到R2的映射，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)p,O<p<l,使得

對(duì)于任意的P,Q￡R2,有d(F(P),F(Q))Wpd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q兩

點(diǎn)間的距離)，則稱F是壓縮映射。

、幾22，V(*,y)ER?。

設(shè)映射T：R2->R2\23］

(1)證明：映射T是壓縮映射。(4分)

limPn

(2)設(shè)PO=PO(xO,yO)為R2中任意一點(diǎn),令Pn=T(%),n=l,2,3,…，求…

(6分)

參考解析：

⑴證明:設(shè)P(町辦)。切均)是R,上任意兩點(diǎn)網(wǎng)7(P)=7((5〃))=(；.W/P),7(Q)=

7((%M))=(,同。d(7(P),7(Q))=J(:孫f)'=』斗(打力尸W

初E%而=；〃P，Q)，即存在滿足題意的P=；，所以映射7

是壓縮映軌

(2)(方法一)設(shè)0(0,0)是二維歐氏空間R?的原點(diǎn)。當(dāng)P。是原點(diǎn)時(shí),顯然有P“=(0,0),YneN.，此時(shí)

limP?=(0,0)=Oo當(dāng)P。不是原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?(0)=0,所以由(I)得,或心,0代4或匕”0),記&玲,0)=

r>0,則有0Wd(P“,O)W(；1r,因?yàn)閘im］。)r=0,所以由夾退定理得,limd(P,,O)=0,根據(jù)點(diǎn)列極限定義

\iIITZ/I

可期,加匕=0。

綜上所述,1而匕=0。

(^-)pn=r(p,1.1)=T(T(pB_2))=-=r(p0)=(—x0,—yoj。

因?yàn)閘im」~~=O,lim-!-yo=O,所以點(diǎn)列//收斂，且1加匕=(0,0)。

-2"….3i.

15［簡(jiǎn)答題］

“抽象與具體相結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)原則中的內(nèi)容。

(1)怎樣理解數(shù)學(xué)的抽象性與具體性；

(2)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何做到抽象與具體相結(jié)合。

參考解析：(1)抽象是指在認(rèn)識(shí)上把事物的規(guī)定、屬性、關(guān)系從原來(lái)有機(jī)聯(lián)系

的整體中孤立地抽取出來(lái)；具體是指尚未經(jīng)過(guò)這種抽象的感性對(duì)象。數(shù)學(xué)是以現(xiàn)

實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系作為研究對(duì)象的，它拋開(kāi)了對(duì)象的具體內(nèi)容，具有

高度的抽象性。數(shù)學(xué)廣泛而系統(tǒng)地使用了數(shù)學(xué)符號(hào)，具有字詞、詞義、符號(hào)三位

一體的特性。數(shù)學(xué)的抽象性必須以具體素材為基礎(chǔ)，更以廣泛的具體性為歸宿。

⑵在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要做到抽象與具體相結(jié)合。第一，要著重培養(yǎng)學(xué)生的抽

象思維能力。所謂抽象思維能力，是指脫離具體形象，運(yùn)用概念、判斷、推理等

進(jìn)行思維的能力。按抽象思維不同的程度，可分為經(jīng)驗(yàn)型抽象思維和理論型抽象

思維。在教學(xué)中，我們應(yīng)著重發(fā)展理論型抽象思維，因?yàn)橹挥欣碚撔统橄笏季S得

到充分發(fā)展的人，才能很好地分析和綜合各種事物，才有能力去解決問(wèn)題。第二，

要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高學(xué)生的抽象、概括能力。在教學(xué)中，可通過(guò)實(shí)物教

具，利用數(shù)形結(jié)合，以形代數(shù)等手段，貫徹抽象與具體相結(jié)合的原則。例如，講

二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)時(shí)，可先畫出圖像，再觀察圖像抽象出有關(guān)性質(zhì)。

16［簡(jiǎn)答題］

以下為某教師在進(jìn)行“一元一次不等式組”教學(xué)中設(shè)計(jì)的相關(guān)教學(xué)活動(dòng)：

出示例題：小寶和爸爸、媽媽三人在操場(chǎng)上玩蹺蹺板，爸爸體重為72千克，坐

在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在另一端。這時(shí)，爸爸

的一端仍然著地，后來(lái)小寶借來(lái)一副質(zhì)量為6千克的啞鈴，加在他和媽媽坐的一

端，結(jié)果，爸爸被高高地蹺起。猜猜看，小寶的體重約多少千克？

教師問(wèn)學(xué)生：“你們玩過(guò)蹺蹺板嗎？先看看題，一會(huì)兒請(qǐng)同學(xué)復(fù)述一下。”學(xué)生

復(fù)述后，基本已經(jīng)熟悉了題目。接著教師讓學(xué)生思考：他們?nèi)俗藥状诬E蹺板?

第一次坐時(shí)情況怎樣?第二次呢？

學(xué)生議論了一會(huì)兒，自主發(fā)言，很快發(fā)現(xiàn)本題中存在的兩種文字形式的不等關(guān)系：

爸爸體重〉小寶體重+媽媽體重

爸爸體重〈小寶體重+媽媽體重+一副啞鈴重量

教師順勢(shì)引導(dǎo)：你還能怎么判斷小寶體重?學(xué)生安靜了幾分鐘后，開(kāi)始議論。

學(xué)生舉手：“可以列不等式組。”教師給出提示：“小寶的體重應(yīng)該同時(shí)滿足上

述的兩個(gè)條件。怎么把這個(gè)意思表達(dá)成數(shù)學(xué)式子呢？”這時(shí)學(xué)生們七嘴八舌地討

論起來(lái)，都搶著回答，該教師注意到一位平時(shí)不愛(ài)說(shuō)話的學(xué)生緊鎖眉頭，便讓他

發(fā)言：“可以設(shè)小寶的體重為x千克，能列出兩個(gè)不等式。可是接下來(lái)我就不知

道了。”教師聽(tīng)了心中一動(dòng)，意識(shí)到這應(yīng)是思想滲透的好機(jī)會(huì)，便解釋說(shuō)：“我

們?cè)诔踔杏龅降脑S多問(wèn)題都可以用類似的方法來(lái)研究解決，比方說(shuō)前面列方程

組……”不等教師說(shuō)完，學(xué)生都齊聲答：“列不等式組?！比?2個(gè)小組都積

極投入到解題活動(dòng)中了。5分鐘后，教師請(qǐng)學(xué)生板演，自己下去巡查、指導(dǎo)，發(fā)

現(xiàn)學(xué)生的解題思路都很清楚，只是部分學(xué)生對(duì)答案的表達(dá)不夠準(zhǔn)確。于是提議學(xué)

生說(shuō)說(shuō)列不等式組解應(yīng)用題分幾步，應(yīng)注意什么。此時(shí)學(xué)生也基本上形成了對(duì)建

立不等式組解題方法的完整認(rèn)識(shí)。

問(wèn)題：

（1）請(qǐng)結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》簡(jiǎn)要分析該教師的教學(xué)過(guò)程；（8分）

⑵本節(jié)課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法包括什么？（6分）

（3）請(qǐng)?jiān)O(shè)置一道開(kāi)放題檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的掌握情況。（6分）

參考解析：（1）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，讓學(xué)生在實(shí)際背景中理解問(wèn)

題涉及的基本數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型、

估計(jì)、求解、驗(yàn)證解的正確性與合理性的過(guò)程。在實(shí)際：亡作中讓學(xué)生學(xué)會(huì)從具

體問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，使用各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，

獲得合理的解答，理解并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，多數(shù)教師雖然注意到了這

些，但要做好，仍有一定難度在教學(xué)過(guò)程中，該教師在課堂教學(xué)中設(shè)置了幾個(gè)臺(tái)

階，這也正好符合了循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。例題貼近學(xué)生實(shí)際，在教學(xué)中又采用

了更親近的教學(xué)語(yǔ)言，有利于激發(fā)學(xué)生的探究欲望。關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，隨時(shí)

采取靈活適宜的教學(xué)方法，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)，課堂教學(xué)才更加有效。學(xué)生在

學(xué)習(xí)后，確實(shí)感受到“不等式的方法”就像“方程的方法”一樣是從字母表示數(shù)

開(kāi)始研究解決的。這種方法可以幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式解決實(shí)際問(wèn)題。

⑵化歸思想，類比思想。

⑶問(wèn)題：一次考試共25道選擇題，做對(duì)一道得4分，做錯(cuò)一道減2分，不做得

。分。若小明想確保考試成績(jī)?cè)?0分以上，那么他至少要做對(duì)多少題？

17［簡(jiǎn)答題］

在學(xué)習(xí)了三個(gè)“三角形相似的判定定理”后，某教師設(shè)計(jì)了一節(jié)習(xí)題課的教學(xué)目

標(biāo)：

①進(jìn)一步鞏固“三角形相似的判定定理”，并學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用；

②在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生能感受到圖形運(yùn)動(dòng)變化的思想，能用運(yùn)動(dòng)變化的觀

點(diǎn)看問(wèn)題，感受數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想；

③學(xué)會(huì)從題設(shè)或結(jié)論出發(fā)尋求論證思路的分析方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的

能力。

他的教學(xué)設(shè)計(jì)中包含了這樣的一道例題：如圖，AB±BC,DC±BC,垂足分別為B,

C,且AB=8,

DC=6.BC=14o

B

問(wèn)題一：BC上是否存在一點(diǎn)P使4ABP與4DCP相似。

問(wèn)題二：若有這樣的點(diǎn)P存在，